4. Десятичная запись вещественного числа
Определение. Числа рациональные и иррациональные называют вещественными или действительными числами.
Обозначение. (real) — множество вещественных чисел.
Пусть .
Найдем наибольшее целое число , не превосходящее
:
. Предположим, что у нас получилось
,
(см. рис. 7):
Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит
(рис. 8):
где — десятичная цифра.
Разобьем отрезок на 10 равных частей и выберем ту из этих частей, которая содержит (рис. 9):
и т.д.
Если , то получим
Определение. Бесконечная десятичная дробь , где
получаются указанным способом, называется десятичной записью числа
.
Возникает вопрос: одна ли десятичная запись у числа ?
Если в процессе построения десятичной записи никогда не окажется на границе двух отрезков, то
имеет одну десятичную запись. Если же
на каком-либо шаге оказалось на границе двух отрезков (так будет, если
— конечная десятичная дробь и только в этом случае), то можно выбрать любой из этих отрезков. Если выберем правый отрезок, то на всех следующих шагах будет выбираться самый левый из 10 отрезков и, следовательно, все следующие цифры в десятичной записи — нули.
Если же выберем левый отрезок, то на всех следующих шагах придется выбирать самый правый из десяти отрезков и, следовательно, все следующие цифры — девятки.
Пример. Рассмотрим оба варианта записи на примере . На рис. 10 приведен первый вариант (выбирается все время левый отрезок), а на рис. 11 — второй вариант (выбирается все время правый отрезок).
I случай.
и т.д.
Рис. 10
II случай.
и т.д.
Рис. 11
Обычно в этих случаях запись с девятками не используется.
Можно доказать, что если , то
Пусть . Строим десятичную запись
Пояснение
Оставьте свой отзыв