Математика, которая мне нравится

Теорема.

1. Если \displaystyle \alpha\in\left(2\pi k;2\pi k+{\pi\over 2}\right), k\in\mathbb{Z}, то \sin\alpha > 0, \cos\alpha>0,{\rm tg}\, \alpha>0,{\rm ctg}\, \alpha>0.

2. Если \displaystyle \alpha\in\left(2\pi k+{\pi\over 2};2\pi k+\pi\right), k\in\mathbb{Z}, то \sin\alpha > 0, \cos\alpha < 0, {\rm tg}\, \alpha<0,{\rm ctg}\, \alpha<0.

3. Если \displaystyle \alpha\in\left(2\pi k+\pi;2\pi k+{3\pi\over 2}\right), k\in\mathbb{Z}, то \sin\alpha < 0, \cos\alpha < 0, {\rm tg}\, \alpha>0,{\rm ctg}\, \alpha>0.

4. Если \displaystyle \alpha\in\left(2\pi k+{3\pi\over 2};2\pi k+2\pi\right), k\in\mathbb{Z}, то \sin\alpha < 0, \cos\alpha > 0, {\rm tg}\, \alpha<0,{\rm ctg}\, \alpha<0.

Доказательство. В силу следствия 1 к теореме 5 достаточно доказать эту теорему только для случая k=0.

Первое утверждение следует из свойства 4) определения синуса и косинуса. Второе утверждение следует из случая k=4l+1 формул приведения. Третье утверждение — из случая k=4l+2, четвертое — из случая k=4l+3 формул приведения.

Задачи.

1) Найдите \cos(\alpha-\beta), если \sin\alpha+\sin\beta=1,\cos\alpha+\cos\beta=\sqrt{2}.

2) Найдите \displaystyle \cos(\alpha+\beta+\gamma), если \sin\alpha=\frac{3}{5}, \sin\beta=\frac{12}{13},\sin\gamma=\frac{7}{25},\alpha,\beta,\gamma\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].

3) Найдите {\rm tg}\, \alpha,{\rm tg}\, \beta, если {\rm tg}\, \alpha+{\rm tg}\, \beta=2, {\rm tg}\, (\alpha+\beta)=4, {\rm tg}\, \alpha < {\rm tg}\, \beta.