28. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Теорема. Для любых x и y справедливы равенства
\begin{array}{c}<br />
\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos{x+y\over 2}\cos{x-y\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin{x+y\over 2}\sin{x-y\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin{x+y\over 2}\cos{x-y\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos{x+y\over 2}\sin{x-y\over 2} .<br />
\end{array}

Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму
\begin{array}{l}<br />
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\\<br />
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\[2mm]<br />
2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta),\\<br />
\alpha-\beta=x,\alpha+\beta=y,\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\alpha={x+y\over 2},\beta={y-x\over 2} .<br />
\end{array}

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение