Математика, которая мне нравится

Покажем на примере, как на плоскости построить геометрическое место точек (г.м.т.), задаваемое неравенством с модулем.

Пример. Построить множество точек на плоскости, задаваемое неравенством

Решение. Нужно рассмотреть четыре случая:

1) . Тогда , , и неравенство
принимает вид . Каждое из множеств закрасим (полуплоскость, лежащая правее прямой — горизонтальная штриховка), (полуплоскость, лежащая выше прямой — вертикальная штриховка) и (полуплоскость, лежащая ниже прямой — косая штриховка).

Получится рис. 16:

Рис. 16

Все три штриховки пересекаются на треугольнике , где , , . Следовательно, этот треугольник есть первая часть ответа.

2) . Тогда , , и наше неравенство принимает вид . Так же, как и в первом случае, штрихуем полуплоскости , и полуплоскость без граничной прямой .

Второй частью ответа будет треугольник без стороны , где , а точки и те же, что и в первом случае.

3) . Тогда , , и имеем неравенство .

Третья часть ответа — треугольник без стороны , где .

4) . Тогда , , и имеем неравенство .

Последняя часть ответа — треугольник без сторон и .

Ответ. Искомое множество — квадрат, изображенный на рис. 17:

Рис. 17

Задачи. Изобразите на плоскости множество точек (x,y), заданное указанными соотношениями:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .