35. Обратные тригонометрические функции
I. Рассмотрим функцию , где
(см. рис. 48).
Множество значений этой функции — .
Рассмотрим функцию , где
. Эта функция — функция, обратная функции
.
II. Рассмотрим функцию , где
(см. рис. 49).
Функция — обратная функция.
III. Рассмотрим функцию , где
(см. рис. 50).
Функция — обратная функция.
IV. Рассмотрим функцию , где
(см. рис. 51).
Функция — обратная функция.
Функции и
строго возрастают,
и
строго убывают. Функции
и
нечетные.
Это следует из общего утверждения:
Утверждение. Функция, обратная нечетной функции, является нечетной функцией.
Доказательство. Пусть — нечетная функция,
— обратная к ней. Пусть
. Тогда
. Следовательно,
. Отсюда
. И это верно для любого числа
из области определения
.
Теорема. Для любого
Доказательство.
Так как на отрезке синус строго монотонен, то из равенства синусов двух чисел этого отрезка вытекает равенство этих чисел.
Второе равенство доказывается аналогично.
Теорема.
Доказательство.
Первое равенство доказывается аналогично.
Задачи.
1) Найдите значения выражений
1.
2.
3.
2) Постройте графики функций
1.
2.
3.
3) Докажите, что для любого значения из промежутка
справедливо неравенство
1 Александр:
помогите пожалуйста доказать, что arccos(x) + arccos((x/2)+(sqrt(3-3x^2))/2)=Pi/3
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 4th, 2013 at 22:21
Александр, проще всего переписать равенство так:
,
,
а далее взять косинус левой и правой части (справа косинус разности).
Учитывая, что
получите требуемое.
[Ответить]