20. Тригонометрические функции. Числовая окружность. Синус и косинус

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению x^2+y^2=1.

Представим себе, что точка P равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами (P(t) — положение точки в момент времени t):

1. \forall t\in\mathbb{R} P(t) — точка числовой окружности.
2. P(0)=A.
3. P(\pi/2)=B.
4. \forall t\in(0;\pi/2) P(t) имеет положительные координаты.
5. P(\alpha)=P(\beta)\Rightarrow\alpha-\beta=2\pi k, где k\in\mathbb{Z}.
6. \alpha-\beta=\alpha_1-\beta_1\Rightarrow расстояние между точками P(\alpha) и P(\beta) равно расстоянию между точками P(\alpha_1) и P(\beta_1).

Примечание. Расстояние между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) вычисляется по формуле

M_1M_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка P равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки P(t) называется косинусом числа t, ордината — синусом числа t.

\begin{array}{lll}<br />
\displaystyle<br />
\cos0=1,&\cos{\pi\over 2}=0,&\forall t\in\mathbb{R}\ \sin^2t+\cos^2t=1,\\<br />
\displaystyle \sin0=0,&\sin{\pi\over 2}=1.<br />
\end{array}

Задачи.

1) Найдите координаты точек P(\pi),P(3\pi/2),P(-\pi/6).

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. [-\pi/2;3\pi/2).

2. (2;9).

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. t=\pi k/6, где k — целое число.

2. t=-\pi/2+\pi k/4, где k — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

\sin 1,\cos 2,\sin 3,\cos 4,\sin 5,\cos 6,\sin 7,\cos 8 .

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. \sin t=0.

2. |\sin t|=|\cos t|.

3. \sin t=\sqrt{2}+\cos t.

4. \cos t>0.

5. \sin t-\cos t\ge 1.

Комментариев: 5

  1. 2 Татьяна:

    Добрый день!
    Пожалуйста,помогите,что означает :определить знак функции cos a,если а=4,6?Предполагаю,что 4,6 надо как-то перевести в Пи…но вот как?Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы должны понять, в какой четверти (квадранте) плоскости лежит a=4,6. Для этого нужно это число сравнить с числами, лежащими на пересечении координатных осей и числовой окружности: 0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi,\ldots (число положительное, так что я начала с нуля. Дальше посмотрите, какой знак у косинуса в этой четверти.

    [Ответить]

  2. 3 Татьяна:

    Т.е., берем Пи=3,14
    тогда получается ,что 4,6 лежит в 3 четверти и у косинуса знак отрицательный.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, все верно.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение