17. Дробно-линейная функция

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой \displaystyle y={1\over x} (x\ne0).

Функция строго убывает на (-\infty;0) и на (0;+\infty).

Доказательство. Пусть x_1>x_2, x_1 и x_2 одного знака. Тогда \displaystyle {1\over x_1}<{1\over x_2}. (см. свойство неравенств 9).

Множество значений функции — \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Доказательство. Пусть y_0\ne0. Тогда \displaystyle y_0={1\over {1\over y_0}}\Rightarrow y_0 принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции \displaystyle f(x)={1\over x}, называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола \displaystyle y={1\over x} симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример. \displaystyle y=x,y=x^3,y={1\over x^7}, y=2x^3-5x^{11} — нечетные функции.

Определение. Прямые x=0 и y=0 называются асимптотами равнобочной гиперболы \displaystyle y={1\over x}.

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции \displaystyle y={1\over x}.

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции \displaystyle g_1(x)=f(-x)={1\over -x}=-{1\over x} (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из \Gamma_f получаем график функции

\displaystyle g_2(x)={1\over k}f(kx)={1\over k}\cdot{1\over kx}={1\over k^2}\cdot{1\over x}.

Из \Gamma_{g_1} получается график функции

\displaystyle y=g_3(x)={1\over k}g_1(kx)={1\over k}\cdot\left(-{1\over kx}\right)=-{1\over k^2}\cdot{1\over x}.

Таким образом, график любой функции \displaystyle g_4(x)={p\over x} (p\ne0) является равнобочной гиперболой.

Если p>0, нужно взять \displaystyle k={1\over \sqrt{p}} и получить \Gamma_{g_4(x)} из \Gamma_{g_2(x)}.

Если p<0, нужно взять \displaystyle k={1\over \sqrt{-p}} и получить \Gamma_{g_4(x)} из \Gamma_{g_3(x)}.

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из \Gamma_{g_4(x)} получим график функции \displaystyle g_5(x)={p\over x+q}.

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из \Gamma_{g_5(x)} получим \Gamma_{g_6(x)}

\displaystyle g_6(x)={p\over x+q}+r.

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

\displaystyle h(x)={ax+b\over cx+d},

где a,b,c,d\in\mathbb{R},c\ne0,bc\ne ad.

Область определения этой функции \displaystyle\mathbb{R}\setminus\left\{{d\over c}\right\}.

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь \displaystyle {ax+b\over cx+d} к виду \displaystyle {p\over x+q}+r (p\ne0):

\displaystyle {ax+b\over cx+d}\stackrel{c\ne0}{=}{{a\over c}x+{b\over c}\over x+{d\over c}}= {{a\over c}\left( x+{d\over c}\right)+\left( {b\over c}-{a\over c}\cdot{d\over c}\right)\over x+{d\over c}}={a\over c}+{{b\over c}-{ad\over c^2}\over x+{d\over c}} .

Нужно взять \displaystyle p={b\over c}-{ad\over c^2}={bc-ad\over c^2}\ne0, \displaystyle q={d\over c}, r={a\over c}.

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение x.

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства \displaystyle y={ax+b\over cx+d} выражается x через y.

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

Задачи.

1. Постройте графики функций

1) \displaystyle y=2-\frac{1}{x}.

2) \displaystyle y=\frac{2}{x-1}.

3) \displaystyle y=\frac{2x+1}{x-2}.

4) \displaystyle y=\frac{3|x|-x}{|x+1|+x}.

2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой \displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+1} найдите следующие множества:

1) f([0;2]).

2) f(-\infty;-3)).

3) f^{-1}(1).

3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:

1) xy=y+1.

2) |xy|=x-y.

3) xy>1.

4) x^2y+xy^2\le 2xy.

4. Вершины A и C прямоугольника ABCD лежат на гиперболе xy=1, а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая BD проходит через начало координат.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение