17. Дробно-линейная функция
Равнобочная гипербола
Исследуем функцию, заданную формулой
.
Функция строго убывает на и на
.
Доказательство. Пусть ,
и
одного знака. Тогда
. (см. свойство неравенств 9).
Множество значений функции — .
Доказательство. Пусть . Тогда
принадлежит множеству значений функции.
Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции , называется равнобочной гиперболой.
График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:
Равнобочная гипербола симметрична относительно начала координат.
Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.
Пример. — нечетные функции.
Определение. Прямые и
называются асимптотами равнобочной гиперболы
.
Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции .
Преобразования системы координат
1) Изменение направления оси абсцисс
Гипербола — график функции (рис. 30).
2) Изменение масштаба
Из получаем график функции
Из получается график функции
Таким образом, график любой функции
является равнобочной гиперболой.
Если , нужно взять
и получить
из
.
Если , нужно взять
и получить
из
.
3) Сдвиг вдоль оси абсцисс
Из получим график функции
.
4) Сдвиг вдоль оси ординат
Из получим
Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой
где .
Область определения этой функции .
Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.
Доказательство. Преобразуем дробь к виду
:
Нужно взять ,
,
.
Практический прием построения графика дробно-линейной функции
1. Находится запрещенное значение .
2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства выражается
через
.
3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.
4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.
5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.
Задачи.
1. Постройте графики функций
1) .
2) .
3) .
4) .
2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой найдите следующие множества:
1) .
2) .
3) .
3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:
1) .
2) .
3) .
4) .
4. Вершины и
прямоугольника
лежат на гиперболе
, а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая
проходит через начало координат.
Оставьте свой отзыв