Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени n из вещественного числа. Число e

38. Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени n из вещественного числа. Число e

Определение. Пусть $(x_n)$ — произвольная числовая последовательность. Построим новую последовательность по правилу

$s_n=x_1+x_2+\ldots+x_n .$

Последовательность $(s_n)$ называется последовательностью частичных сумм последовательности $(x_n)$ .

Определение. Пусть $(x_n)$ — последовательность, $(s_n)$ — последовательность частичных сумм последовательности $(x_n)$ . Предел последовательности $(s_n)$ называется суммой всех членов последовательности $(x_n)$ .

Найдем сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. геометрической прогрессии со знаменателем, по модулю меньшим $1$ .

Пусть $(x_n)$ — геометрическая прогрессия с первым членом $x_1$ и знаменателем $q,\quad|q|<1$ . $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q^n=0$ . Действительно, из неравенства Бернулли

$(1+a)^n>na$

имеем

${1\over (1+a)^n}<{1\over na} .$

Поскольку $|q|<1$ , то $|q|$ представимо в виде $\displaystyle |q|={1\over 1+a},a>0$ . Тогда

$\begin{array}{l} \displaystyle |q|^n={1\over (1+a)^n}<{1\over na},\\[3mm] \displaystyle 0<|q^n|<{1\over na}. \end{array}$

Применим теорему о сжатой последовательности

$0<|q^n|<{1\over na} .$

Имеем $|q^n|\to0\Longrightarrow q^n\to0$ .

Пусть $(x_n)$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда

$\begin{array}{l} \displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}{x_1\over 1-q}(1-q^n)={x_1\over 1-q}\lim_{n\to\infty}(1-q^n)=\\[3mm] \displaystyle ={x_1\over 1-q}\left(1-\lim_{n\to\infty}q^n\right)={x_1\over 1-q}. \end{array}$

Если через $S$ обозначить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то

$S={x_1\over 1-q}.$

Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.

Любое ограниченное множество $A\in\mathbb{R}$ имеет точную верхнюю границу (т.е. существует наименьшая из всех верхних границ).

Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:

Число $z_0$ называется точной верхней границей множества $A$ , если

1) $z_0$ — верхняя граница $A$ ;

2) $\forall \varepsilon>0\ \exists a\in A:\ a>A-\varepsilon$ .

Обозначение $z_0=\sup A$ .

Замечание. Аналогично определяется точная нижняя граница множества $A$ — $\inf A$ .

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности x_n. Докажем, что точная верхняя граница для последовательности $z_0=\sup\{x_n\}$ и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

$\forall n\ x_n\le z_0.$

Кроме того, какое бы ни взять число $\varepsilon>0$ , найдется такой номер $N$ , что

$x_N>z_0-\varepsilon.$

Так как последовательность монотонна, то при $n>N$ будет $x_n\ge x_N$ , а значит, и $x_n>z_0-\varepsilon$ и выполняются неравенства

$0\le z_0-x_n<\varepsilon \vee |x_n-z_0|<\varepsilon,$

откуда и следует, что $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=z_0$ .

Приложения.

I. Существование $\sqrt[k]{a}$ , $a\in\mathbb{R}$

Пусть $a\in\mathbb{R},k\in\mathbb{N}$ . Корень $k$ -й степени из $a$ — такое вещественное число $\xi$ , что $\xi^k=a$ . Рассмотрим случай, когда $a>0$ и будем искать $\xi>0$ , удовлетворяющее этому соотношению, т.е. арифметическое значение корня.

Возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел $r_n\to a$ .

Докажем, что последовательность $\sqrt[k]{r_n}\to\xi$ .

Последовательность $\sqrt[k]{r_n}$ возрастает. Действительно, предположим противное: $\sqrt[k]{r_m}>\sqrt[k]{r_{m+1}}$ . Тогда, по свойствам неравенств, будем иметь $r_m>r_{m+1}$ , что противоречит возрастанию $(r_n)$ . Аналогично доказывается ее ограниченность. Возьмем рациональное число $r>a$ . Тогда, очевидно, $\forall n\ \sqrt[k]{r_n}<\sqrt[k]{r}$ . Таким образом, последовательность $(\sqrt[k]{r_n})$ имеет предел. По теореме о пределе произведения

$a=\lim_{n\to\infty}r_n=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{r_n}\right)^k,$

т.е. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{r_n}=\xi$ .

II. Число $e$ (число Эйлера, число Непера)

Рассмотрим последовательность

$x_n=\left(1+{1\over n}\right)^n.$

Докажем, что эта последовательность имеет предел. Применим бином Ньютона

$\begin{array}{l} \displaystyle x_n=\left(1+{1\over n}\right)^n=1+n\cdot{1\over n}+{n(n-1)\over 1\cdot2}\cdot{1\over n^2}+\ldots+\\[3mm] \displaystyle +{n(n-1)\ldots(n-k+1)\over 1\cdot2\ldots k}{1\over n^k}+\ldots+{n(n-1)\ldots(n-n+1)\over 1\cdot2\ldots n}{1\over n^n}=\\[3mm] \displaystyle =1+1+{1\over 2!}\left(1-{1\over n}\right)+{1\over 3!}\left(1-{1\over n}\right)\left(1-{2\over n}\right)+\ldots+\\[3mm] \displaystyle +{1\over n!}\left(1-{1\over n}\right)\ldots\left(1-{n-1\over n}\right). \end{array}$

Если от $x_n$ перейти к $x_{n+1}$ , т.е. увеличить $n$ на единицу, то, прежде всего, добавится новый, $n+2$ -й положительный член, каждый же из написанных $n+1$ членов увеличится, так как любой множитель в скобках вида $\displaystyle 1-{k\over n}$ заменится большим множителем $\displaystyle 1-{k\over n+1}$ . Отсюда и следует, что $x_{n+1}>x_n$ , т.е. последовательность $(x_n)$ возрастает.

Покажем, что она ограничена сверху. Опустив в выражении для $x_n$ все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что

$x_n<2+{1\over 2!}+{1\over 3!}+\ldots+{1\over n!}=y_n.$

Заменив каждый множитель в знаменателях дробей числом $2$ , мы еще увеличим полученное выражение:

$y_n<2+{1\over 2}+{1\over 2^2}+\ldots+{1\over 2^{n-1}}.$

Но прогрессия, начинающаяся членом $1/2$ , имеет сумму меньше $1$ , поэтому $x_n<y_n<3$ .

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897), будучи восемь лет преподавателем католической гимназии в городе Браунсберге, усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям математикой. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок, дав ученикам повод пошуметь в классе. Директор гимназии, придя на квартиру к Вейерштрассу, к своему удивлению обнаружил, что он всю ночь занимался математикой и, не заметив наступившего уже утра, продолзжал свои размышления перед горящей лампой. Вскоре в знаменитом “Журнале чистой и прикладной математики”, издаваемом А.Л. Крелле (1780–1855), появилась статья Вейерштрасса по теории функций Абеля с датой 11 сентября 1853 года.

Много позднее сестра Вейерштрасса Клара в одном из писем Софье Владимировне Ковалевской (1850–1891) от 22 марта 1882 года писала: “Математики — самоистязатели”. Когда Карл одержим математикой, то даже “за едой он указательным пальцем правой руки пишет формулы на поверхности другой руки.”

Задачи.

1) Докажите, что данные последовательности имеют предел и найдите его:

1. $\displaystyle a_n=\frac{3}{n} .$
2. $a_{n+1}=a_n^2+5a_n+3,\ a_1=-2 .$
3. $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n},\ a_1=2 .$