18. Квадратный трехчлен

Определение. Квадратным трехчленом называется функция, определенная на всей числовой оси равенством вида f(x)=ax^2+bx+c, где a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции y=x^2, называется параболой.

При изменении масштаба получим график функции

\begin{array}{c}<br />
\displaystyle<br />
y={1\over k}(kx)^2=kx^2\qquad(k\ne0),\\[3mm]<br />
y=kx^2.<br />
\end{array}

Теорема. График квадратного трехчлена — парабола.

Доказательство. Теорема доказана для трехчленов вида y=ax^2 (нужно изменить масштаб, взяв k=a).

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
ax^2+bx+c=a\left( x^2+{b\over a}x+{c\over a}\right)=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=a\left( x^2+2x{b\over 2a}+{b^2\over 4a^2}\right)+c-{b^2\over 4a}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
=a\left( x+{b\over 2a}\right)^2+c-{b^2\over 4a}=a\left( x+<br />
{b\over 2a}\right)^2-{{\cal D}\over 4a},<br />
\end{array}

где {\cal D}=b^2-4ac. Следовательно, график квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c можно получить из параболы y=ax^2 при таком параллельном переносе координатных осей, чтобы начало координат оказалось в точке \displaystyle \left(-{b\over 2a},-{{\cal D}\over 4a}\right) (см. рис. 31).

Рис. 31

Если a>0, то f строго убывает на \displaystyle \left(-\infty;-{b\over 2a}\right] и f строго возрастает на \displaystyle \left[-{b\over 2a};+\infty\right).

Если a<0, то f строго возрастает на \displaystyle \left(-\infty;-{b\over 2a}\right] и f строго убывает на \displaystyle \left[-{b\over 2a};+\infty\right).

Доказательство. Пусть a>0, \displaystyle x_1,x_2\in\left(-\infty;-{b\over 2a}\right], пусть x_1>x_2:

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
x_1,x_2+{b\over 2a}\in(-\infty;0],\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
x_1+{b\over 2a}>x_2+{b\over 2a},\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
\left(x_1+{b\over 2a}\right)^2<\left(x_2+{b\over 2a}\right)^2,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
a\left(x_1+{b\over 2a}\right)^2<a\left(x_2+{b\over 2a}\right)^2,\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
a\left(x_1+{b\over 2a}\right)^2-{{\cal D}\over 4a}<a\left(<br />
x_2+{b\over 2a}\right)^2-{{\cal D}\over 4a},\\[2mm]<br />
ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c.<br />
\end{array}

Определение. Число {\cal D}, равное b^2-4ac, называется дискриминантом квадратного трехчлена f(x)=ax^2+bx+c.

Если {\cal D}>0, то квадратный трехчлен имеет два корня \displaystyle {-b-\sqrt{\cal D}\over 2a} и \displaystyle {-b+\sqrt{\cal D}\over 2a}.

Если {\cal D}=0, то квадратный трехчлен имеет один корень \displaystyle{-b\over 2a}.

Если {\cal D}<0, то квадратный трехчлен не имеет вещественных корней.

Промежутки знакопостоянства

1. {\cal D}>0. Пусть x_1,x_2 — корни квадратного
трехчлена, x_1<x_2. Заметим (рис. 32), что

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle  -{b\over 2a}={x_1+x_2\over 2}\Rightarrow x_1<-{b\over 2a}<x_2\Rightarrow\\[3mm]<br />
\displaystyle \Rightarrow x_1\in\left(-\infty;-{b\over<br />
2a}\right),x_2\in\left(-{b\over 2a};+\infty\right).<br />
\end{array}

Рис. 32

Пусть a>0. Тогда f строго убывает на \displaystyle \left(-\infty;-{b\over 2a}\right),f(x_1)=0. Следовательно, f(x)>0 при x<x_1 и f(x)>0 при \displaystyle x_1<x<-{b\over 2a}.

f строго возрастает на \displaystyle \left(-{b\over 2a};+\infty\right),f(x_2)=0. Следовательно, f(x)<0 при \displaystyle x\in\left(-{b\over 2a};x_2\right) и f(x)>0 при x>x_2.

Итак, если a>0,{\cal D}>0, то f отрицательна на (x_1,x_2) (между корнями), f положительна вне отрезка [x_1;x_2].

Аналогично доказывается, что при {\cal D}>0,a<0 квадратный трехчлен положителен между корнями и отрицателен вне корней.

2. {\cal D}\le0.

\displaystyle f(x)=a\left( x+{b\over 2a}\right)^2-{{\cal D}\over 4a} .

Отсюда следует, что при a>0 квадратный трехчлен положителен на всей оси (кроме точки \displaystyle -{b\over 2a}, если {\cal D}=0), а при a<0 квадратный трехчлен отрицателен на всей оси (кроме точки \displaystyle -{b\over 2a}, если {\cal D}=0).

