Математика, которая мне нравится

Определение. Пусть a и b — вещественные числа. Функция,   определенная на множестве \mathbb{R} по правилу x\rightarrow ax+b, называется линейной. Число a называется угловым коэффициентом, b — свободным членом этой функции.

Свойства линейной функции

Пусть \varphi(x)=ax+b — линейная функция.

1. Если a>0, то \varphi строго возрастает, если a<0, то \varphi строго убывает.

Доказательство. Пусть x_1,x_2\in\mathbb{R},x_1>x_2,

, так как

,

если a>0, то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)>0,

если a<0, то \varphi(x_1)-\varphi(x_2)<0.

2. Пусть E_{\varphi} — множество значений функции \varphi. Если a\ne0, то E_{\varphi}=\mathbb{R}, если a=0, то E_{\varphi}=\{ b\}.

Доказательство. Случай a=0 очевиден. Пусть a\ne0. Пусть y — произвольное вещественное число. Нужно доказать, что число y является значением функции \varphi, то есть что при некотором x выполняется равенство

Итак, \displaystyle y=\varphi\left({y-b\over a}\right). Следовательно, y\in E_{\varphi}.

3. Если a\ne0, то \varphi имеет один корень \displaystyle-{b\over a}.

4. \displaystyle\varphi\left(-{b\over a}\right)=0. Если a>0, то \varphi строго возрастает, следовательно, при \displaystyle x>-{b\over a} \varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)>0;

при \displaystyle x<-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)<0.

Если a<0, то \varphi строго убывает, следовательно, при \displaystyle x>-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)<\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)<0;

при \displaystyle x<-{b\over a} \displaystyle \varphi(x)>\varphi\left(-{b\over a}\right), то есть \varphi(x)>0.

5. Найдем среднюю скорость роста линейной функции на произвольном отрезке [\alpha;\beta] (\alpha\ne\beta):

Средняя скорость роста линейной функции постоянна и равна ее угловому коэффициенту.

Это свойство является характеристическим свойством линейной функции.

Теорема. Пусть функция f определена на множестве \mathbb{R} и имеет постоянную среднюю скорость роста. Тогда f — линейная функция.

Доказательство. Пусть a — средняя скорость роста функции f, пусть b=f(a). Докажем, что

Если x\ne0, то \displaystyle {f(x)-f(0)\over x-0}=a (это верно при x>0 и при x<0). f(x)-b=ax\Rightarrow f(x)=ax+b.

Последнее равенство верно и для x=0.

6. График линейной функции — прямая.

Определение. Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки так, что внутри каждого из промежутков ненулевой длины эта функция линейна.

Примеры кусочно-линейных функций: f(x)=|x|,\ f(x)=[x] — целая часть числа, f(x)=\{ x\}, где \{ x\}=x-[x] — дробная часть числа, f(x)={\rm sign}\, x — знак числа x:

Задачи.

1. Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих условиям:

1) Прямая проходит через точки (2;0) и (-1;3).

2) Прямая проходит через точки (2;1) и (2;7).

3) Прямая проходит через начало координат и параллельна прямой y=2x-1.

4) Прямая проходит через точку (-1;2) и параллельна прямой 3x-5y=2.

5) Прямая равноудалена от точек (1;1) и (3;3) и перпендикулярна прямой, проходящей через эи точки.

2. Функция f задана формулой f(x)=5-3x. Найдите множества:

1) f([-1;3)).
2) f^{-1}((-1;+\infty)).

3. Функция f задана формулой f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения f(x)=ax+1. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения a, для которых оно справедливо:

1) f([1;3])=[3;7].
2) f^{-1}((2;5))=(-4;-1).
3) f([1;2])\subseteq[-1;3].

4. Выясните, при каких значениях a справедливо следующее утверждение:

5. Изобразите г.м.т., задаваемое условиями:

1) xy=0.

2) \frac{x+1}{y-2}=2.

3) y^2> y.

4) x^2> y^2.

5) Постройте графики функций:

1. y=\{ x\}.

2. y=\{ x\}+{\rm sign}\, x.

3. x+[x].