10. Решение уравнений с модулем

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

|x+3|=2x-3.

Решение. Рассмотрим первый случай x+3\ge0, то есть x\ge-3 (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид x+3=2x-3, его решение x=6. Это решение удовлетворяет условию x\ge-3. Таким образом, 6 — корень исходного уравнения.

Во втором случае x+3<0, то есть x<-3. В этом случае уравнение преобразуется к виду -x-3=2x-3, его решение x=0. Этот корень не удовлетворяет условию x<-3, таким образом, 0 не является корнем исходного уравнения.

Ответ. \{6\}.

Пример 2. Решить уравнение

|x^2-2x-4|=3x-2.

Решение. Сначала найдем корни уравнения x^2-2x-4=0. Это 1\pm\sqrt{5}. Следовательно, условие x^2-2x-4\ge0 выполняется при x\le1-\sqrt{5} и при x\ge1+\sqrt{5}, а условие x^2-2x-4<0 — при 1-\sqrt{5}<1+\sqrt{5}. Рассмотрим два случая:

1) x\in\left(-\infty;1-\sqrt{5}\right]\cup\left[1+\sqrt{5};+\infty\right).

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид x^2-2x-4=3x-2.

Его корни \displaystyle x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}. Из них только \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} попадает под наш случай. Докажем это:

\begin{array}{c}<br />
\displaystyle 1-\sqrt{5}<\frac{5-\sqrt{33}}{2}<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow\\[2mm]<br />
\Leftrightarrow2-2\sqrt{5}<5-\sqrt{33}<2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow-3-2\sqrt{5}<-\sqrt{33}<-3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow\\<br />
\Leftrightarrow3+2\sqrt{5}>\sqrt{33}>3-2\sqrt{5}.<br />
\end{array}

Так как \sqrt{5}>2, то 3-2\sqrt{5}<0, и, действительно, \sqrt{33}>0>3-2\sqrt{5}. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

\sqrt{33}<3+2\sqrt{5}\Leftrightarrow33<9+12\sqrt{5}+20.

Так как 12\sqrt{5}>4, последнее неравенство также выполняется, и корень \displaystyle\frac{5-\sqrt{33}}{2} — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

1+\sqrt{5}<\frac{5+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow2+2\sqrt{5}<5+\sqrt{33}\Leftrightarrow 2\sqrt{5}<3+\sqrt{33}\Leftrightarrow

20<9+6\sqrt{33}+33 следует, что \displaystyle\frac{5+\sqrt{33}}{2} является корнем уравнения.

2) x\in\left(1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\right).

В этом случае x^2-2x-4<0, и от исходного уравнения мы переходим к уравнению -x^2+2x+4=3x-2. Решения этого уравнения: -3 и 2. Из них только число 2 попадает на указанный промежуток:

\begin{array}{c}<br />
0<2<1+\sqrt{5}\Leftrightarrow1<\sqrt{5},\\<br />
-3<1-\sqrt{5}\Leftrightarrow3>-1+\sqrt{5}\Leftrightarrow4>\sqrt{5},<br />
\end{array}

корень -3 — посторонний.

Ответ. \displaystyle\left\{2;\frac{5+\sqrt{33}}{2}\right\}.

Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

[x^2-2x-4=(3x-2); 3x-2\ge0] и [x^2-2x-4=-(3x-2); 3x-2\ge0].

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом 2/3, что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

|x-1|+|x-2|=x+3.

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — 1 и 2. Числовая ось разбивается точками 1 и 2 на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) x\ge2. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду x-1+x-2=x+3. Решение этого уравнения x=6. Этот корень попадает на промежуток [2,+\infty) и поэтому является решением исходного уравнения.

2) 1\le x<2. Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду x-1+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=-2. Поскольку -2 не попадает на рассматриваемый промежуток [1,2), то этот корень --- посторонний.

3) x<1. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду 1-x+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=0. Этот корень принадлежит промежутку (-\infty,1) и является решением исходного уравнения.

Ответ. \{0;6\}.

Пример 4. Решить уравнение

||x+3|+x|=1.

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) x\ge-3 и 2) x<-3.

1) В этом случае |x+3|=x+3, и исходное уравнение преобразуется к виду |2x+3|=1. Решая это уравнение, получаем корни -2 и -1.

2) При x<-3 раскрываем внутренний модуль: |x+3|=-x-3. Получаем уравнение |-3|=1, которое решений не имеет.

Ответ. \{-2;-1\}.

Пример 5. Решить уравнение

|x-3|+|x+3|=6.

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: |x-3| --- это расстояние между точкой x и точкой 3, |x+3| --- расстояние между точкой x и точкой -3. Таким образом, |x-3|+|x+3| --- это сумма расстояний от точки x до точек -3 и 3. Поскольку расстояние между точками -3 и 3 равно 6, то любая точка x, лежащая на числовой оси между точками -3 и 3, удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка [-3;3], удовлетворяющих условию, не существует, поскольку
сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше 6.

Ответ. [-3;3].

Задачи. Решите уравнения:

1. |x+8|+|x-8|=16.

2. |x^2-3x|+x=2.

3. \displaystyle\frac{x+1}{|x-1|}-5\frac{|x-1|}{x+1}+4=0.

4. ||x+2|+x|=1.

Комментариев: 581

  1. 1 Аня:

    |2|x – 1| – 3| = 5

    [Ответить]

    Anna2000 Reply:

    |2|x-1|-3|=5
    2|x-1|-3=5 Или 2|x-1|-3=-5
    2|x-1|=8. 2|x-1|=-2 = {o/}
    |x-1|=4
    x-1=4. или x-1=-4
    X1=5. X2=-3

    [Ответить]

  2. 2 павел:

    |x|+10=0

    [Ответить]

    арслон Reply:

    X1=10
    X2=-10
    решение:
    1ый вариант: х+10=0; х=-10
    2ой вариант: -х+10=0; -x=-10(умножим на -1 и минусы уйдут и получится x=10

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Модуль числа неотрицателен. Решений нет.

    [Ответить]

  3. 3 Елизавета Александровна Калинина:

    Не поняла, Вы спрашиваете, как решать, или просто задания предлагаете? :)

    [Ответить]

  4. 4 алина:

    а как решить -x=|-23|

    [Ответить]

    Ками Reply:

    решение не имеет!потому что любое число под модуле будет положительным!а у нас х отрицательный!значит решение не имеет или пустое множество

    [Ответить]

    Ками Reply:

    я так думаю

    [Ответить]

    Амина Reply:

    корней нет, так как модуль не может быть отрицательным

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Проверьте -23 :)

    [Ответить]

    Элеонора Reply:

    Вообще -то получается -23
    Модуль отрицательного числа = положительному числу, так что -х может быть = |-23|
    А вот если бы |х| = -23, тогда уравнение не имеет корней.
    Лошки )

    [Ответить]

    лёшка Reply:

    -x=|-23|
    -x=23 (-1*x=23)
    x=-23

    [Ответить]

    аня Reply:

    Помогите, пожалуйста, понять ход действий и решить.болею,поэтому учу сама,не понимаю.распишите подробно

    |||x|-3|-5|=2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    По определению модуля раскрываем внешний модуль: ||x|-3|-5=\pm2, получаем два уравнения ||x|-3|=3 и ||x|-3|=7, дальше с каждым из этих уравнений делаем то же самое. Скажем, для первого уравнения |x|-3=\pm3 и |x|=0, т.е. x=0 или |x|=6, т.е. x=\pm6. Со вторым уравнением нужно поступить точно так же. Нужно просто пользоваться определением модуля, и все. Выздоравливайте! :-)

    [Ответить]

    Катя Reply:

    при таком раскрытии внешних модулей, получается тут слишком много корней…
    нет другого решения, более легкого?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы считаете, что можно не все решения находить? :-)

    [Ответить]

  5. 7 Елизавета Александровна Калинина:

    |x-2|=4, значит, x-2=4 или x-2=-4, откуда x=6 или x=-2.

    [Ответить]

    лёшка Reply:

    |x-2|=4, значит, x-2=4 или x-2=-4, откуда x=6 или x=-2.

    x-2=4 x-2=-4
    x=4+2 x=2-4
    x=6 x=-2

    [Ответить]

  6. 9 АннА:

    2 в степени|x| <0,125 в степени -1
    помогите пожалуйста с решением.

    [Ответить]

  7. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Первое: x-14=\pm 3, откуда x=17 или x=11.

    Второе: 2^{|x|}<2^3, откуда x\in(-3,3).

    [Ответить]

    Батыр Reply:

    X=3+14
    X=17
    X=-3+14
    X=11

    [Ответить]

  8. 11 АннА:

    log3(x/2+2)
    _________________ меньше или равно 0
    log3 log1/3 1/7
    наименьшее целое число

    [Ответить]

  9. 12 АннА:

    наименьшее по модулю отрицательное решение уравнения 1-sin2x=4(cosx-sinx)

    [Ответить]

  10. 13 Елизавета Александровна Калинина:

    Ну, знаете… Может, мне за Вас еще и в вуз поступить? ;)

    [Ответить]

  11. 14 ДаШа:

    Решите пожалуйста уравнение: |||x-5|-5|-5|=5.

    [Ответить]

  12. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    Раскрываем первый модуль: ||x-5|-5|-5=\pm5, откуда ||x-5|-5|=10 или ||x-5|-5|=0. Дальше делаем то же самое.

    [Ответить]

  13. 16 Антон:

    1-sin2x=4(cosx-sinx) – не имеет решения, кажется.

    [Ответить]

  14. 17 Елизавета Александровна Калинина:

    Антон, там есть решение. 1=\sin^2x+\cos^2x и левая часть — квадрат разности с учетом того, что \sin2x=2\sin x\cos x. Дальше появляется общий множитель \cos x-\sin x.

    [Ответить]

  15. 18 Мария:

    Решите пожалуйста
    |х^2-5х|=4|х|; и вот это:
    |х-5|+4|х|=17
    не могу понять как вот модуль х расписать с учетом квадратного уравнения в первом случае,и линейного во втором.

    [Ответить]

  16. 19 Елизавета Александровна Калинина:

    Мария, как решать первое уравнение, разобрано в примере 2. Только появится еще один промежуток из-за второго модуля. Поэтому решайте сначала второе уравнение. Как это сделать, подробно написано в примере 3. Это точно такое же задание.

    [Ответить]

  17. 20 улдан:

    |х|<5

    [Ответить]

  18. 22 Дарья:

    Елизавета, спасибо вам огромное)наконец разобралась с модулем)
    -
    но в Примере 3
    x-1+x-2=x+3
    x=6)

    [Ответить]

  19. 24 Галина:

    Добрый день, Елизавета! Скажите как правильно прочитать |p-12|<10 или просто |p-12|?

    [Ответить]

  20. 25 Елизавета Александровна Калинина:

    Галина, добрый день! Если честно, я не поняла Вашего вопроса (

    [Ответить]

  21. 26 MoRRo:

    нужно вывести из модуля такое значение [0,7 - 0,05]

    [Ответить]

  22. 27 Галина:

    Например, Вы пишите на доске |p-12|<10. Написали. А как это прочитать? Как читаются выражения (любые)под знаком модуля? |12| – это модуль 12-ти. А |p-12|? Модуль p минус 12? Для меня это звучит как |p|-12.

    [Ответить]

    Корнеев В. Ф. Reply:

    “p-12 по модулю” или “p-12 по абсолютной величине”.

    [Ответить]

  23. 28 Елизавета Александровна Калинина:

    Галина, да, тут есть определенная неточность. И |p-12|, и |p|-12 читается именно так, как Вы написали: модуль p минус 12. На слух тяжело отличить. Если есть сомнения, лучше уточнять. Или внимательно смотреть, что написано. Да, вот о |p|-12 можно сказать “от модуля p отнимаем 12”, но, как правило, все-таки так не говорят.

    [Ответить]

  24. 29 Галина:

    Большое спасибо

    [Ответить]

  25. 30 Евгений:

    а как решить |x|+2|y|=2

    [Ответить]

  26. 32 Nynko:

    Уважаемая Елизавета Александровна. Уравнение следует решать рационально. Ваш способ решения Примера 2 крайне неудачен! Вы теряете массу времени на решение неравенства x^2-2x-4>0.
    Еще больше времени уходит на сравнение иррациональных чисел. Всего этого можно избежать, если решить эквивалентную совокупность систем :
    [x^2-2x-4=(3x-2); 3x-2>=0] и [x^2-2x-4=-(3x-2); 3x-2>=0]. Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом 2/3, что намного проще. А вот если бы внутри модуля стояло выражение более простое, чем в правой части, тогда Ваш прием был бы кстати.

    [Ответить]

  27. 33 Елизавета Александровна Калинина:

    Спорить не буду. В данном случае то, что Вы предлагаете, проще.

    [Ответить]

    марина Reply:

    Пожалуйста, объясните как это решить: -!х!=-9,2 и !-х!=-0,4(!-это модуль)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Первое иначе: |x|=9,2. Модуль какого числа это может быть? Для положительных x это 9,2, для отрицательных x это -9,2.
    Второе: модуль может быть отрицательным? :)

    [Ответить]

  28. 34 Дианка-солнешко:):

    ||х|-3|=3

    Пожалуйста,помогите,это очень важно!!!

    [Ответить]

  29. 35 Елизавета Александровна Калинина:

    |x|-3=\pm3, откуда |x|=6 или |x|=0. Дальше сами справитесь :)

    [Ответить]

  30. 36 Ольга:

    |18+2x|=3|-x-6|-x помогите решить пожалуйста!!совсем не понимаю((

    [Ответить]

  31. 37 Елизавета Александровна Калинина:

    Ольга, Вы хотите научиться решать такие задачи? Тогда еще раз внимательно прочитайте, что нужно делать. Пример 3 точно такой же, как Ваш. Нужно найти корни выражений под знаком модуля, разбить числовую ось на промежутки и искать решение на каждом промежутке, правильным образом раскрывая на нем модули. Это все. Вам нужно всего лишь один раз в этом разобраться, дальше проблем не будет. Просто мое решение Вашего примера Вам не поможет, потому что перед Вами есть решение точно такого же. Спрашивайте, если что-то непонятно конкретно.

    [Ответить]

  32. 38 Ольга:

    Просто я пыталась решить поэтапно и у меня получилось что на промежутке x>=-6 в одной скобке положительно,в другой отриц.,и также на промежутке (-9;-6)а такого кажется быть не может.и там получается 0*x=0

    [Ответить]

  33. 39 Елизавета Александровна Калинина:

    Давайте тогда рассмотрим промежуток x\ge-6. На нем |18+2x|=18+2x, а |-x-6|=x+6, верно? Тогда получается уравнение 18+2x=3x+18-x, т.е. 18=18 — верное равенство. А это значит, что подходит любое число из промежутка x\ge-6.

    [Ответить]

  34. 40 Антон:

    |x-6|+|x-3|=3,
    |x=3|-|x-1|-3|x|-x+2

    [Ответить]

  35. 41 Елизавета Александровна Калинина:

    Антон, еще раз внимательно прочитайте то, что написано выше. Ваш первый пример решается как пример 3.

    [Ответить]

  36. 42 Никита:

    |x^2-12|= -4x, подскажите пожалуйста ответы будут 2 и -2?

    [Ответить]

  37. 43 Елизавета Александровна Калинина:

    Никита, у меня получилось -6 и -2, 2 не подходит. Из условия сразу следует, что x\le0, поскольку модуль неотрицателен.

    [Ответить]

  38. 44 Ася:

    большое спасибо, наконец-то хоть что-то поняла. не могли бы вы помочь с умножением модулей?
    |x-1||x+2|=|x+1||x-2|
    мои ответы – 0; √2/2 и -√2/2. в учебнике другие – 0, 2 и -2. не могу понять, что неправильно сделала.

    [Ответить]

  39. 45 Вася:

    |||5x-1|-2|-3|=4
    помогите решить, позязя

    [Ответить]

  40. 46 Елизавета Александровна Калинина:

    Ася, Вы можете раскрывать каждый из модулей на пяти промежутках. Ответы и те, и другие неверные. Должно быть 0,\pm\sqrt{2}. Скорее всего, Вы где-то ошиблись в знаках.

    [Ответить]

  41. 47 Елизавета Александровна Калинина:

    Вася, сначала раскройте первый модуль: ||5x-1|-2|-3=\pm4. Получите два уравнения. Дальше точно так же раскрывайте последовательно остальные модули.

    [Ответить]

  42. 48 Вася:

    Елизавета Александровна, и будет 4 уравнения
    |5x-1|=9 |5x-1|=-5 |5x-1|=1 |5x-1|=3 так?
    И каждое решить по отдельности?

    [Ответить]

  43. 49 Елизавета Александровна Калинина:

    Вася, да, почти так, только учтите, что модуль не может быть равен отрицательному числу. Так что уравнений будет меньше :)

    [Ответить]

  44. 50 Вася:

    дальше не знаю как решать

    [Ответить]

  45. 51 Елизавета Александровна Калинина:

    Например, у Вас получилось |5x-1|=9, опять раскрываете модуль: 5x-1=9 или 5x-1=-9, отсюда x=2 или x=-8/5. Остальные уравнения так же.

    [Ответить]

  46. 52 Катя:

    |14 – 6^х| = 22

    [Ответить]

  47. 54 Настя:

    |-0,63| : |x| = |-0,91|
    Найдите два корня, пожалуйста

    [Ответить]

  48. 56 Настя:

    Спасибо

    [Ответить]

  49. 57 Нина:

    Х+0.4Х * 3 : 2 =48 Напишите решение пожалуйста)

    [Ответить]

  50. 58 Нина и Настя:

    ну или просто ответ

    [Ответить]

  51. 60 аня:

    Напишите пожалуйста решение вот этого уравнения без модуля, 0.5 * (х-3)= 0.6 * (4+х)-2.6

    [Ответить]

  52. 61 Елизавета Александровна Калинина:

    Вы скобки раскрывать умеете: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c? Здесь этим нужно воспользоваться.

    [Ответить]

  53. 62 Никита:

    |x^2 – 4| – |x^2 – 9| = 5
    Заранее спасибо! Интерес ход решения, а не грубый ответ ;-)

    [Ответить]

  54. 63 Елизавета Александровна Калинина:

    Никита, делите вещественную ось на промежутки: (-\infty,-3];(-3,-2];(-2,2];(2;+\infty) (границы — корни выражений под знаками модулей), затем раскрываете модули на каждом промежутке и отбираете решения, которые в нужный промежуток попадают. Алгоритм стандартный.

    [Ответить]

  55. 64 Лера:

    Помогите решить, пожалуйста! (0,5x – 3)(|x| -2) = 0

    [Ответить]

  56. 65 Елизавета Александровна Калинина:

    Лера, приравняйте каждый из множителей к нулю, решите два полученных уравнения.

    [Ответить]

  57. 66 Ярослав:

    |x-3|=|x+2|
    Елизавета Александровна,помогите решить уравнение.
    Буду очень благодарен;)

    [Ответить]

  58. 67 Лена:

    Можете пожалуйста объяснить как расставлять промежутки, где входит число в промежуток , где нет
    у меня ур-ие:|x+7|-|x-2|+|x-5|=6

    [Ответить]

  59. 68 Елизавета Александровна Калинина:

    Ярослав, здесь проще всего все возвести в квадрат: (x-3)^2=(x+2)^2, откуда -6x+9=4x+4, дальше находите корень. Это все.

    [Ответить]

    Марат Reply:

    эээ,не так надо а вот так X в квадрате – 6X – 9 = x в квадрате + 4x +4 ,вот дальше так

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы уверены? Формулу квадрата разности точно написали???

    [Ответить]

  60. 69 Лена:

    x<-7, -7≤x<2, 2≤x<5, x≥5
    так?

    [Ответить]

  61. 70 Елизавета Александровна Калинина:

    Лена, границы промежутков — корни выражений под знаком модуля. В Вашем случае это -7,2 и 5. Число является границей двух промежутков. В один из них оно входит, а в другой — нет. Вы можете для определенности считать, что у каждого промежутка левая граница входит, а правая не входит в него (кроме бесконечных границ, там все понятно, они не входят в промежуток никогда). Опять же для Вашего примера, промежутки можно взять такими: (-\infty,-7),[-7,2),[2,5) и [5,\infty). Посмотрите сами, на каждой границе значение какого-то модуля равно нулю.

    [Ответить]

  62. 71 Лена:

    Большое спасибо)

    [Ответить]

  63. 72 Лена:

    Можете проверить?
    Вот уравнение
    |x+7|-|x-2|+|x-5|=6
    ответ получился 4 и 6
    Правильно?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы можете проверить сами. Смотрите, подставляем 4:
    |4+7|-|4-2|+|4-5|=11-2+1=10, 6 тоже не подходит. Вы минус учли перед вторым модулем? Давайте посмотрим, что будет при x\in(-\infty,-7).

    -(x+7)-(-(x-2))+(-(x-5))=6,
    -x-7-2+x+5-x=6,
    x=-10.
    Это решение, так как -10<-7.

    [Ответить]

  64. 73 Лена:

    Спасибо,да я забыла про минус)

    [Ответить]

  65. 74 Алексей:

    Как решить- |||x+3|-3|=3

    [Ответить]

    Павел Reply:

    В примере 2 у вас опечатка:

    вместо (-2) следует написать (-3)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Павел, не нашла, где. По-моему, все верно…

    [Ответить]

  66. 75 Ярослав:

    Спасибо)

    [Ответить]

  67. 76 Елизавета Александровна Калинина:

    2Алексей
    |x+3|=\pm3+3. Дальше еще раз так же.

    [Ответить]

  68. 77 Рита:

    (6*x-x^2-5)/(8-7*x-x^2) = 1
    решите пожалуйста

    [Ответить]

  69. 78 ксюша:

    5*x^2-4*модуль(x-2)-14 = 0

    [Ответить]

  70. 79 ксюша:

    5*x^2-4*|x-2|-14 = 0
    вот так будет понятнее)

    [Ответить]

  71. 80 Елизавета Александровна Калинина:

    Я писала текст, который выше, для тех, кто хочет сам научиться решать. Я не ставила себе целью решать за всех школьников домашнее задание по математике. Ну же, немного напрягитесь и попытайтесь понять, что там написано ;)

    [Ответить]

  72. 81 Никита:

    Елизавета Александровна Калинина

    Благодарю Вас !

    [Ответить]

  73. 82 Никита:

    y=2-7|x^2+9x+20| традиционная форма по алгебре 9 класс

    [Ответить]

  74. 84 дарья:

    (х-3.25)*3.6=1.62 (помогите решить)

    [Ответить]

  75. 85 Елизавета Александровна Калинина:

    А с чем тут может быть сложность? И модуля нет. Скобки раскройте :)

    [Ответить]

  76. 86 евгений:

    Решение уравнений вида f(|x|) =a

    [Ответить]

  77. 88 евгений:

    10 класс, задали перечислить способы решения и привести не менее трёх примеров. уравнений вида f(|x|) =a. Не могу найти информацию.

    [Ответить]

  78. 89 Елизавета Александровна Калинина:

    Ну, например, решаем уравнение f(y)=a (замена y=|x|). Для полученных решений делаем обратную замену. Второй способ – графический. Это по ссылке, как графики строить. Только это не самый хороший способ для точного решения. Честно говоря, что там еще можно придумать, да и стоит ли, непонятно. Примеры могут быть любые. Скажем, можно взять уравнение, которое умеете решать, и вместо x написать |x|, потом его решить.

    [Ответить]

  79. 90 Сергей:

    Елизавета Александровна, Здравствуйте! Из задач, что вы предлагаете во 2-ом примере у меня получилось 1-sqrt{3} в 3-ем – первый корень (-3-sqrt{7})/4, второй (-3+sqrt{7})/4. хотелось бы узнать верно ли я их сделал. Заранее спасибо.

    [Ответить]

  80. 91 Даша:

    Помогите пожалуйста решить уравнение
    |3x-2|=|2x+5| и |2х-8|+|2х+8|=0

    [Ответить]

  81. 92 Елизавета Александровна Калинина:

    Сергей, во втором примере есть еще решение x=2-\sqrt{2} (это на промежутке [0;3). В третьем примере через замену решали? \displaystyle t=\frac{x+1}{|x-1|}? У меня другой ответ x=0.

    [Ответить]

  82. 93 Елизавета Александровна Калинина:

    Даша, чтобы решить первое уравнение, изучите пример 3. Для решения второго прочитатйте еще раз определение модуля. Он может быть отрицательным? Если Вы знаете ответ на этот вопрос, то сразу получите решение.

    [Ответить]

  83. 94 Даша:

    Елизавета Александровна, дело в том что я училась в 7 классе и подходила с этими уравнениями к учительнице,а она отказалась оъяснять ссылаясь что это уравнение 11х классов.Если Вам не сложно то объясните пожалуйста!

    [Ответить]

  84. 95 Елизавета Александровна Калинина:

    Даша, я поняла. Первое уравнение тоже можно решить проще, чем в примере 3. Смотрите, в нем равны модули двух чисел. Эти модули равны либо когда числа равны, либо когда одно число противоположно по знаку второму. Например, |5|=5,|-5|=5. Следовательно, возможны два варианта: 3x-2=2x+5 или 3x-2=-2x-5. Из первого равенства получаем x=7, из второго — x=-3/5. Это и есть ответы. Второе уравнение можно переписать так: |2x-8|=-|2x+8|. Стоящее слева число неотрицательно (модуль всегда больше либо равен нулю), а стоящее справа — неположительно. Они могут быть равны только в том случае, когда оба равны нулю. Отсюда 2x-8=0,2x+8=0 одновременно, и решений нет. Это все. Это не 11 класс, нет. Если Вы уже знаете определение модуля, то Вы можете это решить, ничего больше тут не нужно. Удачи!

    [Ответить]

  85. 96 Даша:

    Спасибо Вам за помощь

    [Ответить]

  86. 97 Сергей:

    Спасибо, у меня всё получилось. Нет, в третьем примере замену без вашей помощи я не увидел. Буду узнавать. Дай Бог вам здоровья! :)

    [Ответить]

  87. 98 KAMAL:

    помогите пожалуйста как решат LOG3(X+4)=3

    [Ответить]

    Сатеник Reply:

    3=LOG27по основанию3
    LOG3(x+4)=LOG27по основанию3
    x+4=27
    x=23
    Вот и все =)

    [Ответить]

  88. 99 KAMAL:

    почему не кто не отвечает? пожалуйста помогите мне очень важно??? log3(x+4)=3

    [Ответить]

  89. 100 Елизавета Александровна Калинина:

    Понятно. ЕГЭ? Но тут нет модуля :)

    [Ответить]

  90. 101 Vlad aus Engelsstadt:

    ))
    Вася:
    |||5x-1|-2|-3|=4
    помогите решить, позязя…
    ((
    Ну ты Вася и даешь! Как понимать твое “позязя…”. Помнишь у Л.Утесова: “Что то я тебя, корова, толком не пойму…” //Ищи на Ютубе

