23. Формулы приведения

Формулы приведения выражают синус и косинус \displaystyle {k\pi\over 2}\pm\alpha (k\in\mathbb{Z}) через \sin\alpha или \cos\alpha, а тангенс и котангенс \displaystyle {k\pi\over 2}\pm\alpha (k\in\mathbb{Z}) — через {\rm tg}\, \alpha или {\rm ctg}\, \alpha.

Теорема.

\begin{tabular}{|c|r|r|r|r|}<br />
\hline<br />
&$k=4l$&$k=4l+1$&$k=4l+2$&$k=4l+3$\\<br />
\hline $\sin\left({k\pi\over 2}+\alpha\right)$&$\sin\alpha$&$\cos\alpha$& $-\sin\alpha$&$-\cos\alpha$\\<br />
\hline $\cos\left({k\pi\over 2}+\alpha\right)$&$\cos\alpha$&$-\sin\alpha$& $-\cos\alpha$&$\sin\alpha$\\<br />
\hline ${\rm tg}\, \left({k\pi\over 2}+\alpha\right)$&${\rm tg}\, \alpha$&$-{\rm ctg}\, \alpha$& ${\rm tg}\, \alpha$&$-{\rm ctg}\, \alpha$\\<br />
\hline ${\rm ctg}\, \left({k\pi\over 2}+\alpha\right)$&${\rm ctg}\, \alpha$&$-{\rm tg}\, \alpha$& ${\rm ctg}\, \alpha$&$-{\rm tg}\, \alpha$\\<br />
\hline $\sin\left({k\pi\over 2}-\alpha\right)$&$-\sin\alpha$&$\cos\alpha$& $\sin\alpha$&$-\cos\alpha$\\<br />
\hline $\cos\left({k\pi\over 2}-\alpha\right)$&$\cos\alpha$&$\sin\alpha$& $-\cos\alpha$&$-\sin\alpha$\\<br />
\hline ${\rm tg}\, \left({k\pi\over 2}-\alpha\right)$&$-{\rm tg}\, \alpha$&${\rm ctg}\, \alpha$& $-{\rm tg}\, \alpha$&${\rm ctg}\, \alpha$\\<br />
\hline ${\rm ctg}\, \left({k\pi\over 2}-\alpha\right)$&$-{\rm ctg}\, \alpha$&${\rm tg}\, \alpha$& $-{\rm ctg}\, \alpha$&${\rm tg}\, \alpha$\\<br />
\hline<br />
\end{tabular}

Доказательство. Если k увеличить или уменьшить на 4, то {k\pi\over 2}\pm\alpha изменяется на 2\pi. Следовательно, синус, косинус, тангенс и котангенс не изменятся. Поэтому достаточно доказать теорему для k=1,2,3. Во всех этих случаях она легко выводится из теорем сложения.

Есть полезное мнемоническое правило, помогающее запомнить, в каких случаях изменяется тригонометрическая функция (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот). Это правило называется “правило лошади”. На числовой окружности находится нужная точка \displaystyle \frac{k\pi}{2}. Если эта точка находится на оси ординат (лошадь кивает головой, как бы говоря “да”), то функция меняется, а если на оси абсцисс (лошадь мотает головой, как бы говоря “нет”, то функция остается без изменения). Знак тоже легко определить. Если имеем \displaystyle \frac{k\pi}{2}+\alpha, то сдвигаясь от точки \displaystyle \frac{k\pi}{2} в следующую координатную четверть (против часовой стрелки), определяем знак исходной тригонометрической функции в этой четверти, а если имеем \displaystyle \frac{k\pi}{2}-\alpha, то двигаться нужно обратно, по часовой стрелке.

Пример. Найдем \sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha.

Точка 3\pi/2 — это точка D(0;-1) числовой окружности. По правилу лошади, функция синус должна измениться на косинус. Точка 3\pi/2-\alpha лежит в третьей координатной четверти, где синус отрицательный. Тем самым, получаем ответ: -\cos\alpha.

Задачи.

1) Найдите \sin 135^{\circ},\cos 110^{\circ},{\rm tg}\,11\pi/4.

2) Упростите

\displaystyle \left(\sin(\pi+\alpha)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right)^2+\left(\cos(2\pi-\alpha)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\right)^2 .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение