39. Предел функции
Определение. Пусть — произвольное числовое множество,
— произвольное вещественное число. Точка
называется предельной точкой множества
, если в любом открытом промежутке, содержащем точку
, есть, по крайней мере, одно число из множества
, отличное от
.
Точка называется изолированной, если она не является предельной.
Упражнение 1. Докажите, что точка является предельной точкой множества
в том и только в том случае, если существует последовательность, составленная из чисел множества
, отличных от
, которая стремится к
.
Определение. Пусть функция задана на множестве
,
— предельная точка множества
. Число
называется пределом функции
в точке
, если для любой последовательности
, состоящей из чисел множества
, отличных от
и стремящейся к
, соответствующая последовательность значений функции
стремится к
.
Из единственности предела последовательности следует единственность предела функции.
Обозначение.
Определение. Пусть . Зададим на множестве
новую функцию по правилу:
Эта функция называется сужением на множестве
—
.
Упражнение 2. Пусть ,
— предельная точка множества
,
— произвольный открытый промежуток, содержащий точку
,
. Тогда утверждение: предел функции
в точке
равен
равносильно утверждению: предел функции
равен
.
Теорема о пределе суммы и произведения. Пусть ,
— предельная точка множества
. Пусть
Тогда
Доказательство. Возьмем произвольную последовательность
. Тогда
,
. По теореме о пределе суммы для последовательностей
Но так как
(из определения суммы функций), то
Доказательство второго утверждения аналогично.
Теорема о пределе частного. Пусть ,
— предельная точка множества
, пусть
. Пусть
Тогда
Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.
Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть
,
— предельная точка множества
, пусть
. Пусть
Тогда .
Доказательство. Возьмем ,
. По условию,
,
.
. Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что
.
Замечание. Из упражнения 2 следует, что в теореме о предельном переходе в неравенствах достаточно предполагать, что неравенство справедливо лишь в достаточной близости от точки
, точнее, достаточно предполагать, что найдется такой открытый промежуток
, содержащий
, что неравенство
выполняется
.
Теорема. Пусть ,
— предельная точка множества
. Пусть
Пусть
. Тогда
.
Доказательство. Возьмем ,
.
Задачи.
1) Выясните, существует ли предел функции в точке
:
1.
2.
3.
4.
2) Вычислите пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
1 О-большое и связанные с ним обозначения | Математика, которая мне нравится:
[...] Бесконечные пределы [...]
14 Март 2012, 0:06