#x0441;

11. Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

|x^2-5x|<6.

Решение. Рассмотрим два случая: 1) x^2-5x\ge0 и 2) x^2-5x<0.

1) В этом случае неравенство равносильно системе

\left\{\begin{array}{l}<br />
x^2-5x\ge0,\\<br />
x^2-5x<6 \end{array}\right.

Преобразуя первое неравенство к виду x(x-5)\ge0, получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-\infty;0]\cup[5;+\infty).

Преобразуя второе неравенство (x+1)(x-6)<0, получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства (-1;6). Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть (-1;0]\cup[5;6).

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

\left\{\begin{array}{l}<br />
x^2-5x<0,\\<br />
-(x^2-5x)<6.<br />
\end{array}\right.

Решение первого неравенства (0;5) (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к (x-2)(x-3)>0, его решение (-\infty;2)\cup(3;+\infty) (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть (0;2)\cup(3;5).

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. (-1;2)\cup(3;6).

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство -6<x^2-5x<6, а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

|x-3|+|x+3|\le9.

Решение. Точки -3 и 3 (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При x\ge3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3\ge0\\x+3>0 \end{array}\right., и неравенство имеет вид 2x\le9, то есть x\le4.5. В этом случае ответ [3;4.5].

2) При -3\le x<3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3\ge0 \end{array}\right., неравенство имеет вид -(x-3)+(x+3)\le9, то есть 6\le9. Это неравенство верно при любых значениях переменной x, и, с учетом того, что мы решаем его на множестве -3\le x<3, получаем ответ во втором случае [-3;3).

3) При x<-3 выполняется \left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3<0 \end{array}\right., неравенство преобразуется к -2x\le9, и решение в этом случае [-4.5;-3). Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. [-4.5;4.5].

Задачи. Решите неравенства:

1. |x|+|x+3| < 5.

2. 1+x+|x^2-x-3| < 0.

3. \displaystyle\left|\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right| < 3.

4. \displaystyle \left|\frac{x+3}{x-27}\right| < 1.

Комментариев: 68

  1. 2 Студентка:

    во 2 примере под 2 скобкой должно быть х от -3 до 3

    [Ответить]

  2. 4 алёна:

    x*3x*2x=152

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    алёна, и где тут модуль? ;)

    [Ответить]

  3. 5 Макс:

    как решить:
    |13-2x|>|4x-9|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы прочитали внимательно, что написано выше? ;)

    [Ответить]

    Макс Reply:

    да внимательно, я все равно не понимаю как и что)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы должны нанести корни выражений под модулями на числовую ось, получатся промежутки, в Вашем случае их будет три. Дальше следует на каждом из полученных промежутков раскрыть каждый модуль по определению: если под модулем неотрицательное число, то его модуль равен самому числу, если отрицаетельное, то противоположному числу. Теперь нужно решить три неравенства без модулей. Ну а потом найти пересечения с исходными промежутками в каждом из трех случаев – это и будет ответ (объединение трех ответов). Делайте по порядку. Если что-то не получается, задавайте конкретные вопросы.

    [Ответить]

    Алексей Reply:

    А если в каком – нибудь случае получится так, что нет решений ни при каких значениях x, а в остальных случаях решения есть?

    [Ответить]

  4. 6 Ульяна:

    помогите решить:
    |x^2-8|≤2x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ульяна, как решать Ваш пример, написано в примере 1.

    [Ответить]

  5. 7 Лейб:

    В третьем случае решенного примера 2 (там, где x<-3) результатом должен быть полуоткрытый справа промежуток [-4.5;-3).
    Правда, окончательный ответ остается прежним.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  6. 8 Юлия:

    |x-1|-|x|<=0
    Как решиь такое…
    Ничего в этом не понимаю.
    Помогите пожалуйста!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юлия, а если переписать так: |x-1|\le|x| и переформулировать – найти все такие x, для которых расстояние от x до 1 не превосходит расстояния от x до нуля (это по определению модуля)?

    Стандартный алгоритм описан в примере 2.

    [Ответить]

    Любовь Reply:

    Спасибо, Елизавета Андреевна, получилось решить это неравенство и стандартным способом.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Александровна ;)

    [Ответить]

  7. 9 Лейб:

    Иногда такого типа неравенства (как в пункте 8 ) удобно решать, используя следующие два свойства:
    .
    1. |x|^2=x^2.
    То есть квадрат модуля числа равен квадрату самого числа.
    .
    2. если числа x и y неотрицательные, то
    x\leq y\Leftrightarrow x^2\leq y^2.
    Грубо говоря, если обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство можно “безболезненно” возводить в квадрат.
    ==========================================
    Тогда неравенство
    |x-1|\leq |x|
    можно заменить таким:
    |x-1|^2\leq |x|^2.
    А это неравенство, в свою очередь, таким:
    (x-1)^2\leq x^2.
    Отсюда:
    x^2-2x+1\leq x^2 .
    Следовательно, x\geq0.5 .

    [Ответить]

  8. 10 Кирилл:

    спасибо!)

    [Ответить]

  9. 11 Владимир:

    Объясните, откуда взялось такое определение модуля |f(x)|=-f(x) ?
    Это определение в принципе противоречит смыслу модуля. Как из под модуля можно
    получить отрицательное число?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Владимир, это не определение. Это равенство справедливо только для отрицательных f(x). Например, |-5|=-(-5)=5, а 5 — число неотрицательное.

    [Ответить]

  10. 12 Владимир:

    Спасибо, понятно.

    [Ответить]

  11. 13 антон:

    Решить неравенство
    |x-1|-|x|+|2x+3|>2x+4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 2, только промежутков будет больше.

    [Ответить]

  12. 14 Юрий:

    В образцах задач ЕГЭ попалось такое неравенство:
    |x+1| + 2|x+а| ≥ 3-2x
    Ставит в тупик задание – “при каких значениях а неравенство справедливо всегда?”
    Намекните пожалуйста – как подступиться. Как раскрывать |x+а|?…
    Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юрий, я бы решала графически. Преобразовать 2|x+a|\ge 3-2x-|x+1|, а дальше график правой части (y=3-2x-|x+1|) и сравнивать при различных a с графиком левой части (y=2|x+a|). Второй при всех x должен быть не ниже первого.

    Если же раскрывать модули, то |x+a|=x+a при x\ge-a и |x+a|=-x-a при x< -a. Дальше нужно рассматривать все возможные случаи расположения a (когда получаются разные ответы). Так сложнее.

    [Ответить]

  13. 15 Егор:

    помогите пожалуйста с решением
    |x-1|≤4,2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Геометрически |x-a| – это расстояние между точками x и a.

    [Ответить]

  14. 16 Зара:

    ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Зара, ничего не видно.

    [Ответить]

  15. 17 бабушка Наталья:

    Добрый день Елизавета Александровна!
    Внучке на первом курсе гуманитарного факультета дали задание – построить линию |x|-4y=x+|4y-y кв.|
    Последний у в квадрате. Я сама программист в прошлом, но даже не знаю какой первый шаг сделать. Это же функция в неявной форме, да еще с модулями.Подскажите пожалуйста.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый день!
    Посмотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/12-geometricheskoe-mesto-tochek-ploskosti/
    Там приведен общий алгоритм. Если что-то непонятно, спрашивайте.

    [Ответить]

  16. 18 muhtar:

    как решить неравенство 6х*-х-7<0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    После звездочки точно ничего нет?

    [Ответить]

  17. 19 Alex:

    |x^2+2x|<или равно х. ^-означает "в квадрате"

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 1.

    [Ответить]

  18. 20 Влад:

    Добрый день, можно ли это изучить в кротчайшие сроки ? если да то с чего начать ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Влад, изучите решение уравнений с модулем, а потом уже читайте о неравенствах.

    [Ответить]

  19. 21 Михаил:

    как решить |5+|3x-4||<=7

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    -7\le 5+|3x-4|\le 7, а дальше решаем два обычных неравенства с модулем, можно так же.

    [Ответить]

  20. 22 женище:

    очень интересный пример, 3аставила меня 3адуматься об отчислении, но и3учив предоставленный материал я решила что есть на свете люди тупее меня

    [Ответить]

  21. 23 Лера:

    помогите, пожалуйста, решить:
    |x+12|*(x+12)≤49

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лера, рассмотрите два случая: x\ge -12 и x<-12.

    [Ответить]

    Лера Reply:

    спасибо!

    [Ответить]

  22. 24 Ольга:

    здравствуйте! подскажите, как решить:
    |(x^2-x)7|>-|x^3-3x^2+3x-1|

    [Ответить]

    Ольга Reply:

    (/7 в первом модуле)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Разложите на множители выражения под модулем. Далее просто исключите те x, для которых слева и справа модули обращаются в нуль. В других случаях знак всегда будет “больше”. Подумайте, почему. Удачи!

    [Ответить]

  23. 25 Ольга:

    Помогите, пожалуйста! Я запуталась!
    Нужно ли находить ОДЗ?
    И как его решить!Благодарю)
    2│x-3│-│x+1│+│4-3x│<6

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ольга, ОДЗ – область допустимых значений. Разве здесь есть какие-нибудь ограничения на x? Из условия задачи не следует, что какие-то значения x принимать не может. Следовательно, ОДЗ – все множество вещественных чисел.

    Решать нужно, разбивая всю числовую ось на промежутки, границы которых – корни выражений под знаками модулей, раскрывая модули на каждом таком промежутке. Смотрите пример 2.

    [Ответить]

  24. 26 Алекс:

    Как решить следующие примеры:
    |3x+7|=4|x|
    |x2-2x|=|4-2x|
    |x-4|=|x2-4x|
    |x2-4|=-|x2-x-2|
    |x-3|=-|x2-4x+3|
    |x2+2x-3|+|x2+7x+12|=0
    |x2-3x-10|+|2×2-9x-5|=0
    |2x-3|=3-2x
    |4x-2|=2-4x
    |5x-8|=5x-8
    |3x-1|=3x-1
    |x+4|=2x
    |x-8|=-3x
    |2-x|=1-2x
    |x-2|=2x-3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь не решают домашнее задание, Вам не повезло.

    [Ответить]

  25. 27 Ника:

    Здравствуйте! Запуталась с неравенством: -1<|x^2-9|<27. Решаю как систему,но не выходит…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Поскольку модуль неотрицателен, то левую часть можно просто отбросить и решать неравенство |x^2-9|<27. Иначе говоря, получается равносильное неравенство -27<x^2-9<27.

    [Ответить]

  26. 28 Дима:

    Здравствуйте! Подскажите с чего начать
    (|x+2|-4)(|2x-1|-3)<=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте! Рассмотрите две системы неравенств. AB\le0\Leftrightarrow A\le0,B\ge0 или A\ge0,B\le0.

    [Ответить]

  27. 29 Пауэль:

    Во втором на первом интервале в системе получается -3+3=9 или я чего то не понимаю ???

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Во втором примере? Почему у Вас равенство? Не поняла.

    [Ответить]

  28. 30 Любовь:

    Добрый день, Елизавета Александровна. Мне пришлось заново разбираться в решении неравенств с модулем. Большое спасибо Вам за объяснение. Напишите, пожалуйста к примерам №3 и №4, которые Вы предложили решить. Хочу убедиться, что я их решила верно.)))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Любовь, Вы записали сначала двойное неравенство, а потом решили его методом интервалов? Если так, то все должно быть верно.

    [Ответить]

  29. 31 Любовь:

    Р.S. напишите, пожалуйста, ответы к №3 и№4

    [Ответить]

  30. 32 Любовь:

    Елизавета Андреевна, в примере №5 на одном из промежутков у меня получилось, что нер-тво не имеет решений. Подскажите,как быть дальше? Спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вообще-то я Александровна ;)
    Решения могут быть на других промежутках, только и всего. Если решений нет ни на одном из промежутков, то ответ – пустое множество :)

    [Ответить]

    Любовь Reply:

    Добрый день, Елизавета Александровна. Т.е. НА этот промежуток можно как-бы “закрыть глаза” и общий ответ – объеденение решений на остальных промежутках?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, Вы правы. Лишнее удалила :)

    [Ответить]

  31. 33 Любовь:

    Спасибо за консультацию. Несколько раз писала сообщение, а комп. выдавал ошибку отправления. Результат – несколько копий письма.((

    [Ответить]

  32. 34 Настя:

    Помогите пожалуйста решить: (х^2 – |х| – 12)/(x – 3)>2x

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение