31. Простейшие тригонометрические уравнения

I. Уравнение \cos x=\cos\alpha

Теорема. Множество решений уравнения \cos x=\cos\alpha есть множество

\{\pm\alpha+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow\cos x-\cos\alpha=0 \Leftrightarrow-2\sin{x-\alpha\over 2}\sin{x+\alpha\over 2}=0,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
<strong>1.</strong> \sin{x-\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow{x-\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
<strong>2.</strong> \sin{x+\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow{x+\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

II. Уравнение \sin x=\sin\alpha

Теорема. Множество решений уравнения \sin x=\sin\alpha есть множество

\{\alpha+2\pi k;\pi-\alpha+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .

Доказательство. Воспользуемся рисунком (рис. 40):

Рис. 40

\begin{array}{l}<br />
\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\sin x-\sin\alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\Leftrightarrow2\sin{x-\alpha\over 2}\cos{x+\alpha\over 2}=0.\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
<strong>1.</strong> \sin{x-\alpha\over 2}=0\Leftrightarrow {x-\alpha\over 2}=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow x=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
<strong>2.</strong> \cos{x+\alpha\over 2}={\pi\over 2}+\pi k\Leftrightarrow<br />
x=\pi-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Следствие. Множество решений уравнения \sin x=\sin\alpha есть множество

\{(-1)^n\alpha+\pi n|n\in\mathbb{Z}\}.

Доказательство. Если n — четное число, n=2k,\ k\in\mathbb{Z}

(-1)^n\alpha+\pi n=\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .

Если n нечетно, n=2k+1,\ k\in\mathbb{Z}

(-1)^n\alpha+\pi n=\pi-\alpha+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

III. Уравнение {\rm tg}\, x={\rm tg}\,\alpha

Теорема. Множество решений уравнения {\rm tg}\, x={\rm tg}\,\alpha есть множество

\{\alpha+\pi k|k\in\mathbb{Z}\} .

Доказательство.

\begin{array}{c}\displaystyle {\rm tg}\, x={\rm tg}\, \alpha\Leftrightarrow{\rm tg}\, x-{\rm tg}\,\alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm]<br />
\displaystyle \Leftrightarrow{\sin x\over \cos x}-{\sin\alpha\over<br />
\cos\alpha}=0\Leftrightarrow {\sin x\cos\alpha-\cos<br />
x\sin\alpha\over \cos x\cos\alpha}=0<br />
\Leftrightarrow{\sin(x-\alpha)\over \cos x\cos\alpha}=0,\\[3mm]<br />
x=\alpha+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Нужно проверить, что при этом \cos x\ne0. Но \cos(\alpha+\pi k)=\pm\cos\alpha\ne0, так как определен {\rm tg}\,\alpha.

IV. Уравнение {\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha

Теорема. Множество решений уравнения {\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha есть множество

\{\alpha+\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.

Доказательство.

\begin{array}{c} \displaystyle {\rm ctg}\, x={\rm ctg}\,\alpha\Leftrightarrow{\rm ctg}\,<br />
x-{\rm ctg}\, \alpha=0\Leftrightarrow\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\Leftrightarrow{\cos x\over \sin x}-{\cos\alpha\over<br />
\sin\alpha}=0\Leftrightarrow {\cos x\sin\alpha-\sin<br />
x\cos\alpha\over \sin x\sin\alpha}=0<br />
\Leftrightarrow{\sin(\alpha-x)\over \sin x\sin\alpha}=0,\\[3mm]<br />
x=\alpha+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .<br />
\end{array}

Нужно проверить, что при этом \sin x\ne0. Но \sin(\alpha+\pi k)=\pm\sin\alpha\ne0, так как определен {\rm ctg}\,\alpha.

Определение. Пусть |a|\le1. Арксинусом числа a называется число \displaystyle \alpha\in\left[-{\pi\over 2};{\pi\over 2}\right], синус которого равен a.

Определение. Пусть a\in\mathbb{R}. Арктангенсом числа a называется число \displaystyle \alpha\in\left(-{\pi\over 2};{\pi\over 2}\right), тангенс которого равен a.

Задачи.

1) Решите следующие уравнения:

1. \sin t=1.

2. \cos t=-1.

3. \sin t=1/2.

4. \cos t=-\sqrt{2}/2.

2) Решите следующие неравенства:

1. \cos t >0.

2. \sin t\le \sqrt{3}/3.

3. \displaystyle \frac{1}{\sin t} < 2.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение