3. Числовая прямая

Рассмотрим числовую прямую (рис. 6):

Числовая прямая

Рис. 6

Рассмотрим множество рациональных чисел

\displaystyle\mathbb{Q}=\left\{{m\over n}|m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}.

Каждое рациональное число изображается некоторой точкой на числовой оси. Так, на рисунке отмечены числа -1,7;0;1;2;2,6.

Докажем, что \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}.

Доказательство. Пусть существует дробь \displaystyle{p\over q}: \displaystyle\left({p\over q}\right)^2=2. Мы вправе считать эту дробь несократимой. Так как p^2=2q^2, то p — число четное: p=2r (r\in\mathbb{Z})\Longrightarrow q — нечетное. Подставляя вместо p его выражение, найдем: q^2=2r^2, откуда следует, что q — четное число. Получили противоречие, которое доказывает утверждение.

Итак, не все точки числовой оси изображают рациональные числа. Те точки, которые не изображают рациональные числа, изображают числа, называемые иррациональными.

Любое число вида \sqrt[n]{a}, n\in\mathbb{N},n\ge2, a>0,a\in\mathbb{Z} является либо целым, либо иррациональным.

Задачи.

1. Докажите, что нет рационального числа, квадрат которого равен 3; 5; куб которого равен 3; 6.

2. Докажите, что если a — целое число, не являющееся квадратом целого числа, то оно не является квадратом никакого рационального числа.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение