Решение неравенств с модулем | Математика, которая мне нравится

11. Решение неравенств с модулем

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

|x^2-5x|<6.

Решение. Рассмотрим два случая: 1) $x^2-5x\ge0$ и 2) x^2-5x<0 .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l} x^2-5x\ge0,\\ x^2-5x<6 \end{array}\right.$

Преобразуя первое неравенство к виду $x(x-5)\ge0$ , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства $(-\infty;0]\cup[5;+\infty)$ .

Преобразуя второе неравенство (x+1)(x-6)<0 , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства (-1;6) . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть $(-1;0]\cup[5;6)$ .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

$\left\{\begin{array}{l} x^2-5x<0,\\ -(x^2-5x)<6. \end{array}\right.$

Решение первого неравенства (0;5) (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к (x-2)(x-3)>0 , его решение $(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$ (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть $(0;2)\cup(3;5)$ .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. $(-1;2)\cup(3;6)$ .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство -6<x^2-5x<6 , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

$|x-3|+|x+3|\le9.$

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При $x\ge3$ выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3\ge0\\x+3>0 \end{array}\right.$ , и неравенство имеет вид $2x\le9$ , то есть $x\le4.5$ . В этом случае ответ [3;4.5] .

2) При $-3\le x<3$ выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3\ge0 \end{array}\right.$ , неравенство имеет вид $-(x-3)+(x+3)\le9$ , то есть $6\le9$ . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве $-3\le x<3$ , получаем ответ во втором случае [-3;3) .

3) При x<-3 выполняется $\left\{\begin{array}{l} x-3<0\\x+3<0 \end{array}\right.$ , неравенство преобразуется к $-2x\le9$ , и решение в этом случае [-4.5;-3) . Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. [-4.5;4.5] .

Задачи. Решите неравенства:

1. |x|+|x+3| < 5 .

2. 1+x+|x^2-x-3| < 0 .

3. $\displaystyle\left|\frac{x^2-3x-1}{x^2+x+1}\right| < 3$ .

4. $\displaystyle \left|\frac{x+3}{x-27}\right| < 1$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 83

1 Студентка:

http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-33c4d9f04b8ab66bb96e7edd98e322a5.gif
неверный интервал!

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:06
2 Студентка:

во 2 примере под 2 скобкой должно быть х от -3 до 3

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:09
3 Елизавета Александровна Калинина:

Спасибо, исправила!

[Ответить]
10 Сентябрь 2011, 22:28
4 алёна:

x*3x*2x=152

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 10th, 2012 at 11:32
алёна, и где тут модуль?

[Ответить]
10 Сентябрь 2012, 9:21
5 Макс:

как решить:
|13-2x|>|4x-9|

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 13:19
Вы прочитали внимательно, что написано выше?

[Ответить]
Макс Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 19:47
да внимательно, я все равно не понимаю как и что)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 30th, 2012 at 21:34
Вы должны нанести корни выражений под модулями на числовую ось, получатся промежутки, в Вашем случае их будет три. Дальше следует на каждом из полученных промежутков раскрыть каждый модуль по определению: если под модулем неотрицательное число, то его модуль равен самому числу, если отрицаетельное, то противоположному числу. Теперь нужно решить три неравенства без модулей. Ну а потом найти пересечения с исходными промежутками в каждом из трех случаев – это и будет ответ (объединение трех ответов). Делайте по порядку. Если что-то не получается, задавайте конкретные вопросы.

[Ответить]
Алексей Reply:
Июнь 2nd, 2013 at 23:15
А если в каком – нибудь случае получится так, что нет решений ни при каких значениях x, а в остальных случаях решения есть?

[Ответить]
30 Сентябрь 2012, 12:27
6 Ульяна:

помогите решить:
|x^2-8|≤2x

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 1st, 2012 at 15:17
Ульяна, как решать Ваш пример, написано в примере 1.

[Ответить]
1 Октябрь 2012, 14:38
7 Лейб:

В третьем случае решенного примера 2 (там, где ) результатом должен быть полуоткрытый справа промежуток .
Правда, окончательный ответ остается прежним.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 1st, 2012 at 23:33
Спасибо! Исправила.

[Ответить]
1 Октябрь 2012, 22:09
8 Юлия:

|x-1|-|x|<=0
Как решиь такое…
Ничего в этом не понимаю.
Помогите пожалуйста!!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 13th, 2012 at 17:40
Юлия, а если переписать так: $|x-1|\le|x|$ и переформулировать – найти все такие , для которых расстояние от до не превосходит расстояния от до нуля (это по определению модуля)?

Стандартный алгоритм описан в примере 2.

[Ответить]
Любовь Reply:
Август 25th, 2014 at 18:57
Спасибо, Елизавета Андреевна, получилось решить это неравенство и стандартным способом.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 25th, 2014 at 22:10
Александровна

[Ответить]
13 Октябрь 2012, 16:34
9 Лейб:

Иногда такого типа неравенства (как в пункте 8 ) удобно решать, используя следующие два свойства:
.
1. .
То есть квадрат модуля числа равен квадрату самого числа.
.
2. если числа и неотрицательные, то
$x\leq y\Leftrightarrow x^2\leq y^2$ .
Грубо говоря, если обе части неравенства неотрицательны, то это неравенство можно “безболезненно” возводить в квадрат.
==========================================
Тогда неравенство
$|x-1|\leq |x|$
можно заменить таким:
$|x-1|^2\leq |x|^2$ .
А это неравенство, в свою очередь, таким:
$(x-1)^2\leq x^2$ .
Отсюда:
$x^2-2x+1\leq x^2$ .
Следовательно, $x\geq0.5$ .

[Ответить]
13 Октябрь 2012, 22:55
10 Кирилл:

спасибо!)

[Ответить]
21 Октябрь 2012, 18:04
11 Владимир:

Объясните, откуда взялось такое определение модуля |f(x)|=-f(x) ?
Это определение в принципе противоречит смыслу модуля. Как из под модуля можно
получить отрицательное число?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 5th, 2012 at 18:06
Владимир, это не определение. Это равенство справедливо только для отрицательных . Например, , а — число неотрицательное.

[Ответить]
5 Декабрь 2012, 17:25
12 Владимир:

Спасибо, понятно.

[Ответить]
5 Декабрь 2012, 20:56
13 антон:

Решить неравенство
|x-1|-|x|+|2x+3|>2x+4

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 24th, 2012 at 22:21
Пример 2, только промежутков будет больше.

[Ответить]
24 Декабрь 2012, 21:24
14 Юрий:

В образцах задач ЕГЭ попалось такое неравенство:
|x+1| + 2|x+а| ≥ 3-2x
Ставит в тупик задание – “при каких значениях а неравенство справедливо всегда?”
Намекните пожалуйста – как подступиться. Как раскрывать |x+а|?…
Спасибо!

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 7th, 2013 at 19:11
Юрий, я бы решала графически. Преобразовать $2|x+a|\ge 3-2x-|x+1|$ , а дальше график правой части () и сравнивать при различных с графиком левой части (). Второй при всех должен быть не ниже первого.

Если же раскрывать модули, то при $x\ge-a$ и при . Дальше нужно рассматривать все возможные случаи расположения (когда получаются разные ответы). Так сложнее.

[Ответить]
7 Январь 2013, 15:32
15 Егор:

помогите пожалуйста с решением
|x-1|≤4,2

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 8th, 2013 at 21:46
Геометрически – это расстояние между точками и .

[Ответить]
8 Январь 2013, 20:03
16 Зара:

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 15th, 2013 at 16:22
Зара, ничего не видно.

[Ответить]
15 Январь 2013, 15:14
17 бабушка Наталья:

Добрый день Елизавета Александровна!
Внучке на первом курсе гуманитарного факультета дали задание – построить линию |x|-4y=x+|4y-y кв.|
Последний у в квадрате. Я сама программист в прошлом, но даже не знаю какой первый шаг сделать. Это же функция в неявной форме, да еще с модулями.Подскажите пожалуйста.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 6th, 2013 at 12:37
Добрый день!
Посмотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/12-geometricheskoe-mesto-tochek-ploskosti/
Там приведен общий алгоритм. Если что-то непонятно, спрашивайте.

[Ответить]
6 Февраль 2013, 11:45
18 muhtar:

как решить неравенство 6х*-х-7<0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 23rd, 2013 at 19:39
После звездочки точно ничего нет?

[Ответить]
23 Апрель 2013, 10:54
19 Alex:

|x^2+2x|<или равно х. ^-означает "в квадрате"

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 11th, 2013 at 22:21
Пример 1.

[Ответить]
11 Июнь 2013, 16:26
20 Влад:

Добрый день, можно ли это изучить в кротчайшие сроки ? если да то с чего начать ?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 11th, 2013 at 21:21
Влад, изучите решение уравнений с модулем, а потом уже читайте о неравенствах.

[Ответить]
11 Сентябрь 2013, 20:18
21 Михаил:

как решить |5+|3x-4||<=7

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 16th, 2013 at 22:52
$-7\le 5+|3x-4|\le 7$ , а дальше решаем два обычных неравенства с модулем, можно так же.

[Ответить]
16 Октябрь 2013, 21:23
22 женище:

очень интересный пример, 3аставила меня 3адуматься об отчислении, но и3учив предоставленный материал я решила что есть на свете люди тупее меня

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 21st, 2013 at 21:34
???

[Ответить]
21 Октябрь 2013, 20:00
23 Лера:

помогите, пожалуйста, решить:
|x+12|*(x+12)≤49

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 3rd, 2013 at 22:30
Лера, рассмотрите два случая: $x\ge -12$ и .

[Ответить]
Лера Reply:
Ноябрь 5th, 2013 at 19:16
спасибо!

[Ответить]
3 Ноябрь 2013, 21:20
24 Ольга:

здравствуйте! подскажите, как решить:
|(x^2-x)7|>-|x^3-3x^2+3x-1|

[Ответить]
Ольга Reply:
Ноябрь 12th, 2013 at 20:19
(/7 в первом модуле)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 12th, 2013 at 23:09
Разложите на множители выражения под модулем. Далее просто исключите те , для которых слева и справа модули обращаются в нуль. В других случаях знак всегда будет “больше”. Подумайте, почему. Удачи!

[Ответить]
12 Ноябрь 2013, 20:18
25 Ольга:

Помогите, пожалуйста! Я запуталась!
Нужно ли находить ОДЗ?
И как его решить!Благодарю)
2│x-3│-│x+1│+│4-3x│<6

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 19th, 2013 at 17:52
Ольга, ОДЗ – область допустимых значений. Разве здесь есть какие-нибудь ограничения на ? Из условия задачи не следует, что какие-то значения принимать не может. Следовательно, ОДЗ – все множество вещественных чисел.

Решать нужно, разбивая всю числовую ось на промежутки, границы которых – корни выражений под знаками модулей, раскрывая модули на каждом таком промежутке. Смотрите пример 2.

[Ответить]
19 Ноябрь 2013, 15:03
26 Алекс:

Как решить следующие примеры:
|3x+7|=4|x|
|x2-2x|=|4-2x|
|x-4|=|x2-4x|
|x2-4|=-|x2-x-2|
|x-3|=-|x2-4x+3|
|x2+2x-3|+|x2+7x+12|=0
|x2-3x-10|+|2×2-9x-5|=0
|2x-3|=3-2x
|4x-2|=2-4x
|5x-8|=5x-8
|3x-1|=3x-1
|x+4|=2x
|x-8|=-3x
|2-x|=1-2x
|x-2|=2x-3

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 10th, 2014 at 21:01
Здесь не решают домашнее задание, Вам не повезло.

[Ответить]
10 Январь 2014, 13:32
27 Ника:

Здравствуйте! Запуталась с неравенством: -1<|x^2-9|<27. Решаю как систему,но не выходит…

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 8th, 2014 at 20:56
Поскольку модуль неотрицателен, то левую часть можно просто отбросить и решать неравенство . Иначе говоря, получается равносильное неравенство .

[Ответить]
8 Май 2014, 13:32
28 Дима:

Здравствуйте! Подскажите с чего начать
(|x+2|-4)(|2x-1|-3)<=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 12th, 2014 at 19:14
Здравствуйте! Рассмотрите две системы неравенств. $AB\le0\Leftrightarrow A\le0,B\ge0$ или $A\ge0,B\le0$ .

[Ответить]
12 Май 2014, 17:47
29 Пауэль:

Во втором на первом интервале в системе получается -3+3=9 или я чего то не понимаю ???

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 17th, 2014 at 23:26
Во втором примере? Почему у Вас равенство? Не поняла.

[Ответить]
17 Май 2014, 13:45
30 Любовь:

Добрый день, Елизавета Александровна. Мне пришлось заново разбираться в решении неравенств с модулем. Большое спасибо Вам за объяснение. Напишите, пожалуйста к примерам №3 и №4, которые Вы предложили решить. Хочу убедиться, что я их решила верно.)))

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 25th, 2014 at 22:11
Любовь, Вы записали сначала двойное неравенство, а потом решили его методом интервалов? Если так, то все должно быть верно.

[Ответить]
25 Август 2014, 18:31
31 Любовь:

Р.S. напишите, пожалуйста, ответы к №3 и№4

[Ответить]
25 Август 2014, 18:34
32 Любовь:

Елизавета Андреевна, в примере №5 на одном из промежутков у меня получилось, что нер-тво не имеет решений. Подскажите,как быть дальше? Спасибо.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2014 at 12:07
Вообще-то я Александровна
Решения могут быть на других промежутках, только и всего. Если решений нет ни на одном из промежутков, то ответ – пустое множество

[Ответить]
Любовь Reply:
Август 26th, 2014 at 16:11
Добрый день, Елизавета Александровна. Т.е. НА этот промежуток можно как-бы “закрыть глаза” и общий ответ – объеденение решений на остальных промежутках?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2014 at 17:18
Да, Вы правы. Лишнее удалила

[Ответить]
25 Август 2014, 23:44
33 Любовь:

Спасибо за консультацию. Несколько раз писала сообщение, а комп. выдавал ошибку отправления. Результат – несколько копий письма.((

[Ответить]
26 Август 2014, 19:26
34 Настя:

Помогите пожалуйста решить: (х^2 – |х| – 12)/(x – 3)>2x

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 20th, 2015 at 20:44
$x\ge0$ и

[Ответить]
7 Сентябрь 2014, 9:04
35 Анастасия:

А если в неравенстве модуль вычитается из числа, как его решить? Как пример: 16-|3x-6|>0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 20th, 2015 at 20:43
Решайте точно так же, как если бы модуль прибавлялся, разницы никакой нет. Алгоритм работает. Со знаками только не напутайте, когда будете модуль раскрывать, учитывайте минус перед модулем.

[Ответить]
20 Май 2015, 11:44
36 нелли:

Помогите, пожалуйста!!!решите неравенство х+9 по модулю*(х+9)=9 ОЧЕНЬ НУЖНО!Заранее искренне благодарна))))))

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 7th, 2015 at 21:39
Это у Вас уравнение, которое сводится к уравнению при $x\ge-9$ , легко решаемому.

[Ответить]
нелли Reply:
Июль 7th, 2015 at 23:46
спасибо большое, а что если первое выражение отличается от второго?модуль х+2*(х+7)=50?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 8th, 2015 at 22:11
Тогда раскрываете модуль, два промежутка: при $x\ge -2$ решаете уравнение , а при — уравнение . Посмотрите решение уравнений с модулем, там все подробно написано и примеры есть

[Ответить]
7 Июль 2015, 20:34
37 Студентка:

||x-2|+7|>|x-5| помогите решить,пожалуйста

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 11th, 2015 at 22:49
Посмотрите пример 4 здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/10-reshenie-uravnenij-s-modulem/comment-page-7/#comment-14255, потом почитайте, как решать неравенства.

[Ответить]
10 Сентябрь 2015, 17:05
38 Natochka:

Помогите,пожалуйста,решить неравенство!)))
|X|-|x-1|>0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 28th, 2015 at 11:42
А Вы читали, что в начале этой страницы написано?

[Ответить]
21 Сентябрь 2015, 21:49
39 анна:

Как понять где какой знак?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 16th, 2015 at 15:30
Если выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то модуль его равен ему самому. Если выражение, стоящее под знаком модуля неположительно, то модуль его равен ему со знаком “минус”. Это определение модуля.

[Ответить]
14 Декабрь 2015, 22:19
40 Лола:

Здравствуйте, помогите, пожалуйста с уравнением, не знаю как модули раскрыть
|log3x|<|log3x/9|

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 27th, 2016 at 22:57
Это у Вас логарифм по основанию 3 или что-то другое?

[Ответить]
24 Январь 2016, 13:24