Решение неравенств с модулем | Математика, которая мне нравится

11. Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

|x^2-5x|<6.

Решение. Рассмотрим два случая: 1) $x^2-5x\ge0$ и 2) x^2-5x<0 .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l} x^2-5x\ge0,\\ x^2-5x<6 \end{array}\right.$

Преобразуя первое неравенство к виду $x(x-5)\ge0$ , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства $(-\infty;0]\cup[5;+\infty)$ .

Преобразуя второе неравенство (x+1)(x-6)<0 , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства (-1;6) . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть $(-1;0]\cup[5;6)$ .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

$\left\{\begin{array}{l} x^2-5x<0,\\ -(x^2-5x)<6. \end{array}\right.$

Решение первого неравенства (0;5) (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к (x-2)(x-3)>0 , его решение $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть $(0;2)\cup(3;5)$ .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. $(-1;2)\cup(3;6)$ .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство -6<x^2-5x<6 , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

$|x-3|+|x+3|\le9.$

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При $x\ge3$ выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3\ge0\\x+3>0 \end{array}\right.$ , и неравенство имеет вид $2x\le9$ , то есть $x\le4.5$ . В этом случае ответ [3;4.5] .

2) При $-3\le x<3$ выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3\ge0 \end{array}\right.$ , неравенство имеет вид $-(x-3)+(x+3)\le9$ , то есть $6\le9$ . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве $-3\le x<3$ , получаем ответ во втором случае [-3;3) .

3) При x<-3 выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3<0 \end{array}\right.$ , неравенство преобразуется к $-2x\le9$ , и решение в этом случае [-4.5;-3) . Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. [-4.5;4.5] .

Задачи. Решите неравенства:

1. |x|+|x+3| < 5 .

2. 1+x+|x^2-x-3| < 0 .

3. $\displaystyle\left|\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right| < 3$ .

4. $\displaystyle \left|\frac{x+3}{x-27}\right| < 1$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 68

1 Студентка:

http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-33c4d9f04b8ab66bb96e7edd98e322a5.gif
неверный интервал!

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:06
2 Студентка:

во 2 примере под 2 скобкой должно быть х от -3 до 3

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:09
3 Елизавета Александровна Калинина:

Спасибо, исправила!

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:28
4 алёна:

x*3x*2x=152

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 10th, 2012 at 11:32
алёна, и где тут модуль?

[Ответить]
10 Сентябрь 2012, 9:21
5 Макс:

как решить:
|13-2x|>|4x-9|

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 13:19
Вы прочитали внимательно, что написано выше?

[Ответить]
Макс Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 19:47
да внимательно, я все равно не понимаю как и что)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 21:34
Вы должны нанести корни выражений под модулями на числовую ось, получатся промежутки, в Вашем случае их будет три. Дальше следует на каждом из полученных промежутков раскрыть каждый модуль по определению: если под модулем неотрицательное число, то его модуль равен самому числу, если отрицаетельное, то противоположному числу. Теперь нужно решить три неравенства без модулей. Ну а потом найти пересечения с исходными промежутками в каждом из трех случаев – это и будет ответ (объединение трех ответов). Делайте по порядку. Если что-то не получается, задавайте конкретные вопросы.

[Ответить]
Алексей Reply:
Июнь 2nd, 2013 at 23:15
А если в каком – нибудь случае получится так, что нет решений ни при каких значениях x, а в остальных случаях решения есть?

[Ответить]
30 Сентябрь 2012, 12:27
6 Ульяна:

помогите решить:
|x^2-8|≤2x

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 1st, 2012 at 15:17
Ульяна, как решать Ваш пример, написано в примере 1.

[Ответить]
1 Октябрь 2012, 14:38
7 Лейб:

В третьем случае решенного примера 2 (там, где ) результатом должен быть полуоткрытый справа промежуток .
Правда, окончательный ответ остается прежним.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 1st, 2012 at 23:33
Спасибо! Исправила.

[Ответить]
1 Октябрь 2012, 22:09
8 Юлия:

|x-1|-|x|<=0
Как решиь такое…
Ничего в этом не понимаю.
Помогите пожалуйста!!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 13th, 2012 at 17:40
Юлия, а если переписать так: $|x-1|\le|x|$ и переформулировать – найти все такие , для которых расстояние от до не превосходит расстояния от до нуля (это по определению модуля)?

Стандартный алгоритм описан в примере 2.

[Ответить]
Любовь Reply:
Август 25th, 2014 at 18:57
Спасибо, Елизавета Андреевна, получилось решить это неравенство и стандартным способом.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 25th, 2014 at 22:10
Александровна

[Ответить]
13 Октябрь 2012, 16:34
9 Лейб:

Иногда такого типа неравенства (как в пункте 8 ) удобно решать, используя следующие два свойства:
.
1. .
То есть квадрат модуля числа равен квадрату самого числа.
.
2. если числа и неотрицательные, то
$x\leq y\Leftrightarrow x^2\leq y^2$ .
Грубо говоря, если обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство можно “безболезненно” возводить в квадрат.
==========================================
Тогда неравенство
$|x-1|\leq |x|$
можно заменить таким:
$|x-1|^2\leq |x|^2$ .
А это неравенство, в свою очередь, таким:
$(x-1)^2\leq x^2$ .
Отсюда:
$x^2-2x+1\leq x^2$ .
Следовательно, $x\geq0.5$ .

[Ответить]
13 Октябрь 2012, 22:55
10 Кирилл:

спасибо!)

[Ответить]
21 Октябрь 2012, 18:04
11 Владимир:

Объясните, откуда взялось такое определение модуля |f(x)|=-f(x) ?
Это определение в принципе противоречит смыслу модуля. Как из под модуля можно
получить отрицательное число?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 18:06
Владимир, это не определение. Это равенство справедливо только для отрицательных . Например, , а — число неотрицательное.

[Ответить]
5 Декабрь 2012, 17:25
12 Владимир:

Спасибо, понятно.

[Ответить]
5 Декабрь 2012, 20:56
13 антон:

Решить неравенство
|x-1|-|x|+|2x+3|>2x+4

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 24th, 2012 at 22:21
Пример 2, только промежутков будет больше.

[Ответить]
24 Декабрь 2012, 21:24
14 Юрий:

В образцах задач ЕГЭ попалось такое неравенство:
|x+1| + 2|x+а| ≥ 3-2x
Ставит в тупик задание – “при каких значениях а неравенство справедливо всегда?”
Намекните пожалуйста – как подступиться. Как раскрывать |x+а|?…
Спасибо!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 7th, 2013 at 19:11
Юрий, я бы решала графически. Преобразовать $2|x+a|\ge 3-2x-|x+1|$ , а дальше график правой части () и сравнивать при различных с графиком левой части (). Второй при всех должен быть не ниже первого.

Если же раскрывать модули, то при $x\ge-a$ и при . Дальше нужно рассматривать все возможные случаи расположения (когда получаются разные ответы). Так сложнее.

[Ответить]
7 Январь 2013, 15:32
15 Егор:

помогите пожалуйста с решением
|x-1|≤4,2

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 8th, 2013 at 21:46
Геометрически – это расстояние между точками и .

[Ответить]
8 Январь 2013, 20:03
16 Зара:

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 15th, 2013 at 16:22
Зара, ничего не видно.

[Ответить]
15 Январь 2013, 15:14
17 бабушка Наталья:

Добрый день Елизавета Александровна!
Внучке на первом курсе гуманитарного факультета дали задание – построить линию |x|-4y=x+|4y-y кв.|
Последний у в квадрате. Я сама программист в прошлом, но даже не знаю какой первый шаг сделать. Это же функция в неявной форме, да еще с модулями.Подскажите пожалуйста.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 6th, 2013 at 12:37
Добрый день!
Посмотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/12-geometricheskoe-mesto-tochek-ploskosti/
Там приведен общий алгоритм. Если что-то непонятно, спрашивайте.

[Ответить]
6 Февраль 2013, 11:45
18 muhtar:

как решить неравенство 6х*-х-7<0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 23rd, 2013 at 19:39
После звездочки точно ничего нет?

[Ответить]
23 Апрель 2013, 10:54
19 Alex:

|x^2+2x|<или равно х. ^-означает "в квадрате"

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 11th, 2013 at 22:21
Пример 1.

[Ответить]
11 Июнь 2013, 16:26
20 Влад:

Добрый день, можно ли это изучить в кротчайшие сроки ? если да то с чего начать ?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 11th, 2013 at 21:21
Влад, изучите решение уравнений с модулем, а потом уже читайте о неравенствах.

[Ответить]
11 Сентябрь 2013, 20:18
21 Михаил:

как решить |5+|3x-4||<=7

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 16th, 2013 at 22:52
$-7\le 5+|3x-4|\le 7$ , а дальше решаем два обычных неравенства с модулем, можно так же.

[Ответить]
16 Октябрь 2013, 21:23
22 женище:

очень интересный пример, 3аставила меня 3адуматься об отчислении, но и3учив предоставленный материал я решила что есть на свете люди тупее меня

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 21st, 2013 at 21:34
???

[Ответить]
21 Октябрь 2013, 20:00
23 Лера:

помогите, пожалуйста, решить:
|x+12|*(x+12)≤49

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 3rd, 2013 at 22:30
Лера, рассмотрите два случая: $x\ge -12$ и .

[Ответить]
Лера Reply:
Ноябрь 5th, 2013 at 19:16
спасибо!

[Ответить]
3 Ноябрь 2013, 21:20
24 Ольга:

здравствуйте! подскажите, как решить:
|(x^2-x)7|>-|x^3-3x^2+3x-1|

[Ответить]
Ольга Reply:
Ноябрь 12th, 2013 at 20:19
(/7 в первом модуле)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 12th, 2013 at 23:09
Разложите на множители выражения под модулем. Далее просто исключите те , для которых слева и справа модули обращаются в нуль. В других случаях знак всегда будет “больше”. Подумайте, почему. Удачи!

[Ответить]
12 Ноябрь 2013, 20:18
25 Ольга:

Помогите, пожалуйста! Я запуталась!
Нужно ли находить ОДЗ?
И как его решить!Благодарю)
2│x-3│-│x+1│+│4-3x│<6

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 19th, 2013 at 17:52
Ольга, ОДЗ – область допустимых значений. Разве здесь есть какие-нибудь ограничения на ? Из условия задачи не следует, что какие-то значения принимать не может. Следовательно, ОДЗ – все множество вещественных чисел.

Решать нужно, разбивая всю числовую ось на промежутки, границы которых – корни выражений под знаками модулей, раскрывая модули на каждом таком промежутке. Смотрите пример 2.

[Ответить]
19 Ноябрь 2013, 15:03
26 Алекс:

Как решить следующие примеры:
|3x+7|=4|x|
|x2-2x|=|4-2x|
|x-4|=|x2-4x|
|x2-4|=-|x2-x-2|
|x-3|=-|x2-4x+3|
|x2+2x-3|+|x2+7x+12|=0
|x2-3x-10|+|2×2-9x-5|=0
|2x-3|=3-2x
|4x-2|=2-4x
|5x-8|=5x-8
|3x-1|=3x-1
|x+4|=2x
|x-8|=-3x
|2-x|=1-2x
|x-2|=2x-3

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 10th, 2014 at 21:01
Здесь не решают домашнее задание, Вам не повезло.

[Ответить]
10 Январь 2014, 13:32
27 Ника:

Здравствуйте! Запуталась с неравенством: -1<|x^2-9|<27. Решаю как систему,но не выходит…

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 8th, 2014 at 20:56
Поскольку модуль неотрицателен, то левую часть можно просто отбросить и решать неравенство . Иначе говоря, получается равносильное неравенство .

[Ответить]
8 Май 2014, 13:32
28 Дима:

Здравствуйте! Подскажите с чего начать
(|x+2|-4)(|2x-1|-3)<=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 19:14
Здравствуйте! Рассмотрите две системы неравенств. $AB\le0\Leftrightarrow A\le0,B\ge0$ или $A\ge0,B\le0$ .

[Ответить]
12 Май 2014, 17:47
29 Пауэль:

Во втором на первом интервале в системе получается -3+3=9 или я чего то не понимаю ???

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 17th, 2014 at 23:26
Во втором примере? Почему у Вас равенство? Не поняла.

[Ответить]
17 Май 2014, 13:45
30 Любовь:

Добрый день, Елизавета Александровна. Мне пришлось заново разбираться в решении неравенств с модулем. Большое спасибо Вам за объяснение. Напишите, пожалуйста к примерам №3 и №4, которые Вы предложили решить. Хочу убедиться, что я их решила верно.)))

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 25th, 2014 at 22:11
Любовь, Вы записали сначала двойное неравенство, а потом решили его методом интервалов? Если так, то все должно быть верно.

[Ответить]
25 Август 2014, 18:31
31 Любовь:

Р.S. напишите, пожалуйста, ответы к №3 и№4

[Ответить]
25 Август 2014, 18:34
32 Любовь:

Елизавета Андреевна, в примере №5 на одном из промежутков у меня получилось, что нер-тво не имеет решений. Подскажите,как быть дальше? Спасибо.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2014 at 12:07
Вообще-то я Александровна
Решения могут быть на других промежутках, только и всего. Если решений нет ни на одном из промежутков, то ответ – пустое множество

[Ответить]
Любовь Reply:
Август 26th, 2014 at 16:11
Добрый день, Елизавета Александровна. Т.е. НА этот промежуток можно как-бы “закрыть глаза” и общий ответ – объеденение решений на остальных промежутках?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2014 at 17:18
Да, Вы правы. Лишнее удалила

[Ответить]
25 Август 2014, 23:44
33 Любовь:

Спасибо за консультацию. Несколько раз писала сообщение, а комп. выдавал ошибку отправления. Результат – несколько копий письма.((

[Ответить]
26 Август 2014, 19:26
34 Настя:

Помогите пожалуйста решить: (х^2 – |х| – 12)/(x – 3)>2x

[Ответить]
7 Сентябрь 2014, 9:04