Математика, которая мне нравится

Определение. Числа рациональные и иррациональные называют вещественными или действительными числами.

Обозначение. (real) — множество вещественных чисел.

Пусть .

Найдем наибольшее целое число , не превосходящее : . Предположим, что у нас получилось , (см. рис. 7):

Рис. 7

Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит (рис. 8):

Рис. 8

где — десятичная цифра.

Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит (рис. 9):

Рис. 9

и т.д.

Если , то получим

Определение. Бесконечная десятичная дробь , где получаются указанным способом, называется десятичной записью числа .

Возникает вопрос: одна ли десятичная запись у числа ?

Если в процессе построения десятичной записи никогда не окажется на границе двух отрезков, то имеет одну десятичную запись. Если же на каком-либо шаге оказалось на границе двух отрезков (так будет, если — конечная десятичная дробь и только в этом случае), то можно выбрать любой из этих отрезков. Если выберем правый отрезок, то на всех следующих шагах будет выбираться самый левый из 10 отрезков и, следовательно, все следующие цифры в десятичной записи — нули.

Если же выберем левый отрезок, то на всех следующих шагах придется выбирать самый правый из десяти отрезков и, следовательно, все следующие цифры — девятки.

Пример. Рассмотрим оба варианта записи на примере . На рис. 10 приведен первый вариант (выбирается все время левый отрезок), а на рис. 11 — второй вариант (выбиратся все время правый отрезок).

I случай.

и т.д.

Рис. 10

II случай.

и т.д.

Рис. 11

Обычно в этих случаях запись с девятками не используется.

Можно доказать, что если , то

Пусть . Строим десятичную запись

Пояснение