Математика, которая мне нравится

Теорема. Пусть (a_n) и (b_n) — сходящиеся последовательности, a и b — их пределы соответственно. Тогда

1) |(a_n+b_n)-(a+b)|\le|a_n-a|+|b_n-b|;

2) \exists c>0:\ |a_nb_n-ab|\le c(|a_n-a|+|b_n-b|);

3) если (b_n) отделена от нуля и b\ne0, то \exists c>0:

Доказательство.

1)

2)

3)

Теорема. Пусть a_n\to a,b_n\to b. Тогда a_n+b_n\to a+b.

Доказательство. Нужно доказать, что \forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall n>N

По предыдущей теореме

Возьмем произвольное \varepsilon>0.

Так как a_n\to a, то \exists N_1:\ \forall n>N_1\ |a_n-a|<\varepsilon/2;

так как b_n\to b, то \exists N_2:\ \forall n>N_2\ |b_n-b|<\varepsilon/2.

Возьмем N=\max\{N_1,N_2\}. Тогда \forall n>N

Теорема. Пусть a_n\to a,b_n\to b. Тогда a_nb_n\to ab.

Доказательство. Нужно доказать, что \forall\varepsilon>0\ \exists N:\ \forall n>N

По предыдущей теореме

Возьмем произвольное \varepsilon>0.

Так как a_n\to a, то \exists N_1:\ \forall n>N_1\ |a_n-a|<\varepsilon/2c;

так как b_n\to b, то \exists N_2:\ \forall n>N_2\ |b_n-b|<\varepsilon/2c.

Возьмем N=\max\{N_1,N_2\}. Тогда \forall n>N

Теорема. Пусть b_n\to b,\forall n b_n\ne0. Тогда 1/b_n\to 1/b.

Доказательство. Последовательность (b_n) отделена от нуля. В промежутке \displaystyle \left( b-{|b|\over 2},b+{|b|\over 2}\right) содержатся все члены последовательности, начиная с N-го. Из тех членов последовательности, которые не содержатся в этом промежутке, выберем самый близкий к нулю и обозначим расстояние от него до нуля через M. Тогда \displaystyle \forall n\ |b_n|\ge\min\{ M,{|b|\over 2}\}, а значит, (b_n) отделена от нуля. Тогда последовательность (1/b_n) ограничена, т.е. \displaystyle \exists c>0:\ \forall n\ \left|{1\over b_n}\right|<c. Нужно доказать, что

Найдем такой номер N, что \displaystyle \forall n>N\ |b_n-b|<\varepsilon{|b|\over c}.

Тогда \forall n>N будет выполняться неравенство

Теорема. Пусть a_n\to a,b_n\to b,b\ne0,\forall n b_n\ne0. Тогда a_n/b_n\to a/b.

Доказательство. По предыдущей теореме \displaystyle {1\over b_n}\to{1\over b}. Применим к последовательностям a_n и 1/b_n теорему о пределе произведения. Получим
\displaystyle a_n\cdot{1\over b_n}\to a\cdot{1\over b}.

Неравенство Бернулли (Bernoulli)

Если n\in\mathbb{N},n>1, и \gamma>1, то

Действительно, положив \gamma=1+\lambda, где \lambda>0, по формуле бинома Ньютона будем иметь

так как ненаписанные члены положительны, то

что равносильно неравенству Бернулли.

Замечание. Другое доказательство неравенства Бернулли можно найти здесь.

Рассмотрим отношение a^n/n^k, при k>0,a>1 представляющее неопределенность вида \displaystyle {\infty\over \infty}.

Положим a=1+\lambda,\lambda>0. По формуле бинома Ньютона имеем

Так как для n>2, очевидно, n-1>n/2, то

При k=1 получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом a>1, то, взяв k>1, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших n)

откуда

Задачи.

1) Вычислите следующие пределы, пользуясь теоремами о пределе суммы, произведения и частного:

1.

2.

3.

4.

2) Постройте на координатной плоскости совокупность точек с координатами, удовлетворяющими уравнению