Исследование тригонометрических функций | Математика, которая мне нравится

33. Исследование тригонометрических функций

I. $f(x)=\sin x$

1) Область определения — $\mathbb{R}$ .

2) Множество значений — $[-1;1]$ .

Доказательство. Множество значений функции $f$ есть множество ординат точек числовой окружности.

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида $\displaystyle \left[-{\pi\over 2}+2\pi k;{\pi\over 2}+2\pi k\right]$ , $k\in\mathbb{Z}$ , строго убывает на любом отрезке вида $\displaystyle \left[{\pi\over 2}+2\pi k;{3\pi\over 2}+2\pi k\right]$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Доказательство. Пусть $x_1,x_2$ — две точки такого промежутка, $x_1>x_2$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle \sin x_1-\sin x_2=2\sin{x_1-x_2\over 2}\cos{x_1+x_2\over 2},\\[3mm] \displaystyle {x_1-x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right]\Rightarrow\sin{x_1-x_2\over 2}>0,\\[3mm] \displaystyle {x_1+x_2\over 2}\in\left(-{\pi\over 2}+2\pi k;{\pi\over 2}+2\pi k\right)\Rightarrow\cos{x_1+x_2\over 2}>0. \end{array}$

Следовательно, $\sin x_1>\sin x_2$ .

4) График — синусоида.

5) $2\pi$ — главный период.

6) Корни $\{\pi k|k\in\mathbb{Z}\}$ .

II. $f(x)=\cos x$

1) Область определения — $\mathbb{R}$ .

2) Множество значений — $[-1;1]$ .

Доказательство. Множество значений функции $f$ есть множество абсцисс точек числовой окружности.

3) Функция строго убывает на любом промежутке вида $\displaystyle \left[2\pi k; \pi+2\pi k\right]$ , $k\in\mathbb{Z}$ , строго возрастает на любом отрезке вида $\left[\pi+2\pi k;2\pi+2\pi k\right]$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Доказательство. Пусть $x_1,x_2$ — две точки такого промежутка, $x_1>x_2$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos x_1-\cos x_2=-2\sin{x_1-x_2\over 2}\sin{x_1+x_2\over 2},\\[3mm] \displaystyle {x_1-x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right]\Rightarrow\sin{x_1-x_2\over 2}>0,\\[3mm] \displaystyle {x_1+x_2\over 2}\in\left(2\pi k;\pi+2\pi k\right) \Rightarrow\sin{x_1+x_2\over 2}>0. \end{array}$

Следовательно, $\cos x_1<\cos x_2$ .

4) График — синусоида.

5) $2\pi$ — главный период.

6) Корни $\displaystyle \left\{\left.{\pi\over 2}+\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

III. $f(x)={\rm tg}\, x$

1) Область определения — $\displaystyle \mathbb{R}\setminus\left\{\left.{\pi\over 2}+\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

2) Множество значений — $\mathbb{R}$ .

Лемма.

Рис. 44

Если точка $P_{\alpha}$ не лежит на оси ординат, то точка пересечения прямой $OP_{\alpha}$ с прямой $x=1$ имеет координаты $(1;{\rm tg}\,\alpha)$ .

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 44). Опустим из точки $P_{\alpha}$ перпендикуляр на ось $Ox$ . Пусть он пересечет ось $Ox$ в точке $B$ . Треугольники $OP_{\alpha}B$ и $OT_{\alpha}A$ подобны. Координаты точки $P_{\alpha}$ — $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ , точки $T_{\alpha}$ — $(1;y)$ . Отсюда

${1\over \cos\alpha}={y\over \sin\alpha}, y={\sin\alpha\over \cos\alpha}={\rm tg}\, \alpha .$

Определение. Прямая $x=1$ называется линией тангенсов.

Рис. 45

Воспользуемся рисунком (рис. 45). Пусть $y\in\mathbb{R}$ . Докажем,что $y$ является значением тангенса. Для этого найдем на линии тангенсов точку $M$ с ординатой $y$ и обозначим через $N$ какую-либо точку пересечения прямой $OM$ с числовой окружностью. Пусть $N=P_{\alpha}$ . Тогда $y={\rm tg}\,\alpha$ .

3) Функция строго возрастает на любом промежутке вида $\displaystyle \left(-{\pi\over2}+\pi k;{\pi\over2}+\pi k\right)$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Доказательство. Пусть $x_1,x_2$ — две точки такого промежутка, $x_1>x_2$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle {\rm tg}\, x_1-{\rm tg}\, x_2={\sin x_1\over \cos x_1} -{\sin x_2\over \cos x_2}={\sin(x_1-x_2)\over \cos x_1\cos x_2},\\[3mm] x_1-x_2\in(0;\pi)\Rightarrow\sin(x_1-x_2)>0. \end{array}$

Если $k$ четно, то $\cos x_1>0,\cos x_2>0$ . Если $k$ нечетно, то $\cos x_1<0,\cos x_2<0$ .Следовательно, $\cos x_1\cos x_2>0$ $\Rightarrow {\rm tg}\, x_1>{\rm tg}\, x_2$ .