12. Геометрическое место точек плоскости
Покажем на примере, как на плоскости построить геометрическое место точек (г.м.т.), задаваемое неравенством с модулем.
Пример. Построить множество точек на плоскости, задаваемое неравенством
Решение. Нужно рассмотреть четыре случая:
1) . Тогда
,
, и неравенство
принимает вид
. Каждое из множеств закрасим
(полуплоскость, лежащая правее прямой
— горизонтальная штриховка),
(полуплоскость, лежащая выше прямой
— вертикальная штриховка) и
(полуплоскость, лежащая ниже прямой
— косая штриховка).
Получится рис. 16:
Все три штриховки пересекаются на треугольнике , где
,
,
. Следовательно, этот треугольник есть первая часть ответа.
2) . Тогда
,
, и наше неравенство принимает вид
. Так же, как и в первом случае, штрихуем полуплоскости
,
и полуплоскость без граничной прямой
.
Второй частью ответа будет треугольник без стороны
, где
, а точки
и
те же, что и в первом случае.
3) . Тогда
,
, и имеем неравенство
.
Третья часть ответа — треугольник без стороны
, где
.
4) . Тогда
,
, и имеем неравенство
.
Последняя часть ответа — треугольник без сторон
и
.
Ответ. Искомое множество — квадрат, изображенный на рис. 17:
Задачи. Изобразите на плоскости множество точек
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
1 Ирина:
Задача 2. Понятно, что в ответе получится веер, между прямыми y=x, y=-x в верхней и нижней полуплоскости. А как изобразить y не равно 0? Ирина
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 12th, 2013 at 11:22
Ирина, обычно это изображается прерывистой линией. В данном случае прерывистой должна быть ось абсцисс.
[Ответить]