21. Теоремы сложения

Теорема 1.

    \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta .\]

Доказательство. (\alpha-\beta)-0=\alpha-\beta.

Из свойства 6) (движение точки по окружности) следует, что расстояние между точками P(\alpha-\beta) и P(0) равно расстоянию между точками P(\alpha) и P(\beta). Координаты точек

    \[\begin{array}{ll} P(\alpha-\beta)&(\cos(\alpha-\beta);\sin(\alpha-\beta)),\\ P(0)&(1;0),\\ P(\alpha)&(\cos\alpha;\sin\alpha),\\ P(\beta)&(\cos\beta;\sin\beta). \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} (\cos(\alpha-\beta)-1)^2+(\sin(\alpha-\beta)-0)^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+ (\sin\alpha-\sin\beta)^2,\\ \cos^2(\alpha-\beta)-2\cos(\alpha-\beta)+1+\sin^2(\alpha-\beta)=\\ =\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\sin^2\alpha -2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta,\\ 1-2\cos(\alpha-\beta)+1=1-2\cos\alpha\cos\beta_1-2\sin\alpha\sin\beta. \end{array}\]

    \[\fbox{$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+ \sin\alpha\sin\beta$}\]

Теорема 2.

    \[\alpha+\beta={\pi\over 2}\Rightarrow\cos\alpha=\sin\beta,\cos\beta=\sin\alpha .\]

Доказательство. Воспользуемся рисунком (см. рис. 38):

Рис. 38

    \[\begin{array}{c} \displaystyle \cos\beta=\cos\left({\pi\over 2}-\alpha\right)=\\[2mm] \displaystyle =\cos{\pi\over 2}\cos\alpha+\sin{\pi\over 2}\sin\alpha=\\[2mm] =\sin\alpha \end{array}\]

Аналогично \cos\alpha=\sin\beta.

Теорема 3.

    \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta .\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \sin(\alpha+\beta)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.2}}{=}\cos\left({\pi\over 2}-(\alpha+\beta)\right)=\cos\left(\left({\pi\over 2}-\alpha\right)-\beta\right)=\\[2mm] \displaystyle \stackrel{\mbox{\tiny\rm T.1}}{=}\cos\left({\pi\over 2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left({\pi\over 2}-\alpha\right)\sin\beta\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.2}}{=}\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{array}\]

    \[\fbox{$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+ \cos\alpha\sin\beta$}\]

Вычисление \sin\pi и \cos\pi

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \sin\pi=\sin\left({\pi\over 2}+{\pi\over 2}\right) \stackrel{\mbox{\tiny\rm T.3}}{=}\sin{\pi\over 2}\cos{\pi\over 2}+\cos{\pi\over 2}\sin{\pi\over 2}=0,\\[2mm] \cos^2\pi=1-\sin^2\pi=1. \end{array}\]

\cos\pi=1 или \cos\pi=-1.

Если \cos\pi=1, то P(\pi)=P(0) \stackrel{\rm 5)}{\Rightarrow} \displaystyle {\pi-0\over 2\pi}\in\mathbb{Z} \displaystyle\Rightarrow {1\over 2}\in\mathbb{Z}.

Следовательно, \cos\pi\ne1. Следовательно, \cos\pi=-1.

Вычисление синуса и косинуса \displaystyle {3\pi\over 2}

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \sin{3\pi\over 2}=\sin\left(\pi+{\pi\over 2}\right)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.3}}{=}\sin\pi\cos{\pi\over 2}+\cos\pi\sin{\pi\over 2}=-1,\\[2mm] \displaystyle \cos^2{3\pi\over 2}=1-\sin^2{3\pi\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle \cos{3\pi\over 2}=0. \end{array}\]

Вычисление синуса и косинуса 2\pi

    \[\begin{array}{l} \sin2\pi=\sin(\pi+\pi)=\sin\pi\cos\pi+\cos\pi\sin\pi=0,\\ \cos^22\pi=1-\sin^22\pi=1, \end{array}\]

\cos2\pi=1 или \cos2\pi=-1.

Если \cos2\pi=-1, то P(2\pi)=P(\pi)

\stackrel{\rm 5)}{\Rightarrow} \displaystyle{2\pi-\pi\over 2\pi}\in\mathbb{Z} \Rightarrow {1\over 2}\in\mathbb{Z}.

Следовательно, \cos2\pi\ne-1. Следовательно, \cos2\pi=1.

Теорема 4.

    \[\cos(-\alpha)=\cos\alpha .\]

Доказательство.

    \[\cos(-\alpha)=\cos(0-\alpha)\stackrel{\mbox{\rm\tiny T.1}}{=}\cos0\cos\alpha+\sin0\sin\alpha=\cos\alpha.\]

Теорема 5.

    \[\cos(2\pi+\alpha)=\cos\alpha,\ \sin(2\pi+\alpha)=\sin\alpha.\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \sin(2\pi+\alpha)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.3}}{=}\sin2\pi\cos\alpha+\cos2\pi\sin\alpha=\sin\alpha.\\ \cos(2\pi+\alpha)=\cos(2\pi-(-\alpha))\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.1}}{=}\cos2\pi\cos(-\alpha)+\sin2\pi\sin(-\alpha)=\\ =\cos(-\alpha)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.4}}{=}\cos\alpha. \end{array}\]

Следствие 1.

    \[\forall k\in\mathbb{Z}\ \cos(2\pi k+\alpha)=\cos\alpha,\ \sin(2\pi k+\alpha)=\sin\alpha .\]

Следствие 2.

    \[\forall n\in\mathbb{Z}\ \sin\pi n=0.\]

Доказательство. \pi n отличается на 2k\pi от 0 или от \pi k\in\mathbb{Z}, а \sin0=0 и \sin\pi=0.

Теорема 6.

    \[\sin(-\alpha)=-\sin\alpha.\]

Доказательство.

    \[\sin^2(-\alpha)=1-\cos^2(-\alpha)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.4}}{=}1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha ,\]

\sin(-\alpha)=\sin\alpha или \sin(-\alpha)=-\sin\alpha.

Предположим, что \sin(-\alpha)=\sin\alpha, \cos(-\alpha)\stackrel{\mbox{\tiny\rm T.4}}{=}\cos\alpha.

Следовательно,

    \[\begin{array}{l} P(\alpha)=P(-\alpha)\stackrel{\rm 5)}{\Rightarrow}\alpha-(-\alpha)=2\pi k, k\in\mathbb{Z}\ \Rightarrow\ 2\alpha=2\pi k\quad(k\in\mathbb{Z})\\ \Rightarrow \alpha=\pi k,\ -\alpha=\pi(-k)\quad (k\in\mathbb{Z})\\ \Rightarrow\ \sin\alpha=0,\ \sin(-\alpha)=0\ \Rightarrow\ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. \end{array}\]

Теорема 7.

    \[\begin{array}{l} \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha,\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \end{array}\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} \sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)-\cos\alpha\sin(-\beta)=\\ =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\\[3mm] \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\\ =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \end{array}\]

Задачи.

1) Упростите

1. \sin 13^{\circ}\cos 17^{\circ}+\sin 17^{\circ}\cos 13^{\circ}.

2. \cos 8^{\circ}\cos 37^{\circ}-\cos 82^{\circ}\cos 53^{\circ}.

2) Упростите выражения

1. \sin3\alpha\cos2\alpha-\cos3\alpha\sin2\alpha.

2. \displaystyle \frac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin\alpha\cos\beta}{\cos(\alpha+\beta)+2\sin\alpha\cos\beta}.

3. \displaystyle \frac{\cos2\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение