15. Линейная функция

Определение. Пусть a и b — вещественные числа. Функция,   определенная на множестве \mathbb{R} по правилу x\rightarrow ax+b, называется линейной. Число a называется угловым коэффициентом, bсвободным членом этой функции.

Свойства линейной функции

Пусть \varphi(x)=ax+b — линейная функция.

1. Если a>0, то \varphi строго возрастает, если a<0, то \varphi строго убывает.

Доказательство. Пусть x_1,x_2\in\mathbb{R},x_1>x_2,

\varphi(x_1)-\varphi(x_2)=(ax_1+b)-(ax_2+b)=a(x_1-x_2) ,

x_1-x_2>0, так как x_1>x_2,

если a>0, то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)>0,

если a<0, то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)<0.

2. Пусть E_{\varphi} — множество значений функции \varphi. Если a\ne0, то E_{\varphi}=\mathbb{R}, если a=0, то E_{\varphi}=\{ b\}.

Доказательство. Случай a=0 очевиден. Пусть a\ne0. Пусть y — произвольное вещественное число. Нужно доказать, что число y является значением функции \varphi, то есть что при некотором x выполняется равенство

\displaystyle ax+b=y\Leftrightarrow ax=y-b\Leftrightarrow x={y-b\over a}.

Итак, \displaystyle y=\varphi\left({y-b\over a}\right). Следовательно, y\in E_{\varphi}.

3. Если a\ne0, то \varphi имеет один корень \displaystyle-{b\over a}.

4. \displaystyle\varphi\left(-{b\over a}\right)=0. Если a>0, то \varphi строго возрастает, следовательно, при \displaystyle x>-{b\over a} \varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)>0;

при \displaystyle x<-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)<0.

Если a<0, то \varphi строго убывает, следовательно, при \displaystyle x>-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)<0;

при \displaystyle x<-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)>0.

5. Найдем среднюю скорость роста линейной функции на произвольном отрезке [\alpha;\beta] (\alpha\ne\beta):

\displaystyle {\varphi(\beta)-\varphi(\alpha)\over \beta-\alpha}={a\beta+b-(a\alpha+b)\over \beta-\alpha}={a(\beta-\alpha)\over \beta-\alpha}=a .

Средняя скорость роста линейной функции постоянна и равна ее угловому коэффициенту.

Это свойство является характеристическим свойством линейной функции.

Теорема. Пусть функция f определена на множестве \mathbb{R} и имеет постоянную среднюю скорость роста. Тогда f — линейная функция.

Доказательство. Пусть a — средняя скорость роста функции f, пусть b=f(a). Докажем, что

\forall x\in\mathbb{R}\ f(x)=ax+b.

Если x\ne0, то \displaystyle {f(x)-f(0)\over x-0}=a (это верно при x>0 и при x<0). f(x)-b=ax\Rightarrow f(x)=ax+b.

Последнее равенство верно и для x=0.

6. График линейной функции — прямая.

Определение. Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки так, что внутри каждого из промежутков ненулевой длины эта функция линейна.

Примеры кусочно-линейных функций: f(x)=|x|,\ f(x)=[x] — целая часть числа, f(x)=\{ x\}, где \{ x\}=x-[x] — дробная часть числа, f(x)={\rm sign}\, x — знак числа x:

{\rm sign}\, x=\left\{\begin{array}{rl}<br />
-1,& {\rm\ if\ } x< 0,\\<br />
0,& {\rm\ if\ } x=0,\\<br />
1,& {\rm\ if\ } x> 0.<br />
\end{array}\right.

Задачи.

1. Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих условиям:

1) Прямая проходит через точки (2;0) и (-1;3).

2) Прямая проходит через точки (2;1) и (2;7).

3) Прямая проходит через начало координат и параллельна прямой y=2x-1.

4) Прямая проходит через точку (-1;2) и параллельна прямой 3x-5y=2.

5) Прямая равноудалена от точек (1;1) и (3;3) и перпендикулярна прямой, проходящей через эи точки.

2. Функция f задана формулой f(x)=5-3x. Найдите множества:

1) f([-1;3)).
2) f^{-1}((-1;+\infty)).

3. Функция f задана формулой f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения a, для которых оно справедливо:

1) f([1;3])=[3;7].
2) f^{-1}((2;5))=(-4;-1).
3) f([1;2])\subseteq[-1;3].

4. Выясните, при каких значениях a справедливо следующее утверждение:

\forall x\in[-3;2)\qquad (x^2\le x \vee ax < 2) .

5. Изобразите г.м.т., задаваемое условиями:

1) xy=0.

2) \frac{x+1}{y-2}=2.

3) y^2> y.

4) x^2> y^2.

5) Постройте графики функций:

1. y=\{ x\}.

2. y=\{ x\}+{\rm sign}\, x.

3. x+[x].

Комментариев: 8

  1. 1 Лейб:

    Последнюю строчку перед задачами желательно подправить.
    Там имеется опечатка.

    [Ответить]

  2. 3 Оля:

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. x принадлежит [-2,2]
    у=7х^2+х+1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Оля, о множестве значений квадратного трехчлена читайте здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/18-kvadratnyj-trexchlen/

    [Ответить]

  3. 4 Лейб:

    Для меня неожиданно возник вопрос:
    ============================
    Можно ли считать функцию y = sign(x) кусочно-линейной ?
    ============================
    Ведь по определению (как дано выше):
    Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки НЕНУЛЕВОЙ длины, внутри каждого из которых эта функция линейна.
    ============================
    А значение y=0 дается только для одной точки. При этом получается “промежуток” НУЛЕВОЙ длины.
    .
    ** Либо, может быть, подправить приведенное определение.
    .
    ** Либо не признавать функцию y = sign(x) кусочно-линейной.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Важно еще то, что функция должна быть определена на всей оси. Поэтому все верно. Для промежутков нулевой длины ничего не требуем.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Хотя да, воспринимается не очень хорошо, спасибо. Посмотрите, пожалуйста, поправила определение. А в википедии вообще плохо: http://ru.wikipedia.org/wiki/Кусочно-линейная_функция

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    По-моему, сейчас определение совершенно корректно.
    =================================
    А в Википедии, согласен, есть досадные ошибки.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение