38. Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени n из вещественного числа. Число e

Определение. Пусть (x_n) — произвольная числовая последовательность. Построим новую последовательность по правилу

s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n .

Последовательность (s_n) называется последовательностью частичных сумм последовательности (x_n).

Определение. Пусть (x_n) — последовательность, (s_n) — последовательность частичных сумм последовательности (x_n). Предел последовательности (s_n) называется суммой всех членов последовательности (x_n).

Найдем сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. геометрической прогрессии со знаменателем, по модулю меньшим 1.

Пусть (x_n) — геометрическая прогрессия с первым членом x_1 и знаменателем q,\quad|q|<1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}q^n=0. Действительно, из неравенства Бернулли

(1+a)^n>na

имеем

\displaystyle {1\over (1+a)^n}<{1\over na} .

Поскольку |q|<1, то |q| представимо в виде \displaystyle |q|={1\over 1+a},a>0. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
|q|^n={1\over (1+a)^n}<{1\over na},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
0<|q^n|<{1\over na}.<br />
\end{array}

Применим теорему о сжатой последовательности

\displaystyle 0<|q^n|<{1\over na} .

Имеем |q^n|\to0\Longrightarrow q^n\to0.

Пусть (x_n) — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}{x_1\over 1-q}(1-q^n)={x_1\over 1-q}\lim_{n\to\infty}(1-q^n)=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={x_1\over 1-q}\left(1-\lim_{n\to\infty}q^n\right)={x_1\over 1-q}.<br />
\end{array}

Если через S обозначить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то

\displaystyle S={x_1\over 1-q}.

Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.

Любое ограниченное множество A\in\mathbb{R} имеет точную верхнюю границу (т.е. существует наименьшая из всех верхних границ).

Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:

Число z_0 называется точной верхней границей множества A, если

1) z_0 — верхняя граница A;

2) \forall \varepsilon>0\ \exists a\in A:\ a>A-\varepsilon.

Обозначение z_0=\sup A.

Замечание. Аналогично определяется точная нижняя граница множества A\inf A.

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности x_n. Докажем, что точная верхняя граница для последовательности z_0=\sup\{x_n\} и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

\forall n\ x_n\le z_0.

Кроме того, какое бы ни взять число \varepsilon>0, найдется такой номер N, что

x_N>z_0-\varepsilon.

Так как последовательность монотонна, то при n>N будет x_n\ge x_N, а значит, и x_n>z_0-\varepsilon и выполняются неравенства

0\le z_0-x_n<\varepsilon \vee |x_n-z_0|<\varepsilon,

откуда и следует, что \displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=z_0.

Приложения.

I. Существование \sqrt[k]{a}, a\in\mathbb{R}

Пусть a\in\mathbb{R},k\in\mathbb{N}. Корень k-й степени из a — такое вещественное число \xi, что \xi^k=a. Рассмотрим случай, когда a>0 и будем искать \xi>0, удовлетворяющее этому соотношению, т.е. арифметическое значение корня.

Возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел r_n\to a.

Докажем, что последовательность \sqrt[k]{r_n}\to\xi.

Последовательность \sqrt[k]{r_n} возрастает. Действительно, предположим противное: \sqrt[k]{r_m}>\sqrt[k]{r_{m+1}}. Тогда, по свойствам неравенств, будем иметь r_m>r_{m+1}, что противоречит возрастанию (r_n). Аналогично доказывается ее ограниченность. Возьмем рациональное число r>a. Тогда, очевидно, \forall n\ \sqrt[k]{r_n}<\sqrt[k]{r}. Таким образом, последовательность (\sqrt[k]{r_n}) имеет предел. По теореме о пределе произведения

\displaystyle a=\lim_{n\to\infty}r_n=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{r_n}\right)^k,

т.е. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{r_n}=\xi.

II. Число e (число Эйлера, число Непера)

Рассмотрим последовательность

x_n=\left(1+{1\over n}\right)^n.

Докажем, что эта последовательность имеет предел. Применим бином Ньютона

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
x_n=\left(1+{1\over n}\right)^n=1+n\cdot{1\over n}+{n(n-1)\over 1\cdot2}\cdot{1\over n^2}+\ldots+\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
+{n(n-1)\ldots(n-k+1)\over 1\cdot2\ldots k}{1\over n^k}+\ldots+{n(n-1)\ldots(n-n+1)\over 1\cdot2\ldots n}{1\over n^n}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=1+1+{1\over 2!}\left(1-{1\over n}\right)+{1\over 3!}\left(1-{1\over n}\right)\left(1-{2\over n}\right)+\ldots+\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
+{1\over n!}\left(1-{1\over n}\right)\ldots\left(1-{n-1\over n}\right).<br />
\end{array}

Если от x_n перейти к x_{n+1}, т.е. увеличить n на единицу, то, прежде всего, добавится новый, n+2-й полложительный член, каждый же из написанных n+1 членов увеличится, так как любой множитель в скобках вида \displaystyle 1-{k\over n} заменится большим множителем \displaystyle 1-{k\over n+1}. Отсюда и следует, что x_{n+1}>x_n, т.е. последовательность (x_n) возрастает.

Покажем, что она ограничена сверху. Опустив в выражении для x_n все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что

\displaystyle x_n<2+{1\over 2!}+{1\over 3!}+\ldots+{1\over n!}=y_n.

Заменив каждый множитель в знаменателях дробей числом 2, мы еще увеличим полученное выражение:

\displaystyle y_n<2+{1\over 2}+{1\over 2^2}+\ldots+{1\over 2^{n-1}}.

Но прогрессия, начинающаяся членом 1/2, имеет сумму меньше 1, поэтому x_n<y_n<3.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897), будучи восемь лет преподавателем католической гимназии в городе Браунсберге, усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям математикой. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок, дав ученикам повод пошуметь в классе. Директор гимназии, придя на квартиру к Вейерштрассу, к своему удивлению обнаружил, что он всю ночь занимался математикой и, не заметив наступившего уже утра, продолзжал свои размышления перед горящей лампой. Вскоре в знаменитом “Журнале чистой и прикладной математики”, издаваемом А.Л. Крелле (1780–1855), появилась статья Вейерштрасса по теории функций Абеля с датой 11 сентября 1853 года.

Много позднее сестра Вейерштрасса Клара в одном из писем Софье Владимировне Ковалевской (1850–1891) от 22 марта 1882 года писала: “Математики — самоистязатели”. Когда Карл одержим математикой, то даже “за едой он указательным пальцем правой руки пишет формулы на поверхности другой руки.”

Задачи.

1) Докажите, что данные последовательности имеют предл и найдите его:

1. \displaystyle a_n=\frac{3}{n} .
2. a_{n+1}=a_n^2+5a_n+3,\ a_1=-2 .
3. a_{n+1}=\sqrt{6+a_n},\ a_1=2 .

2) Докажите, что последовательность

x_{n+1}=x_n^2+6x_n+6

не имеет предела.

3) выясните, при каких значениях a последовательность (x_n):

x_{n+1}=x_n^2+5x_n+4,\ x_1=a

имеет предел.

4) Найдите пределы последовательностей:

1. \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k} .

2. \displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1+3+3^3+\ldots+3^k}{5^{k+2}} .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение