Формулы приведения | Математика, которая мне нравится

23. Формулы приведения

Формулы приведения выражают синус и косинус $\displaystyle {k\pi\over 2}\pm\alpha$ $(k\in\mathbb{Z})$ через $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ , а тангенс и котангенс $\displaystyle {k\pi\over 2}\pm\alpha$ $(k\in\mathbb{Z})$ — через ${\rm tg}\, \alpha$ или ${\rm ctg}\, \alpha$ .

Теорема.

Rendered by QuickLaTeX.com

Доказательство. Если $k$ увеличить или уменьшить на 4, то ${k\pi\over 2}\pm\alpha$ изменяется на $2\pi$ . Следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс не изменятся. Поэтому достаточно доказать теорему для $k=1,2,3$ . Во всех этих случаях она легко выводится из теорем сложения.

Есть полезное мнемоническое правило, помогающее запомнить, в каких случаях изменяется тригонометрическая функция (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот). Это правило называется “правило лошади”. На числовой окружности находится нужная точка $\displaystyle \frac{k\pi}{2}$ . Если эта точка находится на оси ординат (лошадь кивает головой, как бы говоря “да”), то функция меняется, а если на оси абсцисс (лошадь мотает головой, как бы говоря “нет”, то функция остается без изменения). Знак тоже легко определить. Если имеем $\displaystyle \frac{k\pi}{2}+\alpha$ , то сдвигаясь от точки $\displaystyle \frac{k\pi}{2}$ в следующую координатную четверть (против часовой стрелки), определяем знак исходной тригонометрической функции в этой четверти, а если имеем $\displaystyle \frac{k\pi}{2}-\alpha$ , то двигаться нужно обратно, по часовой стрелке.

Пример. Найдем $\sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha$ .

Точка $3\pi/2$ — это точка $D(0;-1)$ числовой окружности. По правилу лошади, функция синус должна измениться на косинус. Точка $3\pi/2-\alpha$ лежит в третьей координатной четверти, где синус отрицательный. Тем самым, получаем ответ: $-\cos\alpha$ .