34. Понятие обратной функции
Определение. Функция называется обратимой, если для любых двух различных чисел
и
, принадлежащих
, числа
и
также различны.
Пример 1.
Пример 2. .
Пример 3. .
Пример 4. .
Пример 5. .
Пример 6. .
Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы
Теорема. Строго монотонная функция обратима.
Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.
Определение. Пусть функция обратима,
— ее область определения,
— множество ее значений. Для каждого числа
обозначим через
такое число
из множества
, что
(такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения
и множеством значений
. Эта функция называется обратной функции
.
Пример 7. .
Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.
Функция обратима,
— обратная функция.
Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.
Доказательство. Пусть функция с областью определения
и множеством значений
имеет обратную функцию
. Пусть
— графики функций
и
соответственно. Точка
принадлежит
точка
. Осталось доказать, что точки
и
симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек
, где
— любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки
и
симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка
, то есть что любая точка
равноудалена от точек
и
.
Задача. Докажите, что функция необратима. Найдите функцию, обратную
на промежутке
и постройте ее график.
Оставьте свой отзыв