11. Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

|x^2-5x|<6.

Решение. Рассмотрим два случая: 1) x^2-5x\ge0 и 2) x^2-5x<0.

1) В этом случае неравенство равносильно системе

\left\{\begin{array}{l}<br />
x^2-5x\ge0,\\<br />
x^2-5x<6 \end{array}\right.

Преобразуя первое неравенство к виду x(x-5)\ge0, получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-\infty;0]\cup[5;+\infty).

Преобразуя второе неравенство (x+1)(x-6)<0, получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства (-1;6). Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть (-1;0]\cup[5;6).

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

\left\{\begin{array}{l}<br />
x^2-5x<0,\\<br />
-(x^2-5x)<6.<br />
\end{array}\right.

Решение первого неравенства (0;5) (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к (x-2)(x-3)>0, его решение (-\infty;2)\cup(3;+\infty) (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть (0;2)\cup(3;5).

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. (-1;2)\cup(3;6).

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство -6<x^2-5x<6, а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

|x-3|+|x+3|\le9.

Решение. Точки -3 и 3 (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При x\ge3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3\ge0\\x+3>0 \end{array}\right., и неравенство имеет вид 2x\le9, то есть x\le4.5. В этом случае ответ [3;4.5].

2) При -3\le x<3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3\ge0 \end{array}\right., неравенство имеет вид -(x-3)+(x+3)\le9, то есть 6\le9. Это неравенство верно при любых значениях переменной x, и, с учетом того, что мы решаем его на множестве -3\le x<3, получаем ответ во втором случае [-3;3).

3) При x<-3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3<0 \end{array}\right., неравенство преобразуется к -2x\le9, и решение в этом случае [-4.5;-3). Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. [-4.5;4.5].

Задачи. Решите неравенства:

1. |x|+|x+3| < 5.

2. 1+x+|x^2-x-3| < 0.

3. \displaystyle\left|\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right| < 3.

4. \displaystyle \left|\frac{x+3}{x-27}\right| < 1.

Комментариев: 83

  1. 2 Студентка:

    во 2 примере под 2 скобкой должно быть х от -3 до 3

    [Ответить]

  2. 4 алёна:

    x*3x*2x=152

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    алёна, и где тут модуль? ;)

    [Ответить]

  3. 5 Макс:

    как решить:
    |13-2x|>|4x-9|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы прочитали внимательно, что написано выше? ;)

    [Ответить]

    Макс Reply:

    да внимательно, я все равно не понимаю как и что)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы должны нанести корни выражений под модулями на числовую ось, получатся промежутки, в Вашем случае их будет три. Дальше следует на каждом из полученных промежутков раскрыть каждый модуль по определению: если под модулем неотрицательное число, то его модуль равен самому числу, если отрицаетельное, то противоположному числу. Теперь нужно решить три неравенства без модулей. Ну а потом найти пересечения с исходными промежутками в каждом из трех случаев – это и будет ответ (объединение трех ответов). Делайте по порядку. Если что-то не получается, задавайте конкретные вопросы.

    [Ответить]

    Алексей Reply:

    А если в каком – нибудь случае получится так, что нет решений ни при каких значениях x, а в остальных случаях решения есть?

    [Ответить]

  4. 6 Ульяна:

    помогите решить:
    |x^2-8|≤2x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ульяна, как решать Ваш пример, написано в примере 1.

    [Ответить]

  5. 7 Лейб:

    В третьем случае решенного примера 2 (там, где x<-3) результатом должен быть полуоткрытый справа промежуток [-4.5;-3).
    Правда, окончательный ответ остается прежним.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  6. 8 Юлия:

    |x-1|-|x|<=0
    Как решиь такое…
    Ничего в этом не понимаю.
    Помогите пожалуйста!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юлия, а если переписать так: |x-1|\le|x| и переформулировать – найти все такие x, для которых расстояние от x до 1 не превосходит расстояния от x до нуля (это по определению модуля)?

    Стандартный алгоритм описан в примере 2.

    [Ответить]

    Любовь Reply:

    Спасибо, Елизавета Андреевна, получилось решить это неравенство и стандартным способом.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александровна ;)

    [Ответить]

  7. 9 Лейб:

    Иногда такого типа неравенства (как в пункте 8 ) удобно решать, используя следующие два свойства:
    .
    1. |x|^2=x^2.
    То есть квадрат модуля числа равен квадрату самого числа.
    .
    2. если числа x и y неотрицательные, то
    x\leq y\Leftrightarrow x^2\leq y^2.
    Грубо говоря, если обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство можно “безболезненно” возводить в квадрат.
    ==========================================
    Тогда неравенство
    |x-1|\leq |x|
    можно заменить таким:
    |x-1|^2\leq |x|^2.
    А это неравенство, в свою очередь, таким:
    (x-1)^2\leq x^2.
    Отсюда:
    x^2-2x+1\leq x^2 .
    Следовательно, x\geq0.5 .

    [Ответить]

  8. 10 Кирилл:

    спасибо!)

    [Ответить]

  9. 11 Владимир:

    Объясните, откуда взялось такое определение модуля |f(x)|=-f(x) ?
    Это определение в принципе противоречит смыслу модуля. Как из под модуля можно
    получить отрицательное число?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Владимир, это не определение. Это равенство справедливо только для отрицательных f(x). Например, |-5|=-(-5)=5, а 5 — число неотрицательное.

    [Ответить]

  10. 12 Владимир:

    Спасибо, понятно.

    [Ответить]

  11. 13 антон:

    Решить неравенство
    |x-1|-|x|+|2x+3|>2x+4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 2, только промежутков будет больше.

    [Ответить]

  12. 14 Юрий:

    В образцах задач ЕГЭ попалось такое неравенство:
    |x+1| + 2|x+а| ≥ 3-2x
    Ставит в тупик задание – “при каких значениях а неравенство справедливо всегда?”
    Намекните пожалуйста – как подступиться. Как раскрывать |x+а|?…
    Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юрий, я бы решала графически. Преобразовать 2|x+a|\ge 3-2x-|x+1|, а дальше график правой части (y=3-2x-|x+1|) и сравнивать при различных a с графиком левой части (y=2|x+a|). Второй при всех x должен быть не ниже первого.

    Если же раскрывать модули, то |x+a|=x+a при x\ge-a и |x+a|=-x-a при x< -a. Дальше нужно рассматривать все возможные случаи расположения a (когда получаются разные ответы). Так сложнее.

    [Ответить]

  13. 15 Егор:

    помогите пожалуйста с решением
    |x-1|≤4,2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Геометрически |x-a| – это расстояние между точками x и a.

    [Ответить]

  14. 16 Зара:

    ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Зара, ничего не видно.

    [Ответить]

  15. 17 бабушка Наталья:

    Добрый день Елизавета Александровна!
    Внучке на первом курсе гуманитарного факультета дали задание – построить линию |x|-4y=x+|4y-y кв.|
    Последний у в квадрате. Я сама программист в прошлом, но даже не знаю какой первый шаг сделать. Это же функция в неявной форме, да еще с модулями.Подскажите пожалуйста.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый день!
    Посмотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/12-geometricheskoe-mesto-tochek-ploskosti/
    Там приведен общий алгоритм. Если что-то непонятно, спрашивайте.

    [Ответить]

  16. 18 muhtar:

    как решить неравенство 6х*-х-7<0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    После звездочки точно ничего нет?

    [Ответить]

  17. 19 Alex:

    |x^2+2x|<или равно х. ^-означает "в квадрате"

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 1.

    [Ответить]

  18. 20 Влад:

    Добрый день, можно ли это изучить в кротчайшие сроки ? если да то с чего начать ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Влад, изучите решение уравнений с модулем, а потом уже читайте о неравенствах.

    [Ответить]

  19. 21 Михаил:

    как решить |5+|3x-4||<=7

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    -7\le 5+|3x-4|\le 7, а дальше решаем два обычных неравенства с модулем, можно так же.

    [Ответить]

  20. 22 женище:

    очень интересный пример, 3аставила меня 3адуматься об отчислении, но и3учив предоставленный материал я решила что есть на свете люди тупее меня

    [Ответить]

  21. 23 Лера:

    помогите, пожалуйста, решить:
    |x+12|*(x+12)≤49

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лера, рассмотрите два случая: x\ge -12 и x<-12.

    [Ответить]

    Лера Reply:

    спасибо!

    [Ответить]

  22. 24 Ольга:

    здравствуйте! подскажите, как решить:
    |(x^2-x)7|>-|x^3-3x^2+3x-1|

    [Ответить]

    Ольга Reply:

    (/7 в первом модуле)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Разложите на множители выражения под модулем. Далее просто исключите те x, для которых слева и справа модули обращаются в нуль. В других случаях знак всегда будет “больше”. Подумайте, почему. Удачи!

    [Ответить]

  23. 25 Ольга:

    Помогите, пожалуйста! Я запуталась!
    Нужно ли находить ОДЗ?
    И как его решить!Благодарю)
    2│x-3│-│x+1│+│4-3x│<6

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ольга, ОДЗ – область допустимых значений. Разве здесь есть какие-нибудь ограничения на x? Из условия задачи не следует, что какие-то значения x принимать не может. Следовательно, ОДЗ – все множество вещественных чисел.

    Решать нужно, разбивая всю числовую ось на промежутки, границы которых – корни выражений под знаками модулей, раскрывая модули на каждом таком промежутке. Смотрите пример 2.

    [Ответить]

  24. 26 Алекс:

    Как решить следующие примеры:
    |3x+7|=4|x|
    |x2-2x|=|4-2x|
    |x-4|=|x2-4x|
    |x2-4|=-|x2-x-2|
    |x-3|=-|x2-4x+3|
    |x2+2x-3|+|x2+7x+12|=0
    |x2-3x-10|+|2×2-9x-5|=0
    |2x-3|=3-2x
    |4x-2|=2-4x
    |5x-8|=5x-8
    |3x-1|=3x-1
    |x+4|=2x
    |x-8|=-3x
    |2-x|=1-2x
    |x-2|=2x-3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь не решают домашнее задание, Вам не повезло.

    [Ответить]

  25. 27 Ника:

    Здравствуйте! Запуталась с неравенством: -1<|x^2-9|<27. Решаю как систему,но не выходит…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Поскольку модуль неотрицателен, то левую часть можно просто отбросить и решать неравенство |x^2-9|<27. Иначе говоря, получается равносильное неравенство -27<x^2-9<27.

    [Ответить]

  26. 28 Дима:

    Здравствуйте! Подскажите с чего начать
    (|x+2|-4)(|2x-1|-3)<=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте! Рассмотрите две системы неравенств. AB\le0\Leftrightarrow A\le0,B\ge0 или A\ge0,B\le0.

    [Ответить]

  27. 29 Пауэль:

    Во втором на первом интервале в системе получается -3+3=9 или я чего то не понимаю ???

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Во втором примере? Почему у Вас равенство? Не поняла.

    [Ответить]

  28. 30 Любовь:

    Добрый день, Елизавета Александровна. Мне пришлось заново разбираться в решении неравенств с модулем. Большое спасибо Вам за объяснение. Напишите, пожалуйста к примерам №3 и №4, которые Вы предложили решить. Хочу убедиться, что я их решила верно.)))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Любовь, Вы записали сначала двойное неравенство, а потом решили его методом интервалов? Если так, то все должно быть верно.

    [Ответить]

  29. 31 Любовь:

    Р.S. напишите, пожалуйста, ответы к №3 и№4

    [Ответить]

  30. 32 Любовь:

    Елизавета Андреевна, в примере №5 на одном из промежутков у меня получилось, что нер-тво не имеет решений. Подскажите,как быть дальше? Спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вообще-то я Александровна ;)
    Решения могут быть на других промежутках, только и всего. Если решений нет ни на одном из промежутков, то ответ – пустое множество :)

    [Ответить]

    Любовь Reply:

    Добрый день, Елизавета Александровна. Т.е. НА этот промежуток можно как-бы “закрыть глаза” и общий ответ – объеденение решений на остальных промежутках?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, Вы правы. Лишнее удалила :)

    [Ответить]

  31. 33 Любовь:

    Спасибо за консультацию. Несколько раз писала сообщение, а комп. выдавал ошибку отправления. Результат – несколько копий письма.((

    [Ответить]

  32. 34 Настя:

    Помогите пожалуйста решить: (х^2 – |х| – 12)/(x – 3)>2x

    [Ответить]

  33. 35 Анастасия:

    А если в неравенстве модуль вычитается из числа, как его решить? Как пример: 16-|3x-6|>0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решайте точно так же, как если бы модуль прибавлялся, разницы никакой нет. Алгоритм работает. Со знаками только не напутайте, когда будете модуль раскрывать, учитывайте минус перед модулем.

    [Ответить]

  34. 36 нелли:

    Помогите, пожалуйста!!!решите неравенство х+9 по модулю*(х+9)=9 ОЧЕНЬ НУЖНО!Заранее искренне благодарна))))))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Это у Вас уравнение, которое сводится к уравнению (x+9)^2=9 при x\ge-9, легко решаемому.

    [Ответить]

    нелли Reply:

    спасибо большое, а что если первое выражение отличается от второго?модуль х+2*(х+7)=50?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Тогда раскрываете модуль, два промежутка: при x\ge -2 решаете уравнение (x+2)(x+7)=50, а при x<-2 — уравнение -(x+2)(x+7)=50. Посмотрите решение уравнений с модулем, там все подробно написано и примеры есть :-)

    [Ответить]

  35. 37 Студентка:

    ||x-2|+7|>|x-5| помогите решить,пожалуйста

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите пример 4 здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/10-reshenie-uravnenij-s-modulem/comment-page-7/#comment-14255, потом почитайте, как решать неравенства.

    [Ответить]

  36. 38 Natochka:

    Помогите,пожалуйста,решить неравенство!)))
    |X|-|x-1|>0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А Вы читали, что в начале этой страницы написано? :-)

    [Ответить]

  37. 39 анна:

    Как понять где какой знак?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то модуль его равен ему самому. Если выражение, стоящее под знаком модуля неположительно, то модуль его равен ему со знаком “минус”. Это определение модуля.

    [Ответить]

  38. 40 Лола:

    Здравствуйте, помогите, пожалуйста с уравнением, не знаю как модули раскрыть
    |log3x|<|log3x/9|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Это у Вас логарифм по основанию 3 или что-то другое?

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение