30. Корни тригонометрических функций

Теорема.

    \[\sin x=0\Leftrightarrow x\in\{\pi k| k\in\mathbb{Z}\} .\]

Доказательство.

Рис. 39

    \[\begin{array}{l} \sin x=0\Leftrightarrow x\in\{ A,C\},\\ <strong>1.</strong> P(x)=A\Leftrightarrow P(x)=P(0) \Leftrightarrow x\in\{0+2\pi n|n\in\mathbb{Z}\}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x\in\{\pi\cdot2n|n\in\mathbb{Z}\} .\\ <strong>2.</strong> P(x)=C\Leftrightarrow P(x)=P(\pi) \Leftrightarrow x\in\{\pi+2\pi n|n\in\mathbb{Z}\}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x\in\{\pi(2n+1)|n\in\mathbb{Z}\} . \end{array}\]

Объединением этих двух множеств является множество

    \[\{\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.\]

Теорема.

    \[\displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow x\in\left\{{\pi\over 2}+\pi k\left| k\in\mathbb{Z}\right.\right\} .\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \cos x=0\Leftrightarrow \sin\left(-{\pi\over 2}+x\right)=0\Leftrightarrow-{\pi\over 2}+x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\\[3mm] \displaystyle \Leftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} . \end{array}\]

Теорема.

    \[\begin{array}{l} {\rm tg}\, x=0\Leftrightarrow\sin x=0,\\ {\rm ctg}\, x=0\Leftrightarrow\cos x=0 . \end{array}\]

Доказательство очевидно.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение