29. Периодические функции
Определение. Число , если
и
.
Если числа
и
принадлежат
и
, то
.
Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.
Примеры.
1) ,
,
.
Любое целое число является периодом этой функции.
2) ,
,
,
.
Число является периодом любой из этих функций.
Теорема. Если — периоды функции
, то
— тоже периоды
.
Доказательство. Пусть . Тогда
Аналогично доказывается, что — период.
Следствие. Если — период
,
, то
— период
.
Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции называется главным периодом этой функции.
Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.
Функция Дирихле
Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.
Теорема. Если — главный период функции
, то любой ее период имеет вид
, где
.
Доказательство. Пусть — произвольный период функции
и пусть
. Тогда
является периодом функции
. Если бы было
, то
было бы положительным периодом, меньшим
. Это противоречит тому, что
— главный период. Значит,
.
Теорема. — главный период функций синус и косинус.
Доказательство. 1.
Значит, — период функций синус и косинус.
2. Так как решениями уравнения являются числа
,
и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше
, то синус не может иметь положительного периода, меньшего
.
Аналогично доказательство проводится для косинуса.
Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — .
Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.
1 Евгения:
У вас функция Дирихле неправильно указана. Она принимает значение 1 в рациональных точках и 0 – в иррациональных. А у вас написано, что наоборот.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 4th, 2013 at 19:41
Евгения, спасибо, исправила.
[Ответить]