22. Тангенс и котангенс

Определение. Если \cos\alpha\ne0, то отношение синуса \alpha к косинусу \alpha называется тангенсом \alpha и обозначается {\rm tg}\, \alpha.

Если \sin\alpha\ne0, то отношение косинуса \alpha к синусу \alpha называется котангенсом \alpha и обозначается {\rm ctg}\,\alpha.

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.

Поделив обе части на \cos^2\alpha (\cos\alpha\ne0), получим

\displaystyle {\rm tg}^2\alpha+1={1\over \cos^2\alpha},

\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\stackrel{\sin\alpha\ne0}{\Rightarrow}1+{\rm ctg}^2\alpha= {1\over \sin^2\alpha}.

Из определения тангенса и котангенса следует, что при \sin\alpha\ne0,\cos\alpha\ne0

{\rm tg}\, \alpha\cdot{\rm ctg}\, \alpha=1.

Задачи.

1) Расположите в порядке возрастания числа

{\rm tg}\,1,{\rm ctg}\, 2,{\rm tg}\, 3,{\rm ctg}\, 4, {\rm tg}\, 5,{\rm ctg}\, 6,{\rm tg}\, 7,{\rm ctg}\, 8 .

2) Найдите {\rm tg}^2\alpha+{\rm ctg}^2\alpha, если {\rm tg}\, \alpha-{\rm ctg}\, \alpha=3.

3) Найдите {\rm tg}\, \alpha, если \sin^2\alpha-2\cos^2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha,\ \alpha\in[5;6].

4) Упростите выражения

1. ({\rm tg}\, \alpha+{\rm ctg}\, \alpha)^2-({\rm tg}\,\alpha-{\rm ctg}\, \alpha)^2 .

2. \sin^2\alpha(2+{\rm ctg}\, \alpha)(2{\rm ctg}\, \alpha+1)-5\sin\alpha\cos\alpha .

3. \displaystyle \sqrt{{\rm tg}^2\alpha+{\rm ctg}^2\alpha-2}\qquad\left(\alpha\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]\right) .

5) Докажите тождества

1. \displaystyle\frac{{\rm tg}\,\alpha+{\rm ctg}\,\beta}{{\rm ctg}\,\alpha+{\rm tg}\,\beta}=\frac{{\rm tg}\,\alpha}{{\rm tg}\,\beta} .

2. \displaystyle (\sin\alpha+{\rm tg}\,\alpha)(\cos\alpha+{\rm ctg}\,\alpha)=(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha) .

Комментариев: 2

  1. 1 Лейб:

    В задаче 1 в выражении ctg4tg5 так и задумано, как произведение ?

    Или случайно пропущена запятая ?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение