Линейная функция | Математика, которая мне нравится

15. Линейная функция

Определение. Пусть $a$ и $b$ — вещественные числа. Функция, определенная на множестве $\mathbb{R}$ по правилу $x\rightarrow ax+b$ , называется линейной. Число $a$ называется угловым коэффициентом, $b$ — свободным членом этой функции.

Свойства линейной функции

Пусть $\varphi(x)=ax+b$ — линейная функция.

1. Если $a>0$ , то $\varphi$ строго возрастает, если $a<0$ , то $\varphi$ строго убывает.

Доказательство. Пусть $x_1,x_2\in\mathbb{R},x_1>x_2$ ,

$\varphi(x_1)-\varphi(x_2)=(ax_1+b)-(ax_2+b)=a(x_1-x_2) ,$

$x_1-x_2>0$

, так как

$x_1>x_2,$

если $a>0$ , то $\varphi(x_1)-\varphi(x_2)>0$ ,

если $a<0$ , то $\varphi(x_1)-\varphi(x_2)<0$ .

2. Пусть $E_{\varphi}$ — множество значений функции $\varphi$ . Если $a\ne0$ , то $E_{\varphi}=\mathbb{R}$ , если $a=0$ , то $E_{\varphi}=\{ b\}$ .

Доказательство. Случай $a=0$ очевиден. Пусть $a\ne0$ . Пусть $y$ — произвольное вещественное число. Нужно доказать, что число $y$ является значением функции $\varphi$ , то есть что при некотором $x$ выполняется равенство

$ax+b=y\Leftrightarrow ax=y-b\Leftrightarrow x={y-b\over a}.$

Итак, $\displaystyle y=\varphi\left({y-b\over a}\right)$ . Следовательно, $y\in E_{\varphi}$ .

3. Если $a\ne0$ , то $\varphi$ имеет один корень $\displaystyle-{b\over a}$ .

4. $\displaystyle\varphi\left(-{b\over a}\right)=0$ . Если $a>0$ , то $\varphi$ строго возрастает, следовательно, при $\displaystyle x>-{b\over a}$ $\varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right)$ , то есть $\varphi(x)>0$ ;

при $\displaystyle x<-{b\over a}$ $\displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right)$ , то есть $\varphi(x)<0$ .

Если $a<0$ , то $\varphi$ строго убывает, следовательно, при $\displaystyle x>-{b\over a}$ $\displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right)$ , то есть $\varphi(x)<0$ ;

при $\displaystyle x<-{b\over a}$ $\displaystyle \varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right)$ , то есть $\varphi(x)>0$ .

5. Найдем среднюю скорость роста линейной функции на произвольном отрезке $[\alpha;\beta]$ $(\alpha\ne\beta)$ :

${\varphi(\beta)-\varphi(\alpha)\over \beta-\alpha}={a\beta+b-(a\alpha+b)\over \beta-\alpha}={a(\beta-\alpha)\over \beta-\alpha}=a .$

Средняя скорость роста линейной функции постоянна и равна ее угловому коэффициенту.

Это свойство является характеристическим свойством линейной функции.

Теорема. Пусть функция $f$ определена на множестве $\mathbb{R}$ и имеет постоянную среднюю скорость роста. Тогда $f$ — линейная функция.

Доказательство. Пусть $a$ — средняя скорость роста функции $f$ , пусть $b=f(a)$ . Докажем, что

$\forall x\in\mathbb{R}\ f(x)=ax+b.$

Если $x\ne0$ , то $\displaystyle {f(x)-f(0)\over x-0}=a$ (это верно при $x>0$

Последнее равенство верно и для $x=0$ .

6. График линейной функции — прямая.

Определение. Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки так, что внутри каждого из промежутков ненулевой длины эта функция линейна.

