Формулы двойного и половинного аргумента | Математика, которая мне нравится

27. Формулы двойного и половинного аргумента

Теорема. Если $\cos\alpha\ne0$ , то

$\displaystyle\sin2\alpha={2{\rm tg}\,\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha},\ \cos2\alpha={1-{\rm tg}^2\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha} .$

Доказательство.

$\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2{\rm tg}\, \alpha\cdot\cos^2\alpha={2{\rm tg}\, \alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha},$

$\displaystyle \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1={2\over 1+{\rm tg}^2\alpha}-1={1-{\rm tg}^2\alpha\over 1+{\rm tg}^2\alpha} .$

Теорема.

$\begin{array}{ll} {\bf 1.}&\displaystyle \cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\\[3mm] {\bf 2.}&\displaystyle \sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\\[3mm] {\bf 3.}&\displaystyle {\rm tg}\, {\alpha\over 2}={\sin\alpha\over 1+\cos\alpha}\quad\left(\cos{\alpha\over 2}\ne0\right) \end{array}$

Доказательство.

$\begin{array}{ll} \displaystyle \cos\alpha=\cos{2\alpha\over 2}=2\cos^2{\alpha\over 2}-1\Rightarrow{\bf 1.}\\[3mm] \displaystyle =1-2\sin^2{\alpha\over 2}\Rightarrow{\bf 2.}\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, {\alpha\over 2}={\sin{\alpha\over 2}\over \cos{\alpha\over 2}}={2\sin{\alpha\over 2}\cos{\alpha\over 2}\over 2\cos^2{\alpha\over 2}}={\sin\alpha\over 1+\cos\alpha} . \end{array}$