Простейшие тригонометрические уравнения | Математика, которая мне нравится

31. Простейшие тригонометрические уравнения

I. Уравнение $\cos x=\cos\alpha$

Теорема. Множество решений уравнения $\cos x=\cos\alpha$ есть множество

$\{\pm\alpha+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .$

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow\cos x-\cos\alpha=0 \Leftrightarrow-2\sin{x-\alpha\over 2}\sin{x+\alpha\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle {\bf 1.} \sin{x-\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow{x-\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle {\bf 2.} \sin{x+\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow{x+\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

II. Уравнение $\sin x=\sin\alpha$

Теорема. Множество решений уравнения $\sin x=\sin\alpha$ есть множество

$\{\alpha+2\pi k;\pi-\alpha+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .$

Доказательство. Воспользуемся рисунком (рис. 40):

Рис. 40

$\begin{array}{l} \sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\sin x-\sin\alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm] \displaystyle \Leftrightarrow2\sin{x-\alpha\over 2}\cos{x+\alpha\over 2}=0.\\[3mm] \displaystyle {\bf 1.}\ \sin{x-\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow {x-\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .\\[3mm] \displaystyle {\bf 2.}\ \cos{x+\alpha\over 2}={\pi\over 2}+\pi k\Leftrightarrow x=\pi-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Следствие. Множество решений уравнения $\sin x=\sin\alpha$ есть множество

$\{(-1)^n\alpha+\pi n|n\in\mathbb{Z}\}.$

Доказательство. Если $n$ — четное число, $n=2k,\ k\in\mathbb{Z}$

$(-1)^n\alpha+\pi n=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .$

Если $n$ нечетно, $n=2k+1,\ k\in\mathbb{Z}$

$(-1)^n\alpha+\pi n=\pi-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

III. Уравнение ${\rm tg}\, x={\rm tg}\,\alpha$

Теорема. Множество решений уравнения ${\rm tg}\, x={\rm tg}\,\alpha$ есть множество

$\{\alpha+\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .$

Доказательство.

$\begin{array}{c}\displaystyle {\rm tg}\, x={\rm tg}\, \alpha\Leftrightarrow{\rm tg}\, x-{\rm tg}\,\alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm] \displaystyle \Leftrightarrow{\sin x\over \cos x}-{\sin\alpha\over \cos\alpha}=0\Leftrightarrow {\sin x\cos\alpha-\cos x\sin\alpha\over \cos x\cos\alpha}=0 \Leftrightarrow{\sin(x-\alpha)\over \cos x\cos\alpha}=0,\\[3mm] x=\alpha+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Нужно проверить, что при этом $\cos x\ne0$ . Но $\cos(\alpha+\pi k)=\pm\cos\alpha\ne0$ , так как определен ${\rm tg}\,\alpha$ .

IV. Уравнение ${\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha$

Теорема. Множество решений уравнения ${\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha$ есть множество

$\{\alpha+\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.$

Доказательство.

$\begin{array}{c} \displaystyle {\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha\Leftrightarrow{\rm ctg}\, x-{\rm ctg}\, \alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm] \displaystyle \Leftrightarrow{\cos x\over \sin x}-{\cos\alpha\over \sin\alpha}=0\Leftrightarrow {\cos x\sin\alpha-\sin x\cos\alpha\over \sin x\sin\alpha}=0 \Leftrightarrow{\sin(\alpha-x)\over \sin x\sin\alpha}=0,\\[3mm] x=\alpha+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} . \end{array}$

Нужно проверить, что при этом $\sin x\ne0$ . Но $\sin(\alpha+\pi k)=\pm\sin\alpha\ne0$ , так как определен ${\rm ctg}\,\alpha$ .

Определение. Пусть $|a|\le1$ . Арксинусом числа $a$ называется число $\displaystyle \alpha\in\left[-{\pi\over 2};{\pi\over 2}\right]$ , синус которого равен $a$ >.

Определение. Пусть $a\in\mathbb{R}$ . Арктангенсом числа $a$ называется число $\displaystyle \alpha\in\left(-{\pi\over 2};{\pi\over 2}\right)$ , тангенс которого равен $a$ .