Предел функции | Математика, которая мне нравится

39. Предел функции

Определение. Пусть — произвольное числовое множество, — произвольное вещественное число. Точка называется предельной точкой множества , если в любом открытом промежутке, содержащем точку , есть, по крайней мере, одно число из множества , отличное от .

Точка называется изолированной, если она не является предельной.

Упражнение 1. Докажите, что точка является предельной точкой множества в том и только в том случае, если существует последовательность, составленная из чисел множества , отличных от , которая стремится к .

Определение. Пусть функция задана на множестве $(f:X\to\mathbb{R})$ , — предельная точка множества . Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности (x_n) , состоящей из чисел множества , отличных от и стремящейся к , соответствующая последоватлеьность значений функции (f(x_n)) стремится к .

$\forall (x_n)\ \left.\begin{array}{l} \forall n\ x_n\ne a,\\ \forall n\ x_n\in X,\\ x_n\to a, \end{array}\right\}\Longrightarrow f(x_n)\to A.$

Из единственности предела последовательности следует единственность предела функции.

Обозначение. $\displaystyle\lim_a f\qquad\lim_{x\to a}f(x).$

Определение. Пусть $f:X\to\mathbb{R},\ X_1\subset X$ . Зададим на множестве X_1 новую функцию по правилу:

$\forall x\in X_1\quad x\to f(x) .$

Эта функция называется сужением f(x) на множестве X_1 — $f|_{X_1}$ .

Упражнение 2. Пусть $f:X\to\mathbb{R}$ , — предельная точка множества , — произвольный открытый промежуток, содержащий точку , $X_1=U\cap X$ . Тогда утверждение: предел функции в точке равен равносильно утверждению: предел функции $f|_{X_1}$ равен .

Теорема о пределе суммы и произведения. Пусть $f,g:X\to \mathbb{R}$ , — предельная точка множества . Пусть

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=A+B,\ \lim_{x\to a}fg(x)=AB .$

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность $(x_n)\to a$ $x_n\in X,x_n\ne a)$ . Тогда $f(x_n)\to A$ , $g(x_n)\to B$ . По теореме о пределе суммы для последовательностей

$f(x_n)+g(x_n)\to A+B .$

Но так как

(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)

(из определения суммы функций), то

$(f+g)(x_n)\to A+B .$

Доказательство второго утверждения аналогично.

Теорема о пределе частного. Пусть $f,g:X\to\mathbb{R}$ , — предельная точка множества , пусть $\forall x\in X$ $g(x)\ne0$ . Пусть

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\displaystyle \lim_{x\to a}{f\over g}(x)={A\over B} .$

Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть
$f,g:X\to\mathbb{R}$ , — предельная точка множества , пусть $\forall x\in X$ $f(x)\le g(x)$ . Пусть

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B.$

Тогда $A\le B$ .

Доказательство. Возьмем (x_n) , $x\in X,x_n\ne a,x_n\to a$ . По условию, $f(x_n)\to A$ , $g(x_n)\to B$ . $\forall n\ f(x_n)\le g(x_n)$ . Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что $A\le B$ .

Замечание. Из упражнения 2 следует, что в теореме о предельном переходе в неравенствах достаточно предполагать, что неравенство $f(x)\le g(x)$ справедливо лишь в достаточной близости от точки , точнее, достаточно предполагать, что найдется такой открытый промежуток , содержащий , что неравенство $f(x)\le g(x)$ выполняется $\forall x\in X\cap U$ .