28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Теорема. Для любых x и y справедливы равенства

    \[\begin{array}{c} \displaystyle \cos x+\cos y=2\cos{x+y\over 2}\cos{x-y\over 2},\\[3mm] \displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin{x+y\over 2}\sin{x-y\over 2},\\[3mm] \displaystyle \sin x+\sin y=2\sin{x+y\over 2}\cos{x-y\over 2},\\[3mm] \displaystyle \sin x-\sin y=2\cos{x+y\over 2}\sin{x-y\over 2} . \end{array}\]

Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму

    \[\begin{array}{l} \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\[2mm] 2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta),\\ \alpha-\beta=x,\alpha+\beta=y,\\[3mm] \displaystyle \alpha={x+y\over 2},\beta={y-x\over 2} . \end{array}\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение