Понятие обратной функции | Математика, которая мне нравится

34. Понятие обратной функции

Определение. Функция $f$ называется обратимой, если для любых двух различных чисел $x_1$ и $x_2$ , принадлежащих $D_f$ , числа $f(x_1)$ и $f(x_2)$ также различны.

Пример 1. $y=3x+1$

$x_1\ne x_2\Rightarrow 3x_1\ne3x_2\Rightarrow 3x_1+1\ne 3x_2+1.$

Пример 2. $y=x^2,\ x\in[0;+\infty)$ .

Пример 3. $y=\sin x,\ x\in[-\pi/2,\pi/2]$ .

Пример 4. $y=\cos x,\ x\in[0,\pi]$ .

Пример 5. $y={\rm tg}\, x,\ x\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Пример 6. $y={\rm ctg}\, x,\ x\in(0,\pi)$ .

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция $f$ обратима, $D_f$ — ее область определения, $E_f$ — множество ее значений. Для каждого числа $p\in E_f$ обозначим через $\varphi(p)$ такое число $q$ из множества $D_f$ , что $f(q)=p$ (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения $E_f$ и множеством значений $D_f$ . Эта функция называется обратной функции $f$ .

Пример 7. $f(x)=5x-2$ .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

$\begin{array}{l} f(q)=p,\\ 5q-2=p,\\ q=(p+2)/5,\\ \varphi(x)=(x+2)/5. \end{array}$

Функция $f$ обратима, $\varphi$ — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция $f$ с областью определения $D$ и множеством значений $E$ имеет обратную функцию $\varphi$ . Пусть $\Gamma_f,\Gamma_{\varphi}$ — графики функций $f$ и $\varphi$ соответственно. Точка $M(a,b)$ принадлежит $\Gamma_f$ $\Leftrightarrow b=f(a)$ $\Leftrightarrow a=\varphi(b)$ $\Leftrightarrow$ точка $M'(b,a)\in\Gamma_{\varphi}$ . Осталось доказать, что точки $M$ и $M'$ симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек $C(t,t)$ , где $t$ — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки $M$ и $M'$ симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка $MM'$ , то есть что любая точка $C(t,t)$ равноудалена от точек $M$ и $M'$ .