Понятие обратной функции | Математика, которая мне нравится

34. Понятие обратной функции

Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел x_1 и x_2 , принадлежащих D_f , числа f(x_1) и f(x_2) также различны.

Пример 1. y=3x+1

$x_1\ne x_2\Rightarrow 3x_1\ne3x_2\Rightarrow 3x_1+1\ne 3x_2+1.$

Пример 2. $y=x^2,\ x\in[0;+\infty)$ .

Пример 3. $y=\sin x,\ x\in[-\pi/2,\pi/2]$ .

Пример 4. $y=\cos x,\ x\in[0,\pi]$ .

Пример 5. $y={\rm tg}\, x,\ x\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Пример 6. $y={\rm ctg}\, x,\ x\in(0,\pi)$ .

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция обратима, D_f — ее область определения, E_f — множество ее значений. Для каждого числа $p\in E_f$ обозначим через $\varphi(p)$ такое число из множества D_f , что f(q)=p (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения E_f и множеством значений D_f . Эта функция называется обратной функции .

Пример 7. f(x)=5x-2 .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

$\begin{array}{l} f(q)=p,\\ 5q-2=p,\\ q=(p+2)/5,\\ \varphi(x)=(x+2)/5. \end{array}$

Функция обратима, $\varphi$ — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция с областью определения и множеством значений имеет обратную функцию $\varphi$ . Пусть $\Gamma_f,\Gamma_{\varphi}$ — графики функций и $\varphi$ соответственно. Точка M(a,b) принадлежит $\Gamma_f$ $\Leftrightarrow b=f(a)$ $\Leftrightarrow a=\varphi(b)$ $\Leftrightarrow$ точка $M’(b,a)\in\Gamma_{\varphi}$ . Осталось доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек C(t,t) , где — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки и симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка MM’ , то есть что любая точка C(t,t) равноудалена от точек и .