Примеры кусочно-линейных функций: $f(x)=|x|,\ f(x)=[x]$ — целая часть числа, $f(x)=\{ x\},$ где $\{ x\}=x-[x]$ — дробная часть числа, $f(x)={\rm sign}\, x$ — знак числа $x$ :

${\rm sign}\, x=\left\{\begin{array}{rl} -1,& {\rm\ if\ } x< 0,\\ 0,& {\rm\ if\ } x=0,\\ 1,& {\rm\ if\ } x> 0. \end{array}\right.$

Задачи.

1. Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих условиям:

1) Прямая проходит через точки $(2;0)$ и $(-1;3).$

2) Прямая проходит через точки $(2;1)$ и $(2;7).$

3) Прямая проходит через начало координат и параллельна прямой $y=2x-1.$

4) Прямая проходит через точку $(-1;2)$ и параллельна прямой $3x-5y=2.$

5) Прямая равноудалена от точек $(1;1)$ и $(3;3)$ и перпендикулярна прямой, проходящей через эти точки.

2. Функция $f$ задана формулой $f(x)=5-3x$ . Найдите множества:

1) $f([-1;3))$ .
2) $f^{-1}((-1;+\infty))$ .

3. Функция $f$ задана формулой $f(x)=ax+1$ . Для каждого из следующих утверждений найдите все значения $f(x)=ax+1$ . Для каждого из следующих утверждений найдите все значения $a$ , для которых оно справедливо:

1) $f([1;3])=[3;7]$ .
2) $f^{-1}((2;5))=(-4;-1)$ .
3) $f([1;2])\subseteq[-1;3]$ .

4. Выясните, при каких значениях $a$ справедливо следующее утверждение:

$\forall x\in[-3;2)\qquad (x^2\le x \vee ax < 2) .$

5. Изобразите г.м.т., задаваемое условиями:

1) $xy=0$ .

2) $\frac{x+1}{y-2}=2$ .

3) $y^2> y$ .

4) $x^2> y^2$ .

5) Постройте графики функций:

1. $y=\{ x\}$ .

2. $y=\{ x\}+{\rm sign}\, x$ .

3. $x+[x]$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 8

1 Лейб:

Последнюю строчку перед задачами желательно подправить.
Там имеется опечатка.

[Ответить]
11 Июнь 2012, 10:36
2 Елизавета Александровна Калинина:

Спасибо! Исправила.

[Ответить]
11 Июнь 2012, 18:47
3 Оля:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. x принадлежит [-2,2]
у=7х^2+х+1

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 12:26
Оля, о множестве значений квадратного трехчлена читайте здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/18-kvadratnyj-trexchlen/

[Ответить]
17 Сентябрь 2012, 12:01
4 Лейб:

Для меня неожиданно возник вопрос:
============================
Можно ли считать функцию y = sign(x) кусочно-линейной ?
============================
Ведь по определению (как дано выше):
Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки НЕНУЛЕВОЙ длины, внутри каждого из которых эта функция линейна.
============================
А значение y=0 дается только для одной точки. При этом получается “промежуток” НУЛЕВОЙ длины.
.
** Либо, может быть, подправить приведенное определение.
.
** Либо не признавать функцию y = sign(x) кусочно-линейной.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:08
Важно еще то, что функция должна быть определена на всей оси. Поэтому все верно. Для промежутков нулевой длины ничего не требуем.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:23
Хотя да, воспринимается не очень хорошо, спасибо. Посмотрите, пожалуйста, поправила определение. А в википедии вообще плохо: http://ru.wikipedia.org/wiki/Кусочно-линейная_функция

[Ответить]
Лейб Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:56
По-моему, сейчас определение совершенно корректно.
=================================
А в Википедии, согласен, есть досадные ошибки.

[Ответить]
17 Сентябрь 2012, 13:58

Математика, которая мне нравится

15. Линейная функция

Комментариев: 8

1 Лейб:

2 Елизавета Александровна Калинина:

3 Оля:

4 Лейб:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта