33. Исследование тригонометрических функций
I.
1) Область определения — .
2) Множество значений — .
Доказательство. Множество значений функции есть множество ординат точек числовой окружности.
3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида ,
, строго убывает на любом отрезке вида
,
.
Доказательство. Пусть — две точки такого промежутка,
.
Следовательно, .
4) График — синусоида.
5) — главный период.
6) Корни .
II.
1) Область определения — .
2) Множество значений — .
Доказательство. Множество значений функции есть множество абсцисс точек числовой окружности.
3) Функция строго убывает на любом промежутке вида ,
, строго возрастает на любом отрезке вида
,
.
Доказательство. Пусть — две точки такого промежутка,
.
Следовательно, .
4) График — синусоида.
5) — главный период.
6) Корни .
III.
1) Область определения — .
2) Множество значений — .
Лемма.
Если точка не лежит на оси ординат, то точка пересечения прямой
с прямой
имеет координаты
.
Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 44). Опустим из точки перпендикуляр на ось
. Пусть он пересечет ось
в точке
. Треугольники
и
подобны. Координаты точки
—
, точки
—
. Отсюда
Определение. Прямая называется линией тангенсов.
Воспользуемся рисунком (рис. 45). Пусть . Докажем,что
является значением тангенса. Для этого найдем на линии тангенсов точку
с ординатой
и обозначим через
какую-либо точку пересечения прямой
с числовой окружностью. Пусть
. Тогда
.
3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида ,
.
Доказательство. Пусть — две точки такого промежутка,
.
Если четно, то
. Если
нечетно, то
.Следовательно,
.
4) График — тангенсоида.
5) — главный период.
6) Корни тангенса совпадают с корнями синуса.
На рис. 46 приведен график функции .
На рис. 47 приведен график функции .
Оставьте свой отзыв