Некоторые значения тригонометрических функций | Математика, которая мне нравится

25. Некоторые значения тригонометрических функций

Теорема. $\displaystyle \sin{\pi\over 4}=\cos{\pi\over 4}={\sqrt{2}\over 2}$ .

Доказательство. Так как $\displaystyle {\pi\over 4}+{\pi\over 4}={\pi\over 2}$ , то $\displaystyle \sin{\pi\over 4}=\cos{\pi\over 4}$ (теорема 2).

$\displaystyle \sin^2{\pi\over 4}+\cos^2{\pi\over 4}=1\Rightarrow2\sin^2{\pi\over 4}=1\Rightarrow \sin^2{\pi\over 4}={1\over 2} .$

Так как $\displaystyle {\pi\over 4}\in\left(0;{\pi\over 2}\right)$ , то $\displaystyle \sin{\pi\over 4}>0$ .

$\displaystyle \sin{\pi\over 4}={1\over \sqrt{2}}={\sqrt{2}\over 2} .$

Теорема.

$\begin{array}{l} \displaystyle \sin{\pi\over 6}=\cos{\pi\over 3}={1\over 2},\\[3mm] \displaystyle \cos{\pi\over 6}=\sin{\pi\over 3}={\sqrt{3}\over 2} . \end{array}$

Доказательство.

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos{2\pi\over 3}=\cos\left({\pi\over 3}+{\pi\over 3}\right)=\cos{\pi\over 3}\cos{\pi\over 3}-\sin{\pi\over 3}\sin{\pi\over 3}=\\[3mm] \displaystyle =\cos^2{\pi\over 3}-\sin^2{\pi\over 3}=\cos^2{\pi\over 3}-\left(1-\cos^2{\pi\over 3}\right)=2\cos^2{\pi\over 3}-1.\\[3mm] \displaystyle \cos{2\pi\over 3}=\cos\left(\pi-{\pi\over 3}\right)=-\cos{\pi\over 3}. \end{array}$

$\displaystyle\cos{\pi\over 3}$ — корень уравнения 2x^2+x-1=0 .

$\displaystyle x_1={1\over 2},x_2=-1$ .

Так как $\displaystyle {\pi\over 3}\in\left(0;{\pi\over 2}\right)$ , то $\displaystyle \cos{\pi\over 3}>0\Rightarrow \cos{\pi\over 3}\ne-1\Rightarrow\cos{\pi\over 3}={1\over 2}$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle \sin{\pi\over 6}=\cos\left({\pi\over 2}-{\pi\over 6}\right)=\cos{\pi\over 3}={1\over 2},\\[3mm] \displaystyle \sin{\pi\over 3}=\sqrt{1-\cos^2{\pi\over 3}}=\sqrt{1-{1\over 4}}={\sqrt{3}\over 2},\\[3mm] \displaystyle \cos{\pi\over 6}=\sin\left({\pi\over 2}-{\pi\over 6}\right)=\sin{\pi\over 3}={\sqrt{3}\over 2}. \end{array}$

Задачи.

1) Найдите $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$ , если $\displaystyle \sin\alpha=\frac{3}{5},\alpha\in\left(\frac{\pi}{4};2\pi\right)$ .