Дробно-линейная функция | Математика, которая мне нравится

17. Дробно-линейная функция

Равнобочная гипербола

Исследуем функцию, заданную формулой $\displaystyle y={1\over x}$ $(x\ne0)$ .

Функция строго убывает на $(-\infty;0)$ и на $(0;+\infty)$ .

Доказательство. Пусть $x_1>x_2$ , $x_1$ и $x_2$ одного знака. Тогда $\displaystyle {1\over x_1}<{1\over x_2}$ . (см. свойство неравенств 9).

Множество значений функции — $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Доказательство. Пусть $y_0\ne0$ . Тогда $\displaystyle y_0={1\over {1\over y_0}}\Rightarrow$ $y_0$ принадлежит множеству значений функции.

Определение. Множество точек плоскости, которое в какой-либо системе координат является графиком функции $\displaystyle f(x)={1\over x}$ , называется равнобочной гиперболой.

График равнобочной гиперболы приведен на рис. 29:

Рис. 29

Равнобочная гипербола $\displaystyle y={1\over x}$ симметрична относительно начала координат.

Определение. Функция, график которой симметричен относительно начала координат, называется нечетной функцией.

Пример. $\displaystyle y=x,y=x^3,y={1\over x^7}, y=2x^3-5x^{11}$ — нечетные функции.

Определение. Прямые $x=0$ и $y=0$ называются асимптотами равнобочной гиперболы $\displaystyle y={1\over x}$ .

Асимптоты перпендикулярны осям координат и проходят через
точки на этих осях, которые не принадлежат области определения или множеству значений функции $\displaystyle y={1\over x}$ .

Преобразования системы координат

1) Изменение направления оси абсцисс

Гипербола — график функции $\displaystyle g_1(x)=f(-x)={1\over -x}=-{1\over x}$ (рис. 30).

Рис. 30

2) Изменение масштаба

Из $\Gamma_f$ получаем график функции

$g_2(x)={1\over k}f(kx)={1\over k}\cdot{1\over kx}={1\over k^2}\cdot{1\over x}.$

Из $\Gamma_{g_1}$ получается график функции

$y=g_3(x)={1\over k}g_1(kx)={1\over k}\cdot\left(-{1\over kx}\right)=-{1\over k^2}\cdot{1\over x}.$

Таким образом, график любой функции $\displaystyle g_4(x)={p\over x}$ $(p\ne0)$ является равнобочной гиперболой.

Если $p>0$ , нужно взять $\displaystyle k={1\over \sqrt{p}}$ и получить $\Gamma_{g_4(x)}$ из $\Gamma_{g_2(x)}$ .

Если $p<0$ , нужно взять $\displaystyle k={1\over \sqrt{-p}}$ и получить $\Gamma_{g_4(x)}$ из $\Gamma_{g_3(x)}$ .

3) Сдвиг вдоль оси абсцисс

Из $\Gamma_{g_4(x)}$ получим график функции $\displaystyle g_5(x)={p\over x+q}$ .

4) Сдвиг вдоль оси ординат

Из $\Gamma_{g_5(x)}$ получим $\Gamma_{g_6(x)}$

$g_6(x)={p\over x+q}+r.$

Определение. Дробно-линейной функцией называется функция, заданная формулой

$h(x)={ax+b\over cx+d},$

где $a,b,c,d\in\mathbb{R},c\ne0,bc\ne ad$ .

Область определения этой функции $\displaystyle\mathbb{R}\setminus\left\{{d\over c}\right\}$ .

Теорема. График дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Доказательство. Преобразуем дробь $\displaystyle {ax+b\over cx+d}$ к виду $\displaystyle {p\over x+q}+r$ $(p\ne0)$ :

${ax+b\over cx+d}\stackrel{c\ne0}{=}{{a\over c}x+{b\over c}\over x+{d\over c}}= {{a\over c}\left( x+{d\over c}\right)+\left( {b\over c}-{a\over c}\cdot{d\over c}\right)\over x+{d\over c}}={a\over c}+{{b\over c}-{ad\over c^2}\over x+{d\over c}} .$

Нужно взять $\displaystyle p={b\over c}-{ad\over c^2}={bc-ad\over c^2}\ne0$ , $\displaystyle q={d\over c}$ , $r={a\over c}$ .

Практический прием построения графика дробно-линейной функции

1. Находится запрещенное значение $x$ .

2. Находится запрещенное значение функции. Для этого из равенства $\displaystyle y={ax+b\over cx+d}$ выражается $x$ через $y$ .

3. Наносим найденные точки на оси координат и проводим через них прямые, перпендикулярные осям — асимптоты графика.

4. Чтобы определить положение графика по отношению к асимптотам, находим одну точку графика.

5. Находим еще несколько точек и, учитывая, что гипербола симметрична относительно точки пересечения асимптот, строим ее.

Задачи.

1. Постройте графики функций

1) $\displaystyle y=2-\frac{1}{x}$ .

2) $\displaystyle y=\frac{2}{x-1}$ .

3) $\displaystyle y=\frac{2x+1}{x-2}$ .

4) $\displaystyle y=\frac{3|x|-x}{|x+1|+x}$ .

2. Для дробно-линейной функции, заданной формулой $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x+1}$ найдите следующие множества:

1) $f([0;2])$ .

2) $f(-\infty;-3))$ .

3) $f^{-1}(1)$ .

3. Изобразите на координатной плоскости фигуры, задаваемые уравнениями и неравенствами:

1) $xy=y+1$ .

2) $|xy|=x-y$ .

3) $xy>1$ .

4) $x^2y+xy^2\le 2xy$ .

4. Вершины $A$ и $C$ прямоугольника $ABCD$ лежат на гиперболе $xy=1$ , а стороны прямоугольника параллельны координатным осям. Докажите, что прямая $BD$ проходит через начало координат.