27. Формулы двойного и половинного аргумента

Теорема. Если \cos\alpha\ne0, то

    \[\sin2\alpha={2{\rm tg}\,\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha},\ \cos2\alpha={1-{\rm tg}^2\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha} .\]

Доказательство.

    \[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2{\rm tg}\, \alpha\cdot\cos^2\alpha={2{\rm tg}\, \alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha},\]

    \[\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1={2\over 1+{\rm tg}^2\alpha}-1={1-{\rm tg}^2\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha} .\]

Теорема.

    \[\begin{array}{ll} {\bf 1.}&\displaystyle \cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\\[3mm] {\bf 2.}&\displaystyle \sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\\[3mm] {\bf 3.}&\displaystyle {\rm tg}\, {\alpha\over 2}={\sin\alpha\over 1+\cos\alpha}\quad\left(\cos{\alpha\over 2}\ne0\right) \end{array}\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{ll} \displaystyle \cos\alpha=\cos{2\alpha\over 2}=2\cos^2{\alpha\over 2}-1\Rightarrow{\bf 1.}\\[3mm] \displaystyle =1-2\sin^2{\alpha\over 2}\Rightarrow{\bf 2.}\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, {\alpha\over 2}={\sin{\alpha\over 2}\over \cos{\alpha\over 2}}={2\sin{\alpha\over 2}\cos{\alpha\over 2}\over 2\cos^2{\alpha\over 2}}={\sin\alpha\over 1+\cos\alpha} . \end{array}\]

Задачи.

1) Упростите

1. \displaystyle \frac{\sin25^{\circ}\sin65^{\circ}}{\cos40^{\circ}}.

2. (\cos^210^{\circ}-\cos^280^{\circ})^2+\cos^270^{\circ}.

3. \sin20^{\circ}+2\sin^235^{\circ}.

4. \displaystyle \frac{1}{2\sin10^{\circ}}-2\sin70^{\circ}.

5. \cos20^{\circ}\cos40^{\circ}\cos80^{\circ}.

6. \cos\frac{\pi}{5}.

7. \displaystyle \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}.

Комментариев: 3

  1. 1 Тригонометрические софизмы | Математика, которая мне нравится:

    [...] Формула косинуса двойного угла верна не для всякого [...]

  2. 2 Дима:

    Доказателсьтва ахххаха что это ерунда?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение