Математика, которая мне нравится

Определение. Числовой окружностью называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат и единичным радиусом.

Числовая окружность изображена на рис. 37:

Рис. 37

Иначе говоря, это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению x^2+y^2=1.

Представим себе, что точка P равномерно движется по числовой окружности против часовой стрелки со скоростью 1.

Будем предполагать, что это движение обладает следующими свойствами (P(t) — положение точки в момент времени t):

1. \forall t\in\mathbb{R} P(t) — точка числовой окружности.
2. P(0)=A.
3. P(\pi/2)=B.
4. \forall t\in(0;\pi/2) P(t) имеет положительные координаты.
5. P(\alpha)=P(\beta)\Rightarrow\alpha-\beta=2\pi k, где k\in\mathbb{Z}.
6. \alpha-\beta=\alpha_1-\beta_1\Rightarrow расстояние между точками P(\alpha) и P(\beta) равно расстоянию между точками P(\alpha_1) и P(\beta_1).

Примечание. Расстояние между точками M_1(x_1,y_1) и M_2(x_2,y_2) вычисляется по формуле

Определение синуса и косинуса

Определение. Предположим, что точка P равномерно движется по числовой окружности так, что выполняются свойства 1–6. Абсцисса точки P(t) называется косинусом числа t, ордината — синусом числа t.

Задачи.

1) Найдите координаты точек P(\pi),P(3\pi/2),P(-\pi/6).

2) Изобразите на числовой окружности дугу, описываемую движущейся точкой в течение промежутков времени

1. [-\pi/2;3\pi/2).

2. (2;9).

3) Отметьте на числовой окружности положения, которые занимает движущаяся точка в моменты времени

1. t=\pi k/6, где k — целое число.

2. t=-\pi/2+\pi k/4, где k — целое число.

4) Расположите в порядке возрастания числа

5) Решите уравнения и неравенства (для этого не нужно знать тригонометрические формулы):

1. \sin t=0.

2. |\sin t|=|\cos t|.

3. \sin t=\sqrt{2}+\cos t.

4. \cos t>0.

5. \sin t-\cos t\ge 1.