14. Числовые функции

Понятие функции

Чтобы задать функцию, требуется задать некоторое числовое множество D — область определения функции — и правило, по которому каждому числу из множества D ставится в соответствие некоторое вещественное число.

Если правило обозначено буквой f, то число, которое по этому правилу соответствует числу a\in D, обозначают f(a) и называют значением функции f в точке a или образом элемента a при отображении f.

Если A\subset D, то множество образов всех элементов множества A называют образом множества A при отображении f и обозначают f(A). Множество f(A) называют также множеством значений функции f.

Способы задания функций

I. Формулой

Пример 1.

1) \displaystyle f(x)={3x^2-5\over x^2+4},\quad D=\mathbb{R},

2) \displaystyle h(x)={3x^2-5\over x^2+4},\quad D=[0;3],

3) [x],\{ x\},{\rm sign}\, x,|x|.

II. Таблицей

D — конечное множество и выписаны все значения функции.

III. Графиком

Определение. График функции f — множество всех точек координатной плоскости, абсцисса которых — число из области определения функции, а ордината точки с абсциссой a равна f(a):

\Gamma_f=\left\{(a;f(a))|a\in D_f\right\}.

Множество точек координатной плоскости является графиком
какой-либо функции в том и только том случае, если в этом
множестве не встречается двух точек с одинаковой абсциссой (иначе: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает это множество не более, чем в одной точке). Если функция задана графиком, то ее область определения — это проекция графика на ось абсцисс. Множество значений функции — это проекция графика на ось ординат.

Определение. Пусть функция f определена на множестве D, а множество E — множество значений f. Пусть B\subset E. Тогда множество \{ x\in D|f(x)\in B\} называется прообразом множества B при отображении f и обозначается
f^{-1}(B).

Замечание. Если множество B состоит из одного элемента b, то будем писать f^{-1}(b).

Определение. Пусть f определена на множестве D. Пусть X\subset D. Говорят, что функция f возрастает (строго возрастает) [убывает] {строго убывает} на множестве X, если для любых x_1,x_2\in X:\ x_1>x_2 справедливо неравенство f(x_1)\ge f(x_2) (f(x_1)>f(x_2)) [f(x_1)\le f(x_2)] \{ f(x_1)<f(x_2) \}.

Обозначения: f\nearrow — возрастает;

f\nearrow — строго возрастает;

f\searrow — убывает;

f\searrow — строго убывает.

\nearrow

\searrow

Определение. Нулем функции f называется любое решение уравнения f(x)=0.

Нуль функции f(x) называется также корнем уравнения f(x)=0.

Определение. Средней скоростью роста функции f на отрезке [a;b], входящем в ее область определения (a\ne b), называется число \displaystyle {f(b)-f(a)\over b-a}.

Комментариев: 7

  1. 1 zbl:

    > Если A\subset D, то множество образов всех элементов множества A называют образом множества A при отображении f и обозначают f(A).
    > Множество f(D) называют также множеством значений функции f.

    Опечатка?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, опечатка, исправила.

    [Ответить]

  2. 2 zbl:

    “Корень функции” — это за гранью добра и зла.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Это не настолько распространённый термин, чтобы так путать школьников?
    “Нуль функции” и “корень уравнения”.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, исправила )

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Я залез в Википопию (свободную энциклопопию) и стёр “корень функции”. Говорят, что корни многочленов в учебниках определяют теперь и так, и эдак: как делимость на x-a или как нули многочлена. Видимо, люди уже не помнят смысла слова “корень” и не задумываются, почему им до сих пор приятно говорить “извлечь квадратный корень”, а не “вычислить квадратный корень” (“извлечь логарифм” же не приятно говорить?).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В Википедии, к сожалению, ошибок и неточностей довольно много…

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение