Функции $y=x^n,y=sqrt[n]{x},y={1over x^n}$, где $ninmathbb{N}$ | Математика, которая мне нравится

19. Функции $y=x^n,y=\sqrt[n]{x},y={1\over x^n}$ , где $n\in\mathbb{N}$

I. $y=x^n\quad(n\in\mathbb{N})$

Область определения $(-\infty;+\infty)$ .

Если $x_1>x_2\ge0$ , то $x_1^n>x_2^n$ , так что функция строго возрастает на $[0;+\infty)$ .

Если $n$ четно, то при $x_1<x_2\le0$

$\begin{array}{c} -x_1>-x_2\ge0,\\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\\ x_1^n>x_2^n, \end{array}$

так что функция строго убывает на $(-\infty;0]$ .

Если $n$ нечетно, то при $x_1<x_2\le0$

$\begin{array}{c} -x_1>-x_2\ge0,\\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\\ -x_1^n>-x_2^n,\\ x_1^n<x_2^n, \end{array}$

так что функция строго возрастает на $(-\infty;0]$ .

Если $n$ четно, то множество значений $[0;+\infty)$ , если $n$ нечетно, то $(-\infty;+\infty)$ .

Доказательство. Равенство $(\sqrt[n]{p})^n=p$ верно при всех $p\ge0$ , если $n$ четно; при всех $p$ , если $n$ нечетно.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной. Функция, график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной.

При нечетном $n$ функция $y=x^n$ нечетна. При четном $n$ функция $y=x^n$ четна (рис. 33).

II. $y=\sqrt[n]{x},\quad n\in\mathbb{N}$ .

Область определения $[0;+\infty)$ , если $n$ четно, $(-\infty;+\infty)$ , если $n$ нечетно.

Множество значений $[0;+\infty)$ , если $n$ четно, $(-\infty;+\infty)$ , если $n$ нечетно.

Доказательство. Равенство $(\sqrt[n]{p})^n=p$ верно при всех $p\ge0$ , если $n$ четно; при всех $p$ , если $n$ нечетно.

Функция строго возрастает на всей области определения.

Если $n$ нечетно, то

$y=\sqrt[n]{x}\Leftrightarrow x=y^n .$

График функции $y=\sqrt[n]{x}$ симметричен графику функции $y=x^n$ относительно прямой $y=x$ .

Если $n$ четно, то

$y=\sqrt[n]{x}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=y^n,\\ x\ge0. \end{array}\right.$

Рис. 33 и рис. 34

График функции $y=\sqrt[n]{x}$ при четном $n$ симметричен правой ветви графика функции $y=x^n$ относительно прямой $y=x$ (рис. 34).

III. $\displaystyle y={1\over x^n},\quad n\in\mathbb{N}$ .

Область определения $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ .

Множество значений $[0;+\infty)$ , если $n$ четно,

$(-\infty;+\infty)$ , если $n$ нечетно.

Функция четна при четном $n$ , нечетна при нечетном $n$ .

Если $n$ четно, то функция строго возрастает на $(-\infty;0)$ и строго убывает на $(0;+\infty)$ .

Если $n$ нечетно, то функция строго убывает на $(-\infty;0)$ и на $(0;+\infty)$ .

На следующих рисунках представлены графики функций $y=x^n,y=\sqrt[n]{x}$ (рис. 35), $\displaystyle y=\frac{1}{x^n}$ (рис. 36) для некоторых значений $n$ .