Множество значений квадратного трехчлена

Определение. Множество значений функции f — это множество таких чисел p, для которых уравнение f(x)=p имеет корень.

Пусть f(x)=ax^2+bx+c — квадратный трехчлен.

ax^2+bx+c=p\Leftrightarrow ax^2+bx+(c-p)=0 .

Это уравнение имеет корень в том и только в том случае, если

\begin{array}{l}<br />
b^2-4a(c-p)\ge0,\\<br />
b^2-4ac+4ap\ge0,\\<br />
4ap\ge-{\cal D},<br />
\end{array}

где {\cal D}дискриминант данного квадратного трехчлена.

Если a>0, то множество значений квадратного трехчлена \displaystyle \left[-{{\cal D}\over 4a};+\infty\right).

Если a<0, то множество значений квадратного трехчлена \displaystyle\left(-\infty;-{{\cal D}\over 4a}\right].

Расположение корней квадратного трехчлена

Предположим, что квадратная функция f(x)=ax^2+bx+c имеет два вещественных корня x_1 и x_2, (x_1<x_2). При a>0 эта функция принимает отрицательные значения в промежутке (x_1,x_2) и положительные значения — вне промежутка [x_1,x_2]. При a<0 функция принимает положительные значения в промежутке (x_1,x_2) и отрицательные значения — вне промежутка [x_1,x_2]. Для того чтобы для произвольного числа \alpha выяснить, принадлежит ли оно промежутку (x_1,x_2), достаточно знать знак коэффициента a и знак числа f(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c. Тем самым, \alpha\in(x_1,x_2) тогда и только тогда, когда af(\alpha)<0.

Задачи.

1) При каких значениях a уравнение

(a+1)x^2-(2a-3)x+a=0

не имеет вещественных корней?

2) При каких значениях a параболы y=x^2-ax-3 и y=2x^2-a имеют две общие точки?

3) Постройте графики функций

1. y=|x^2-2x-3|.

2. y=|x^2-1|+x.

3. y=[2x^2+x-1].

4. y={\rm sign}\, (3x^2-x-2).

4) Пусть a,b,c — вещественные числа. Докажите, что уравнение

(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0

имеет вещественный корень.

5) Прямая, проходящая через точку C, лежащую на оси ординат, пересекает параболу y=x^2 в точках A и B. Докажите, что произведение абсцисс точек A и B не зависит от углового коэффициента прямой.

6) При каких значениях параметра a уравнение

ax^2-(3a-3)x+4a-4=0

имеет два вещественных корня, один из которых больше 1, а второй меньше 1?

7) Квадратная функция задана формулой f(x)=x^2-2. Докажите, что уравнение f(f(f(x))) имеет восемь вещественных корней.

Комментариев: 14

  1. 1 Оля:

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. x принадлежит [-2,2]
    у=7х^2+х+1
    Я правильно понимаю решение уравнения?
    D=1^2-4*7*1=1-28=-27? Отсюда следует, что корней у уравнения нет?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, вещественных корней у уравнения 7x^2+x+1=0 нет (хотя в данном случае это неважно). Нужно найти координаты вершины параболы (важно, принадлежит абсцисса вершины данному отрезку или нет). Ну и, разумеется, понадобятся значения на концах отрезка.

    [Ответить]

  2. 2 Лиза:

    А как решить задачу 4?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Функция {\rm sign} принимает значение 1 для всех x>0. Следовательно, функция y={\rm sign}(3x^2-x-2) будет равна 1 для всех x, для которых 3x^2-x-2>0. Дальше понятно?

    [Ответить]

    Лиза Reply:

    Нет, меня интересует другое задание, где нужно доказать, что уравнение имеет вещественный корень.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Поняла, просто не туда посмотрела.

    Если какие-то два из чисел a,b,c равны, то корень и будет им равен. Пусть среди них нет равных. Пусть a> b> c. Теперь рассмотрите значения функции в точках a и b, они будут разных знаков. Значит, между a и b есть корень.

    [Ответить]

    Лиза Reply:

    Большое спасибо

    [Ответить]

  3. 3 Лиза:

    Спасибо.

    [Ответить]

  4. 4 Галина:

    В последнее время часто встречаю понятие “квадратичная функция”. Это новое правило написания “квадратной функции” или просто ошибка?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Галина, видимо, что-то новенькое. И в википедии так, и в учебнике Макарычева.

    [Ответить]

  5. 5 Игорь Васильевич:

    В задаче 4) не уравнение, а алгебраическое выражение или многочлен! Видимо забыли приравнять его числу, например нулю.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Игорь Васильевич, спасибо, исправила!

    [Ответить]

  6. 6 Игорь Васильевич:

    В п. “Мн-во значений кв. трехчлена” неплохо было бы исправить 4ap >= D на 4ap >= -D

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Игорь Васильевич, еще раз спасибо! Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение