32. Синусоида

Теорема. Если a>0, то

    \[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left( x+{\rm arctg}\, {b\over a}\right).\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle a\sin x+b\cos x=a\left( \sin x+{b\over a}\cos x\right)=a(\sin x+{\rm tg}\,\alpha\cos x)\\[3mm] \displaystyle (\alpha={\rm arctg}\,{b\over a})\\[3mm] \displaystyle =a\left(\sin x+{\sin\alpha\over \cos\alpha}\cos x\right)={a\over \cos\alpha}(\sin x\cos\alpha+\sin\alpha\cos x)=\\[3mm] \displaystyle ={a\over \cos\alpha}\sin(x+\alpha).\\[3mm] \displaystyle {1\over \cos^2\alpha}=1+{\rm tg}^2\alpha=1+\left({b\over a}\right)^2={a^2+b^2\over a^2}. \end{array}\]

Так как \displaystyle\alpha\in\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right], то \cos\alpha\ge0.

Так как a>0, то

    \[\begin{array}{l} \displaystyle {1\over \cos\alpha}={\sqrt{a^2+b^2}\over a}\Rightarrow{a\over \cos\alpha}=\sqrt{a^2+b^2},\\[3mm] \displaystyle a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left( x+{\rm arctg}\, {b\over a}\right). \end{array}\]

Примеры.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle {\bf 1.}\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left( x+{\pi\over 4}\right) .\\[3mm] \displaystyle {\bf 2.}\ \sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left( x-{\pi\over 4}\right) .\\[3mm] \displaystyle {\bf 3.}\ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin\left( x+{\pi\over 3}\right) \\[3mm] \displaystyle {\bf 4.}\ 3\sin x+4\cos x=5\sin\left( x+{\rm arctg}\, {4\over 3}\right). \end{array}\]

Определение. Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции y=a\sin x, где a\ne0. Число |a| называется амплитудой.

Рис. 41

1) Так как a\sin(-x)=-a\sin x, то синусоида симметрична относительно начала координат.

2) Так как a\sin(x+2\pi)=a\sin x, то достаточно построить график на отрезке длины 2\pi, например, на отрезке от -\pi до \pi, а в силу симметрии достаточно взять отрезок [0;\pi].

3) Так как a\sin(\pi-x)=a\sin x, то синусоида симметрична относительно прямой \displaystyle x={\pi\over 2}. Поэтому достаточно построить синусоиду на отрезке \displaystyle \left[0;{\pi\over 2}\right].

Теорема. Если a>0, то функция f(x)=a\sin x строго возрастает на отрезке \displaystyle \left[0;{\pi\over 2}\right].

Доказательство. Пусть \displaystyle x_1,x_2\in\left[0;{\pi\over 2}\right],x_1>x_2.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle f(x_1)-f(x_2)=a(\sin x_1-\sin x_2)=2a\cos{x_1+x_2\over 2}\sin{x_1-x_2\over 2},\\[3mm] \displaystyle {x_1+x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right)\Rightarrow\cos{x_1+x_2\over 2}>0,\\[3mm] \displaystyle {x_1-x_2\over 2}\in\left(0;{\pi\over 2}\right)\Rightarrow\sin{x_1-x_2\over 2}>0,\\[3mm] \Rightarrow f(x_1)>f(x_2) . \end{array}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

График функции y=\sin x

Рис. 42

График функции y=\cos x

    \[\begin{array}{c} y=\cos x,\\[3mm] \displaystyle \cos x=\sin\left( x+{\pi\over 2}\right) . \end{array}\]

Рис. 43

Теорема. График любой функции вида

    \[f(x)=a\sin(\omega x+\varphi)+b\cos(\omega x+\varphi),\]

где a,b,\omega,\varphi\in\mathbb{R},\omega\ne0 и из чисел a,b хотя бы одно не равно нулю, является синусоидой.

Определение. Такая функция называется гармоническим колебанием, число \omega называется частотой этого колебания, \varphiначальной фазой; амплитуда этого колебания равна \sqrt{a^2+b^2}. Период этого колебания равен \displaystyle {2\pi\over \omega}.

Доказательство. Пусть a>0.

    \[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\omega x+\alpha),\qquad \alpha={\rm arctg}\, {b\over a} .\]

Из синусоиды y=\omega\sqrt{a^2+b^2}\sin x получим переносом оси ординат график функции y=\omega\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha), а затем увеличим масштаб в \omega раз. Получим график функции f.

Задачи.

1) Постройте графики функций

1. y=\sin(3|x|+\pi/3) .

2. y=\cos(2|x|+\pi/6)-1 .

3. y=|\sin(2x-\pi/3)|+1 .

4. y=|\sin(2x+\pi/4)|+2.

2) Докажите, что графики следующих функций — синусоиды, и постройте их:

1. y=\sin^2x .
2. y=3\cos^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+\sin^2 x .

Комментариев: 2

  1. 1 Юра:

    y=3 sin x
    y= cos(x – П/2)
    y=3 cos(2x- П/2)
    розвяжіть плиз

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение