Предел функции | Математика, которая мне нравится

39. Предел функции

Определение. Пусть $X$ — произвольное числовое множество, $a$ — произвольное вещественное число. Точка $a$ называется предельной точкой множества $X$ , если в любом открытом промежутке, содержащем точку $a$ , есть, по крайней мере, одно число из множества $X$ , отличное от $a$ .

Точка $a$ называется изолированной, если она не является предельной.

Упражнение 1. Докажите, что точка $a$ является предельной точкой множества $X$ в том и только в том случае, если существует последовательность, составленная из чисел множества $X$ , отличных от $a$ , которая стремится к $a$ .

Определение. Пусть функция $f$ задана на множестве $X$ $(f:X\to\mathbb{R})$ , $a$ — предельная точка множества $X$ . Число $A$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если для любой последовательности $(x_n)$ , состоящей из чисел множества $X$ , отличных от $a$ и стремящейся к $a$ , соответствующая последовательность значений функции $(f(x_n))$ стремится к $A$ .

$\forall (x_n)\ \left.\begin{array}{l} \forall n\ x_n\ne a,\\ \forall n\ x_n\in X,\\ x_n\to a, \end{array}\right\}\Longrightarrow f(x_n)\to A.$

Из единственности предела последовательности следует единственность предела функции.

Обозначение. $\displaystyle\lim_a f\qquad\lim_{x\to a}f(x).$

Определение. Пусть $f:X\to\mathbb{R},\ X_1\subset X$ . Зададим на множестве $X_1$ новую функцию по правилу:

$\forall x\in X_1\quad x\to f(x) .$

Эта функция называется сужением $f(x)$ на множестве $X_1$ — $f|_{X_1}$ .

Упражнение 2. Пусть $f:X\to\mathbb{R}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ , $U$ — произвольный открытый промежуток, содержащий точку $a$ , $X_1=U\cap X$ . Тогда утверждение: предел функции $f$ в точке $a$ равен $A$ равносильно утверждению: предел функции $f|_{X_1}$ равен $A$ .

Теорема о пределе суммы и произведения. Пусть $f,g:X\to \mathbb{R}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ . Пусть

$\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\lim_{x\to a}(f+g)(x)=A+B,\ \lim_{x\to a}fg(x)=AB .$

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность $(x_n)\to a$ $x_n\in X,x_n\ne a)$ . Тогда $f(x_n)\to A$ , $g(x_n)\to B$ . По теореме о пределе суммы для последовательностей

$f(x_n)+g(x_n)\to A+B .$

Но так как

$(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)$

(из определения суммы функций), то

$(f+g)(x_n)\to A+B .$

Доказательство второго утверждения аналогично.

Теорема о пределе частного. Пусть $f,g:X\to\mathbb{R}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ , пусть $\forall x\in X$ $g(x)\ne0$ . Пусть

$\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\lim_{x\to a}{f\over g}(x)={A\over B} .$

Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть
$f,g:X\to\mathbb{R}$ , $a$ — предельная точка множества $X$ , пусть $\forall x\in X$ $f(x)\le g(x)$ . Пусть

$\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B.$

Тогда $A\le B$ .

Доказательство. Возьмем $(x_n)$ , $x\in X,x_n\ne a,x_n\to a$ . По условию, $f(x_n)\to A$ , $g(x_n)\to B$ . $\forall n\ f(x_n)\le g(x_n)$ . Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что $A\le B$ .

Замечание. Из упражнения 2 следует, что в теореме о предельном переходе в неравенствах достаточно предполагать, что неравенство $f(x)\le g(x)$ справедливо лишь в достаточной близости от точки $a$ , точнее, достаточно предполагать, что найдется такой открытый промежуток $U$ , содержащий $a$ , что неравенство $f(x)\le g(x)$ выполняется $\forall x\in X\cap U$ .