33. Исследование тригонометрических функций

I. f(x)=\sin x

1) Область определения — \mathbb{R}.

2) Множество значений — [-1;1].

Доказательство. Множество значений функции f есть множество ординат точек числовой окружности.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида \displaystyle \left[-{\pi\over 2}+2\pi k;{\pi\over 2}+2\pi k\right], k\in\mathbb{Z}, строго убывает на любом отрезке вида \displaystyle \left[{\pi\over 2}+2\pi k;{3\pi\over 2}+2\pi k\right], k\in\mathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\sin x_1-\sin x_2=2\sin{x_1-x_2\over 2}\cos{x_1+x_2\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{x_1-x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right]\Rightarrow\sin{x_1-x_2\over 2}>0,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{x_1+x_2\over 2}\in\left(-{\pi\over 2}+2\pi k;{\pi\over 2}+2\pi<br />
k\right)\Rightarrow\cos{x_1+x_2\over 2}>0.<br />
\end{array}

Следовательно, \sin x_1>\sin x_2.

4) График — синусоида.

5) 2\pi — главный период.

6) Корни \{\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.

II. f(x)=\cos x

1) Область определения — \mathbb{R}.

2) Множество значений — [-1;1].

Доказательство. Множество значений функции f есть множество абсцисс точек числовой окружности.

3) Функция строго убывает на любом промежутке вида \displaystyle \left[2\pi k; \pi+2\pi k\right], k\in\mathbb{Z}, строго возрастает на любом отрезке вида \left[\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k\right], k\in\mathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\cos x_1-\cos x_2=-2\sin{x_1-x_2\over 2}\sin{x_1+x_2\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{x_1-x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right]\Rightarrow\sin{x_1-x_2\over 2}>0,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{x_1+x_2\over 2}\in\left(2\pi k;\pi+2\pi k\right)<br />
\Rightarrow\sin{x_1+x_2\over 2}>0.<br />
\end{array}

Следовательно, \cos x_1<\cos x_2.

4) График — синусоида.

5) 2\pi — главный период.

6) Корни \displaystyle \left\{\left.{\pi\over 2}+\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

III. f(x)={\rm tg}\, x

1) Область определения — \displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\left.{\pi\over 2}+\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

2) Множество значений — \mathbb{R}.

Лемма.

Рис. 44

Если точка P_{\alpha} не лежит на оси ординат, то точка пересечения прямой OP_{\alpha} с прямой x=1 имеет координаты (1;{\rm tg}\,\alpha).

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 44). Опустим из точки P_{\alpha} перпендикуляр на ось Ox. Пусть он пересечет ось Ox в точке B. Треугольники OP_{\alpha}B и OT_{\alpha}A подобны. Координаты точки P_{\alpha}(\cos\alpha,\sin\alpha), точки T_{\alpha}(1;y). Отсюда

\displaystyle {1\over \cos\alpha}={y\over \sin\alpha}, y={\sin\alpha\over \cos\alpha}={\rm tg}\, \alpha .

Определение. Прямая x=1 называется линией тангенсов.

Рис. 45

Воспользуемся рисунком (рис. 45). Пусть y\in\mathbb{R}. Докажем,что y является значением тангенса. Для этого найдем на линии тангенсов точку M с ординатой y и обозначим через N какую-либо точку пересечения прямой OM с числовой окружностью. Пусть N=P_{\alpha}. Тогда y={\rm tg}\,\alpha.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида \displaystyle \left(-{\pi\over2}+\pi k;{\pi\over2}+\pi k\right), k\in\mathbb{Z}.

Доказательство. Пусть x_1,x_2 — две точки такого промежутка, x_1>x_2.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{\rm tg}\, x_1-{\rm tg}\, x_2={\sin x_1\over \cos x_1} -{\sin x_2\over \cos x_2}={\sin(x_1-x_2)\over \cos x_1\cos x_2},\\[3mm]<br />
x_1-x_2\in(0;\pi)\Rightarrow\sin(x_1-x_2)>0.<br />
\end{array}

Если k четно, то \cos x_1>0,\cos  x_2>0. Если k нечетно, то \cos x_1<0,\cos x_2<0.Следовательно, \cos x_1\cos x_2>0 \Rightarrow {\rm tg}\, x_1>{\rm tg}\, x_2.

4) График — тангенсоида.

5) \pi — главный период.

6) Корни тангенса совпадают с корнями синуса.

На рис. 46 приведен график функции y={\rm tg}\, x.

Рис. 46

На рис. 47 приведен график функции y={\rm ctg}\, x.

Рис. 47

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение