19. Функции y=x^n,y=\sqrt[n]{x},y={1\over x^n}, где n\in\mathbb{N}

I. y=x^n\quad(n\in\mathbb{N})

Область определения (-\infty;+\infty).

Если x_1>x_2\ge0, то x_1^n>x_2^n, так что функция строго возрастает на [0;+\infty).

Если n четно, то при x_1<x_2\le0

    \[\begin{array}{c} -x_1>-x_2\ge0,\\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\\ x_1^n>x_2^n, \end{array}\]

так что функция строго убывает на (-\infty;0].

Если n нечетно, то при x_1<x_2\le0

    \[\begin{array}{c} -x_1>-x_2\ge0,\\ (-x_1)^n>(-x_2)^n,\\ -x_1^n>-x_2^n,\\ x_1^n<x_2^n, \end{array}\]

так что функция строго возрастает на (-\infty;0].

Если n четно, то множество значений [0;+\infty), если n нечетно, то (-\infty;+\infty).

Доказательство. Равенство (\sqrt[n]{p})^n=p верно при всех p\ge0, если n четно; при всех p, если n нечетно.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной. Функция, график которой симметричен относительно оси ординат, называется четной.

При нечетном n функция y=x^n нечетна. При четном n функция y=x^n четна (рис. 33).

II. y=\sqrt[n]{x},\quad n\in\mathbb{N}.

Область определения [0;+\infty), если n четно, (-\infty;+\infty), если n нечетно.

Множество значений [0;+\infty), если n четно, (-\infty;+\infty), если n нечетно.

Доказательство. Равенство (\sqrt[n]{p})^n=p верно при всех p\ge0, если n четно; при всех p, если n нечетно.

Функция строго возрастает на всей области определения.

Если n нечетно, то

    \[y=\sqrt[n]{x}\Leftrightarrow x=y^n .\]

График функции y=\sqrt[n]{x} симметричен графику функции y=x^n относительно прямой y=x.

Если n четно, то

    \[y=\sqrt[n]{x}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=y^n,\\ x\ge0. \end{array}\right.\]

Рис. 33 и рис. 34

График функции y=\sqrt[n]{x} при четном n симметричен правой ветви графика функции y=x^n относительно прямой y=x (рис. 34).

III. \displaystyle y={1\over x^n},\quad n\in\mathbb{N}.

Область определения (-\infty;0)\cup(0;+\infty).

Множество значений [0;+\infty), если n четно,

(-\infty;+\infty), если n нечетно.

Функция четна при четном n, нечетна при нечетном n.

Если n четно, то функция строго возрастает на (-\infty;0) и строго убывает на (0;+\infty).

Если n нечетно, то функция строго убывает на (-\infty;0) и на (0;+\infty).

На следующих рисунках представлены графики функций y=x^n,y=\sqrt[n]{x} (рис. 35), \displaystyle y=\frac{1}{x^n} (рис. 36) для некоторых значений n.

Рис. 35

Рис. 36

Комментарии (RSS)  |  Трекбек

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение