36. Определение и основные свойства предела последовательности

Определение. Число a называется пределом последовательности (x_n), если для любого положительного числа \varepsilon найдется член последовательности такой, что все члены последовательности (x_n), следующие за ним, отстоят от a меньше, чем на \varepsilon.

Определение. Число a называется пределом последовательности (x_n), если в любом открытом промежутке, содержащем число a, содержатся все члены
последовательности (x_n), начиная с некоторого.

Теорема (о единственности предела). Если a — предел последовательности x_n и b — предел последовательности (x_n), то a=b.

Доказательство. Предположим, что a<b. Возьмем \displaystyle\varepsilon={b-a\over 2}. Найдется такой номер N_1, что \forall n>N_1

|x_n-a|<\varepsilon\Longrightarrow x_n<a_n+\varepsilon;

также существует N_2: \forall n>N_2

|x_n-b|<\varepsilon\Longrightarrow x_n>b_n-\varepsilon.

Возьмем n, которое больше N_1 и N_2. Тогда

\displaystyle \left.\begin{array}{l}<br />
x_n<a+\varepsilon,\\<br />
x_n>b-\varepsilon,<br />
\end{array}\right|\Longrightarrow b-\varepsilon<a+\varepsilon\Longrightarrow 2\varepsilon>b-a\Longrightarrow\varepsilon>{b-a\over 2}.

Обозначение. a есть предел (x_n):

\lim x_n=a,

x_n\to a(x_n) стремится (сходится) к a,

\displaystyle<br />
\lim_{n\to\infty}x_n=a\qquad x_n\stackrel{\longrightarrow}{\scriptstyle n\to\infty}a.

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [строго убывающей] <убывающей>, если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] <не больше> предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность (x_n) называется ограниченной, если существует M:\ \forall n\in\mathbb{N}\ |x_n|\le M.

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть a — предел последовательности (x_n). Тогда найдется такой номер N, что \forall n>N |x_n-a|<1

\begin{array}{l}<br />
a-1<x_n<a+1,\\<br />
A=\min\{ a-1,x_1,\ldots,x_n\},\\<br />
B=\max\{ a-1,x_1,\ldots,x_n\} .<br />
\end{array}

Тогда \forall n\quad A\le x_n\le B.

Замечание. Тем самым, мы доказали ограниченность последовательности x_n, поскольку, выбрав M>\max\{|A|,|B|\}, получим |x_n|\le M.

Определение. Говорят, что последовательность (x_n) отделена от нуля, если найдется такое положительное число c, что все члены этой последовательности по модулю больше c.

Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Пусть (a_n) и (b_n) — последовательности, причем \exists N: \forall n>N a_n\le b_n. Пусть a_n\to a, b_n\to b. Тогда a\le b.

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. a>b. Рассмотрим промежутки

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
U_1=\left( b-1,{a+b\over 2}\right),\ U_2=\left( {a+b\over 2},a-1\right);\\[3mm]<br />
\exists N_1: \forall n\ge N_1\ b_n\in U_1 \qquad(b_n\to b)\\<br />
\exists N_2: \forall n\ge N_2\ a_n\in U_2 \qquad(a_n\to a).<br />
\end{array}

Возьмем N ‘=\max\{ N,N_1,N_2\}. Тогда \forall n\ge N ‘

a_n\le b_n,a_n\in U_2,b_n\in U_1.

Получили противоречие, т.к.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
a_n\in U_2\Longrightarrow a_n>{a+b\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
b_n\in U_1\Longrightarrow b_n<{a+b\over 2},\\[3mm]<br />
b_n<a_n.<br />
\end{array}

Замечание. Если в условии теоремы заменить неравенство a_n\le b_n на a_n<b_n, то все равно можно утверждать лишь то, что a\le b. Действительно,

\left.\begin{array}{l}<br />
a_n=0,\\ b_n=1/n,<br />
\end{array}\right|\Longrightarrow\forall n\ a_n<b_n\ \begin{array}{l}<br />
a_n\to 0,\\ b_n\to 0 .<br />
\end{array}

Теорема (принцип сжатой последовательности, теорема о двух милиционерах). Пусть даны последовательности (a_n),(b_n),(c_n) и существует N: \forall n>N a_n\le b_n\le c_n. Известно, что a_n\to a,c_n\to a. Тогда b_n\to a.

Доказательство. Возьмем произвольный промежуток U: a\in U.

\begin{array}{l}<br />
\exists N_1: \forall n\ge N_1\ a_n\in U\qquad  (a_n\to a) ,\\<br />
\exists N_2: \forall n\ge N_2\ c_n\in U\qquad (c_n\to a) .<br />
\end{array}

Обозначим N ‘=\max\{ N,N_1,N_2\}. Тогда \forall n>N ‘

a_n\in U,c_n\in U,a_n\le b_n\le c_n\Longrightarrow\forall n>N ‘\ b_n\in U.

Значит, b_n\to a.

Замечание. Принцип сжатой последовательности является теоремой существования и не следует из теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Определение. Говорят, что \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\infty, если \forall E>0\ \exists N:

|x_n|>E,\ if\ n>N;

Последовательность (x_n) при этом называется бесконечно большой;

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty, если \forall E>0\ \exists N:

x_n>E,\ if\ n>N;

\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=-\infty, если \forall E>0\ \exists N:

x_n<-E,\ if\ n>N.

Определение. Последовательность (x_n) называется бесконечно малой, если \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=0.

Задачи.

1) Выясните, являются ли последовательности монотонными

1. a_n=n^2+1 .
2. a_{n+2}=a_n+a_{n+1}-1,a_1=1,a_2=2 .

2) Выясните, являются ли последовательности ограниченными

1. a_n=n+1 .
2. \displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{a_n+2}+1 ,a_1=1 .

3) Последовательность (a_n) ограничена, а последовательность (b_n) неограничена. Выясните, какие из следующих последовательностей обязательно неограниченные, а какие могут быть неограниченными:

1. x+n=a_n+b_n .
2. \displaystyle x_n=\frac{a_n}{b_n} .
3. x_n=\sqrt[3]{a_n}+\sqrt[5]{b_n} .

3) Докажите, что следующие последовательности стремятся к нулю:

1. \displaystyle a_n=\frac{1}{n-1} .
2. \displaystyle a_n=\frac{1}{n+3} .

4) Докажите, что

1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n-1}=2 .
2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} 2^n=+\infty .

5) Приведите, если это возможно, примеры последовательностей, удовлетворяющим данным ниже условиям. Если это невозможно, объясните, почему.

1. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=1.

2. (x_n) — сходящаяся, (y_n) — расходящаяся, (x_n\cdot y_n) — сходящаяся.

3. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, (x_n\cdot y_n) — сходящаяся.

4. (x_n) и (y_n) — расходящиеся, \displaystyle \lim_{n\to\infty} (x_n\cdot y_n)=1.

Комментариев: 3

  1. 1 Андрей:

    Спасибо!!!

    [Ответить]

    Андрей Reply:

    это развод…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы о чем??? :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение