15. Линейная функция
Определение. Пусть и
— вещественные числа. Функция, определенная на множестве
по правилу
, называется линейной. Число
называется угловым коэффициентом,
— свободным членом этой функции.
Свойства линейной функции
Пусть — линейная функция.
1. Если , то
строго возрастает, если
, то
строго убывает.
Доказательство. Пусть ,
, так как
если , то
,
если , то
.
2. Пусть — множество значений функции
. Если
, то
, если
, то
.
Доказательство. Случай очевиден. Пусть
. Пусть
— произвольное вещественное число. Нужно доказать, что число
является значением функции
, то есть что при некотором
выполняется равенство
Итак, . Следовательно,
.
3. Если , то
имеет один корень
.
4. . Если
, то
строго возрастает, следовательно, при
, то есть
;
при
, то есть
.
Если , то
строго убывает, следовательно, при
, то есть
;
при
, то есть
.
5. Найдем среднюю скорость роста линейной функции на произвольном отрезке
:
Средняя скорость роста линейной функции постоянна и равна ее угловому коэффициенту.
Это свойство является характеристическим свойством линейной функции.
Теорема. Пусть функция определена на множестве
и имеет постоянную среднюю скорость роста. Тогда
— линейная функция.
Доказательство. Пусть — средняя скорость роста функции
, пусть
. Докажем, что
Если , то
(это верно при
Последнее равенство верно и для .
6. График линейной функции — прямая.
Определение. Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки так, что внутри каждого из промежутков ненулевой длины эта функция линейна.
Примеры кусочно-линейных функций: — целая часть числа,
где
— дробная часть числа,
— знак числа
:
Задачи.
1. Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих условиям:
1) Прямая проходит через точки и
2) Прямая проходит через точки и
3) Прямая проходит через начало координат и параллельна прямой
4) Прямая проходит через точку и параллельна прямой
5) Прямая равноудалена от точек и
и перпендикулярна прямой, проходящей через эти точки.
2. Функция задана формулой
. Найдите множества:
1) .
2) .
3. Функция задана формулой
. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения
. Для каждого из следующих утверждений найдите все значения
, для которых оно справедливо:
1) .
2) .
3) .
4. Выясните, при каких значениях справедливо следующее утверждение:
5. Изобразите г.м.т., задаваемое условиями:
1) .
2) .
3) .
4) .
5) Постройте графики функций:
1. .
2. .
3. .
1 Лейб:
Последнюю строчку перед задачами желательно подправить.
Там имеется опечатка.
[Ответить]
11 Июнь 2012, 10:362 Елизавета Александровна Калинина:
Спасибо! Исправила.
[Ответить]
11 Июнь 2012, 18:473 Оля:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке. x принадлежит [-2,2]
у=7х^2+х+1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 12:26
Оля, о множестве значений квадратного трехчлена читайте здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/18-kvadratnyj-trexchlen/
[Ответить]
4 Лейб:
Для меня неожиданно возник вопрос:
============================
Можно ли считать функцию y = sign(x) кусочно-линейной ?
============================
Ведь по определению (как дано выше):
Функция, определенная на всей числовой оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось можно разбить на промежутки НЕНУЛЕВОЙ длины, внутри каждого из которых эта функция линейна.
============================
А значение y=0 дается только для одной точки. При этом получается “промежуток” НУЛЕВОЙ длины.
.
** Либо, может быть, подправить приведенное определение.
.
** Либо не признавать функцию y = sign(x) кусочно-линейной.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:08
Важно еще то, что функция должна быть определена на всей оси. Поэтому все верно. Для промежутков нулевой длины ничего не требуем.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:23
Хотя да, воспринимается не очень хорошо, спасибо. Посмотрите, пожалуйста, поправила определение. А в википедии вообще плохо: http://ru.wikipedia.org/wiki/Кусочно-линейная_функция
[Ответить]
Лейб Reply:
Сентябрь 17th, 2012 at 14:56
По-моему, сейчас определение совершенно корректно.
=================================
А в Википедии, согласен, есть досадные ошибки.
[Ответить]