37. Неравенство Бернулли.
. Вычисление пределов
Теорема. Пусть и
— сходящиеся последовательности,
и
— их пределы соответственно. Тогда
1) ;
2) ;
3) если отделена от нуля и
, то
Доказательство.
1)
2)
3)
Теорема. Пусть . Тогда
.
Доказательство. Нужно доказать, что
По предыдущей теореме
Возьмем произвольное .
Так как , то
;
так как , то
.
Возьмем . Тогда
Теорема. Пусть . Тогда
.
Доказательство. Нужно доказать, что
По предыдущей теореме
Возьмем произвольное .
Так как , то
;
так как , то
.
Возьмем . Тогда
Теорема. Пусть . Тогда
.
Доказательство. Последовательность отделена от нуля. В промежутке
содержатся все члены последовательности, начиная с
-го. Из тех членов последовательности, которые не содержатся в этом промежутке, выберем самый близкий к нулю и обозначим расстояние от него до нуля через
. Тогда
, а значит,
отделена от нуля. Тогда последовательность
ограничена, т.е.
. Нужно доказать, что
Найдем такой номер , что
.
Тогда будет выполняться неравенство
Теорема. Пусть . Тогда
.
Доказательство. По предыдущей теореме . Применим к последовательностям
и
теорему о пределе произведения. Получим
.
Неравенство Бернулли (Bernoulli)
Если , и
, то
Действительно, положив , где
, по формуле бинома Ньютона будем иметь
так как ненаписанные члены положительны, то
что равносильно неравенству Бернулли.
Замечание. Другое доказательство неравенства Бернулли можно найти здесь.
Рассмотрим отношение , при
представляющее неопределенность вида
.
Положим . По формуле бинома Ньютона имеем
Так как для , очевидно,
, то
При получаем сразу
так что
Так как этот результат верен при любом , то, взяв
, можем написать (по крайней мере, для достаточно больших
)
откуда
Задачи.
1) Вычислите следующие пределы, пользуясь теоремами о пределе суммы, произведения и частного:
1.
2.
3.
4.
2) Постройте на координатной плоскости совокупность точек с координатами, удовлетворяющими уравнению
1 zbl:
В доказательстве предела
использовано
, но это верно только, если
. А откуда видно тогда, что
?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 28th, 2013 at 21:17
Так чуть выше:
[Ответить]
zbl Reply:
Август 29th, 2013 at 4:24
А здесь показатель n/k, числитель меньше и не факт, что это не влияет. Доказательство же того, что действительно не влияет, вроде бы эквивалентно как раз доказательству всего этого предела.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 2nd, 2013 at 12:10
Не поняла. Показатель
, основание степени в числителе
. Предел равен
, доказано выше.
[Ответить]
zbl Reply:
Сентябрь 2nd, 2013 at 14:06
Да. Проглядел. Теперь ясно.
[Ответить]