29. Периодические функции

Определение. Число T называется периодом функции f, если \forall x\in D_f x+T\in D_f и f(x+T)=f(x).

Если \forall x\in D_f числа x+T и x-T принадлежат D_f и f(x+T)=f(x), то f(x-T)=f(x-T+T)=f(x).

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Примеры.

1) f(n)=(-1)^n, n\in\mathbb{Z}, f(x)=\{x\}.

Любое целое число является периодом этой функции.

2) f(x)=\sin x,

f(x)=\cos x,

f(x)={\rm tg}\, x,

f(x)={\rm ctg}\, x.

Число 2\pi является периодом любой из этих функций.

Теорема. Если T_1,T_2 — периоды функции f, то T_1+T_2,T_1-T_2 — тоже периоды f.

Доказательство. Пусть x\in D_f. Тогда

\left.\begin{array}{l}<br />
x+T_1\in D_f,\\<br />
x-T_1\in D_f,<br />
\end{array}\right|\Rightarrow \begin{array}{l}<br />
(x+T_1)+T_2\in D_f,\\<br />
(x-T_1)-T_2\in D_f.<br />
\end{array}

\begin{array}{c}<br />
x+(T_1+T_2)\in D_f,\\<br />
x-(T_1+T_2)\in D_f,\\<br />
f(x+(T_1+T_2))=f((x+T_1)+T_2)=f(x+T_1)=f(x).<br />
\end{array}

Аналогично доказывается, что T_1-T_2 — период.

Следствие. Если T — период f, n\in\mathbb{Z}, то nT — период f.

Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции f называется главным периодом этой функции.

Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.

Функция Дирихле

f(x)=\left\{\begin{array}{ll}<br />
1,& x\in\mathbb{Q},\\<br />
0,& x\not\in\mathbb{Q}.<br />
\end{array}\right.

Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Теорема. Если T — главный период функции f, то любой ее период имеет вид nT, где n\in\mathbb{Z}.

Доказательство. Пусть T_1 — произвольный период функции f и пусть n=\left[{T_1\over T}\right]. Тогда

\begin{array}{c}<br />
n\le{T_1\over T}<n+1,\\[1mm]<br />
nT\le T_1<(n+1)T,\\<br />
0\le T_1-nT<T.<br />
\end{array}
T_1-nT является периодом функции f. Если бы было T_1-nT>0, то T_1-nT было бы положительным периодом, меньшим T. Это противоречит тому, что T — главный период. Значит, T_1-nT=0\Leftrightarrow T_1=nT.

Теорема. 2\pi — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.

\forall x\in\mathbb{R} \begin{array}{l}<br />
\sin(x+2\pi)=\sin x,\\<br />
\cos(x+2\pi)=\cos x.<br />
\end{array}

Значит, 2\pi — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения \sin x=1 являются числа \pi/2+2\pi k, k\in\mathbb{Z} и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше 2\pi, то синус не может иметь положительного периода, меньшего 2\pi.

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — \pi.

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Комментариев: 2

  1. 1 Евгения:

    У вас функция Дирихле неправильно указана. Она принимает значение 1 в рациональных точках и 0 – в иррациональных. А у вас написано, что наоборот.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Евгения, спасибо, исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение