4. Десятичная запись вещественного числа

Определение. Числа рациональные и иррациональные называют вещественными или действительными числами.

Обозначение. \mathbb{R} (real) — множество вещественных чисел.

Пусть \alpha\in\mathbb{R},\alpha>0.

Найдем наибольшее целое число a, не превосходящее \alpha: a\in\mathbb{Z},a\le\alpha. Предположим, что у нас получилось a=4, a\le \alpha<a+1 (см. рис. 7):

Рис. 7

Разобьем отрезок [a;a+1] на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит \alpha (рис. 8):

Рис. 8

    \[[a;a+1],\ \alpha\in\left[ a,c_1;a,c_1+{1\over 10}\right],\]

где c_1 — десятичная цифра.

Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит \alpha (рис. 9):

Рис. 9

    \[\alpha\in\left[ a,c_1c_2;a,c_1c_2+{1\over 10^2}\right],\]

и т.д.

Если \alpha=\sqrt{2}, то получим

    \[a=1,c_1=4,c_2=1,c_3=4,c_4=2,\ldots\]

Определение. Бесконечная десятичная дробь a,c_1c_2c_3\ldots, где a,c_1,c_2,c_3,\ldots получаются указанным способом, называется десятичной записью числа \alpha.

    \[\alpha=a,c_1c_2c_3\ldots\]

Возникает вопрос: одна ли десятичная запись у числа \alpha?

Если в процессе построения десятичной записи \alpha никогда не окажется на границе двух отрезков, то \alpha имеет одну десятичную запись. Если же \alpha на каком-либо шаге оказалось на границе двух отрезков (так будет, если \alpha — конечная десятичная дробь и только в этом случае), то можно выбрать любой из этих отрезков. Если выберем правый отрезок, то на всех следующих шагах будет выбираться самый левый из 10 отрезков и, следовательно, все следующие цифры в десятичной записи — нули.

Если же выберем левый отрезок, то на всех следующих шагах придется выбирать самый правый из десяти отрезков и, следовательно, все следующие цифры — девятки.

Пример. Рассмотрим оба варианта записи на примере \alpha=7{,}48. На рис. 10 приведен первый вариант (выбирается все время левый отрезок), а на рис. 11 — второй вариант (выбиратся все время правый отрезок).

I случай.




и т.д.

Рис. 10

\alpha=7{,}480000\ldots

II случай.


и т.д.

Рис. 11

\alpha=7{,}479999\ldots

Обычно в этих случаях запись с девятками не используется.

Можно доказать, что если \alpha=0{,}c_1c_2c_3\ldots, то 10\alpha=c_1{,}c_2c_3c_4\ldots

Пусть 0<\alpha<1. Строим десятичную запись

    \[\begin{array}{ll} c_1=[10\alpha],&\alpha_1=10\alpha-c_1,\\ c_2=[10\alpha_1],&\alpha_2=10\alpha_1-c_2,\\ c_3=[10\alpha_2],&\alpha_3=10\alpha_2-c_3,\\ \ldots& \end{array}\]

Пояснение

    \[\begin{array}{l} 10\alpha=c_1{,}c_2c_3\dots,\\ \alpha_1=10\alpha-c_1=0{,}c_2c_3c_4\dots,\\ 10\alpha_1=c_2{,}c_3c_4c_5\dots,\\ \alpha_2=10\alpha_1-c_2=0{,}c_3c_4c_5\dots,\\ \ldots \end{array}\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение