34. Понятие обратной функции

Определение. Функция f называется обратимой, если для любых двух различных чисел x_1 и x_2, принадлежащих D_f, числа f(x_1) и f(x_2) также различны.

Пример 1. y=3x+1

x_1\ne x_2\Rightarrow 3x_1\ne3x_2\Rightarrow 3x_1+1\ne 3x_2+1.

Пример 2. y=x^2,\ x\in[0;+\infty).

Пример 3. y=\sin x,\ x\in[-\pi/2,\pi/2].

Пример 4. y=\cos x,\ x\in[0,\pi].

Пример 5. y={\rm tg}\, x,\ x\in(-\pi/2,\pi/2).

Пример 6. y={\rm ctg}\, x,\ x\in(0,\pi).

Обратимость всех этих функций — частный случай следующей теоремы

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция f обратима, D_f — ее область определения, E_f — множество ее значений. Для каждого числа p\in E_f обозначим через \varphi(p) такое число q из множества D_f, что f(q)=p (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения E_f и множеством значений D_f. Эта функция называется обратной функции f.

Пример 7. f(x)=5x-2.

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

\begin{array}{l}<br />
f(q)=p,\\<br />
5q-2=p,\\<br />
q=(p+2)/5,\\<br />
\varphi(x)=(x+2)/5.<br />
\end{array}

Функция f обратима, \varphi — обратная функция.

Теорема. Графики взаимно обратных функций в одной и той же координатной плоскости симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти.

Доказательство. Пусть функция f с областью определения D и множеством значений E имеет обратную функцию \varphi. Пусть \Gamma_f,\Gamma_{\varphi} — графики функций f и \varphi соответственно. Точка M(a,b) принадлежит \Gamma_f \Leftrightarrow b=f(a) \Leftrightarrow a=\varphi(b) \Leftrightarrow точка M’(b,a)\in\Gamma_{\varphi}. Осталось доказать, что точки M и M’ симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четверти. Эта биссектриса состоит из точек C(t,t), где t — любое вещественное число. Чтобы доказать, что точки M и M’ симметричны относительно биссектрисы, достаточно проверить, что биссектриса является серединным перпендикуляром отрезка MM’, то есть что любая точка C(t,t) равноудалена от точек M и M’.

\begin{array}{l}<br />
CM=\sqrt{(t-a)^2+(t-b)^2},\\<br />
CM’=\sqrt{(t-b)^2+(t-a)^2},\\<br />
CM=CM’.<br />
\end{array}

Задача. Докажите, что функция g(x)=x^2-6x+10 необратима. Найдите функцию, обратную g(x) на промежутке [3;+\infty) и постройте ее график.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение