Математика, которая мне нравится

Определение. Число называется периодом функции , если и .

Если числа и принадлежат и , то .

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Примеры.

1) , , .

Любое целое число является периодом этой функции.

2) ,

,

,

.

Число является периодом любой из этих функций.

Теорема. Если — периоды функции , то — тоже периоды .

Доказательство. Пусть . Тогда

Аналогично доказывается, что — период.

Следствие. Если — период , , то — период .

Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции называется главным периодом этой функции.

Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.

Функция Дирихле

Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Теорема. Если — главный период функции , то любой ее период имеет вид , где .

Доказательство. Пусть — произвольный период функции и пусть . Тогда

является периодом функции . Если бы было , то было бы положительным периодом, меньшим . Это противоречит тому, что — главный период. Значит, .

Теорема. — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.

Значит, — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения являются числа , и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше , то синус не может иметь положительного периода, меньшего .

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — .

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.