30. Корни тригонометрических функций

Теорема.

\sin x=0\Leftrightarrow x\in\{\pi k| k\in\mathbb{Z}\} .

Доказательство.

Рис. 39

\begin{array}{l}<br />
\sin x=0\Leftrightarrow x\in\{ A,C\},\\<br />
<strong>1.</strong> P(x)=A\Leftrightarrow P(x)=P(0) \Leftrightarrow x\in\{0+2\pi n|n\in\mathbb{Z}\}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow x\in\{\pi\cdot2n|n\in\mathbb{Z}\} .\\<br />
<strong>2.</strong> P(x)=C\Leftrightarrow P(x)=P(\pi) \Leftrightarrow x\in\{\pi+2\pi n|n\in\mathbb{Z}\}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow x\in\{\pi(2n+1)|n\in\mathbb{Z}\} .<br />
\end{array}

Объединением этих двух множеств является множество

\{\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.

Теорема.

\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x\in\left\{{\pi\over 2}+\pi k\left|<br />
k\in\mathbb{Z}\right.\right\} .

Доказательство.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow \sin\left(-{\pi\over 2}+x\right)=0\Leftrightarrow-{\pi\over 2}+x=\pi k,\<br />
k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\Leftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} .<br />
\end{array}

Теорема.

\begin{array}{l}<br />
{\rm tg}\, x=0\Leftrightarrow\sin x=0,\\<br />
{\rm ctg}\, x=0\Leftrightarrow\cos x=0 .<br />
\end{array}

Доказательство очевидно.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение