35. Обратные тригонометрические функции

I. Рассмотрим функцию f(x)=\sin x, где x\in[-\pi/2,\pi/2] (см. рис. 48).

Рис. 48

Множество значений этой функции — [-1,1].

Рассмотрим функцию \varphi(x)=\arcsin x, где x\in[-1,1]. Эта функция — функция, обратная функции f.

II. Рассмотрим функцию f(x)=\cos x, где x\in[0,\pi] (см. рис. 49).

Рис. 49

Функция \varphi(x)=\arccos x — обратная функция.

III. Рассмотрим функцию f(x)={\rm tg}\, x, где x\in(-\pi/2,\pi/2) (см. рис. 50).

Рис. 50

Функция \varphi(x)={\rm arctg}\, x — обратная функция.

IV. Рассмотрим функцию f(x)={\rm ctg}\, x, где x\in(0,\pi) (см. рис. 51).

Рис. 51

Функция \varphi(x)={\rm arcctg}\, x — обратная функция.

Функции {\rm arcsin} и {\rm arctg} строго возрастают, {\rm arccos} и {\rm arcctg} строго убывают. Функции {\rm arcsin} и {\rm arctg} нечетные.

Это следует из общего утверждения:

Утверждение. Функция, обратная нечетной функции, является нечетной функцией.

Доказательство. Пусть f — нечетная функция, \varphi — обратная к ней. Пусть f(a)=b. Тогда f(-a)=-b. Следовательно, \varphi(b)=a,\varphi(-b)=-a. Отсюда \varphi(-b)=-\varphi(b). И это верно для любого числа b из области определения \varphi (\forall b\in E_f,\forall b\in D_{\varphi}).

Теорема. Для любого a\in[-1,1]

\displaystyle {\rm arcsin}\, a+{\rm arccos}\, a={\pi\over 2}.

\displaystyle \forall a\in\mathbb{R}\ {\rm arctg}\, a+{\rm arcctg}\, a={\pi\over 2}.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\sin({\rm arcsin}\, a)=a,\\<br />
\sin(\pi/2-{\rm arccos}\, a)=\cos({\rm arccos}\, a)=a,\\<br />
{\rm arcsin}\, a\in[-\pi/2,\pi/2],\ {\rm arccos}\, a\in[0,\pi],\\<br />
\pi/2-{\rm arccos}\, a\in[-\pi/2,\pi/2].<br />
\end{array}

Так как на отрезке [-\pi/2,\pi/2] синус строго монотонен, то из равенства синусов двух чисел этого отрезка вытекает равенство этих чисел.

\begin{array}{l}<br />
{\rm arcsin}\, a=\pi/2-{\rm arccos}\, a,\\<br />
{\rm arcsin}\, a+{\rm arccos}\, a=\pi/2.<br />
\end{array}

Второе равенство доказывается аналогично.

Теорема. \forall a\in[-1,1]

{\rm arccos}\,(-a)=\pi-{\rm arccos}\, a,

\forall a\in\mathbb{R}\ {\rm arcctg}\,(-a)=\pi-{\rm arcctg}\, a.

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
{\rm arcctg}\,(-a)=\pi/2-{\rm arctg}\, (-a)=\pi/2+{\rm arctg}\,<br />
a=\\<br />
=\pi-(\pi/2-{\rm arctg}\, a)=\pi-{\rm arcctg}\, a.<br />
\end{array}

Первое равенство доказывается аналогично.

Задачи.

1) Найдите значения выражений

1. \displaystyle {\rm arcsin}\, \frac{1}{3}+{\rm arccos}\,\frac{1}{3} .

2. \displaystyle {\rm arcsin}\,\frac{2}{3}-{\rm arccos}\,\frac{2}{3} .

3. {\rm arctg}\,\left(1+\sqrt{2}\right)-{\rm arctg}\,\left(1-\sqrt{2}\right) .

2) Постройте графики функций

1. y={\rm arcsin}\, x+{\rm arccos}\, x .

2. y={\rm tg}({\rm arctg}\, x) .

3. y={\rm arcsin}(\cos x) .

3) Докажите, что для любого значения x из промежутка [-1,1] справедливо неравенство

\displaystyle{\rm arcsin}\, x\cdot{\rm arccos}\, x\le\frac{\pi^2}{16} .

Комментариев: 2

  1. 1 Александр:

    помогите пожалуйста доказать, что arccos(x) + arccos((x/2)+(sqrt(3-3x^2))/2)=Pi/3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александр, проще всего переписать равенство так:
    {\rm arccos}\,(x/2+\sqrt{3-3x^2}/2)=\pi/3-{\rm arccos}\, x,
    а далее взять косинус левой и правой части (справа косинус разности).
    Учитывая, что \sin({\rm arccos}\, \alpha)=\sqrt{1-\alpha^2},
    получите требуемое.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение