Предел функции | Математика, которая мне нравится

39. Предел функции

Определение. Пусть X — произвольное числовое множество, a — произвольное вещественное число. Точка a называется предельной точкой множества X, если в любом открытом промежутке, содержащем точку a, есть, по крайней мере, одно число из множества X, отличное от a.

Точка a называется изолированной, если она не является предельной.

Упражнение 1. Докажите, что точка a является предельной точкой множества X в том и только в том случае, если существует последовательность, составленная из чисел множества X, отличных от a, которая стремится к a.

Определение. Пусть функция f задана на множестве X (f:X\to\mathbb{R}), a — предельная точка множества X. Число A называется пределом функции f в точке a, если для любой последовательности (x_n), состоящей из чисел множества X, отличных от a и стремящейся к a, соответствующая последоватлеьность значений функции (f(x_n)) стремится к A.

$\forall (x_n)\ \left.\begin{array}{l} \forall n\ x_n\ne a,\\ \forall n\ x_n\in X,\\ x_n\to a, \end{array}\right\}\Longrightarrow f(x_n)\to A.$

Из единственности предела последовательности следует единственность предела функции.

Обозначение.

$\displaystyle\lim_a f\qquad\lim_{x\to a}f(x).$

Определение. Пусть f:X\to\mathbb{R},\ X_1\subset X. Зададим на множестве X_1 новую функцию по правилу:

$\forall x\in X_1\quad x\to f(x) .$

Эта функция называется сужением f(x) на множестве X_1 — f|_{X_1}.

Упражнение 2. Пусть f:X\to\mathbb{R}, a — предельная точка множества X, U — произвольный открытый промежуток, содержащий точку a, X_1=U\cap X. Тогда утверждение: предел функции f в точке a равен A равносильно утверждению: предел функции f|_{X_1} равен A.

Теорема о пределе суммы и произведения. Пусть f,g:X\to \mathbb{R}, a — предельная точка множества X. Пусть

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=A+B,\ \lim_{x\to a}fg(x)=AB .$

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность (x_n)\to a x_n\in X,x_n\ne a). Тогда f(x_n)\to A, g(x_n)\to B. По теореме о пределе суммы для последовательностей

$f(x_n)+g(x_n)\to A+B .$

Но так как

$(f+g)(x_n)=f(x_n)+g(x_n)$

(из определения суммы функций), то

$(f+g)(x_n)\to A+B .$

Доказательство второго утверждения аналогично.

Теорема о пределе частного. Пусть f,g:X\to\mathbb{R}, a — предельная точка множества X, пусть \forall x\in X g(x)\ne0. Пусть

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B .$

Тогда

$\displaystyle \lim_{x\to a}{f\over g}(x)={A\over B} .$

Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.

Теорема о предельном переходе в неравенствах. Пусть
f,g:X\to\mathbb{R}, a — предельная точка множества X, пусть \forall x\in X f(x)\le g(x). Пусть

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=A,\lim_{x\to a}g(x)=B.$

Тогда A\le B.

Доказательство. Возьмем (x_n), x\in X,x_n\ne a,x_n\to a. По условию, f(x_n)\to A, g(x_n)\to B. \forall n\ f(x_n)\le g(x_n). Откуда по теореме о предельном переходе в неравенствах для последовательностей вытекает, что A\le B.

Замечание. Из упражнения 2 следует, что в теореме о предельном переходе в неравенствах достаточно предполагать, что неравенство f(x)\le g(x) справедливо лишь в достаточной близости от точки a, точнее, достаточно предполагать, что найдется такой открытый промежуток U, содержащий a, что неравенство f(x)\le g(x) выполняется \forall x\in X\cap U.

Теорема. Пусть f,g,h:X\to\mathbb{R}, a — предельная точка множества X. Пусть

$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A .$