    А теперь по поводу твоей задачи. Если бы ты учился математике в 5-м классе так как треба (так говорят в Украине и в России то же), то у тебя проблем не было бы с этим упражнением на устный счет.
    !!!
    Модуль разности двух чисел |x-а| – это расстояние от точки с координатой х до точки с координатой а.
    !!!
    А теперь смотри как твою задачу решают успешные 5-ти классники:
    |||5x-1|-2|-3|=4
    Обозначим на время ||5x-1|-2|через У, получим уравнение |У – 3| = 4 на геометрическом языке: на оси координат ОУ ищем точки У, удаленные от точки 2 на расстоянии в 4 единицы. “Садись” в точку 2 и бросай камешки на расстояние 4 единицы влево и вправо.
    Куда ты попадешь?
    Верно в точки -1 и 7.
    То есть получим 2 уравнения (значение У нас никто не просил искать, это наш “контейнер”, означающий
    ||5x-1|-2|).
    Итак мы имеем 2 новых уравнения:
    ||5x-1|-2| = -1
    и
    ||5x-1|-2| = 7.
    Теперь продолжай в том же духе.
    Первое уравнение не может иметь решение, так левая часть его неотрицательна, а правая -1.
    Решаем уравнение ||5x-1|-2| = 7.
    И снова “за рыба день” – вводим опять вспомогательную переменную |5x-1|=У, получаем
    |У – 2| = 7. Как и в первый раз получаем для У 2 значения: У=-5, У=9. Так как У неотрицательно, то получаем уравнение У=9 или |5x-1| = 9,(повтори предыдущие рассуждения сам для закрепления геометрической интерпретации модуля разности 2-х чисел). В результате получишь 5х = 10 или х = 2.

    Учиться нужно весело, чтоб хорошо учиться // Тоже слова из какого то шлягера пионерского
    Всего наилучшего В. Петров

    [Ответить]

  91. 102 Vlad aus Engelsstadt:

    Исправить

    Учить_ся (!!!) нужно весело

    [Ответить]

  92. 103 Vlad aus Engelsstadt:

    Да, кстати, в картинках Яндекса найди фото “Учись сынок”. Весьма поучительное фото!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, это замечательно! :)

    [Ответить]

  93. 104 Vlad aus Engelsstadt:

    Рад удружить и вам и Родине!
    А родом я из России, а точнее с Волги.
    В этой связи вспоминается Грибоедовское “…в деревню! В глушь! В Саратов!” Так вот именно оттуда. А на том берегу – на левом берегу, где до прихода монгол изначально было поселение – Прасаратов, находится город Энгельс – вот этот город моя маленькая родина. Это бывшая столица республики немцев Поволжья, но возможно столицей был город Маркс. То же на левом берегу, но 50 км выше по течению. О немцах Поволжья у меня одни добрые воспоминания. Мне их было жаль только за то, что партийное руководство страны во времена Н.С.Хрущева не разрешило немцам вернуться на Волгу (на их малую родину). Они оставались в Сибири и в Казахстане до воссоединения двух немецких государств и распаде государства с тремя восточно-славянским народами на три самостийных государства с возведением соответствующих границ. По неволе вспомнишь ученых-”советников” Гитлера из гуманитариев с их выводами о неполноценности восточных славян.
    Извините, но родина зовет да и возраст свое берет однако.
    Еще раз, привет России от блудного сына.

    [Ответить]

  94. 105 Vlad aus Engelsstadt:

    Рад удружить и вам и Родине!
    А родом я из России, а точнее с Волги.
    В этой связи вспоминается Грибоедовское “…в деревню! В глушь! В Саратов!” Так вот именно оттуда. А на том берегу – на левом берегу, где до прихода монгол изначально было поселение – Прасаратов, находится город Энгельс – вот этот город моя маленькая родина. Это бывшая столица республики немцев Поволжья, но возможно столицей был город Маркс. То же на левом берегу, но 50 км выше по течению. О немцах Поволжья у меня одни добрые воспоминания. Мне их было жаль только за то, что партийное руководство страны во времена Н.С.Хрущева не разрешило немцам вернуться на Волгу (на их малую родину). Они оставались в Сибири и в Казахстане до воссоединения двух немецких государств и распада государства с тремя восточно-славянским народами на три самостийных государства с возведением соответствующих границ. По неволе вспомнишь ученых-”советников” Гитлера из гуманитариев с их выводами о неполноценности восточных славян.
    Немцы нелегально приезжали на свою маленькую родину на Волге. Я это точно помню, так как младшая сестра моей бабушки была замужем за немцем и я помню его приезд в гости к бабушке и к отцу.
    Извините, но родина видимо зовет, да и возраст свое берет однако.
    Еще раз, привет России от блудного сына.

    [Ответить]

  95. 106 Лейб Штейнгарц:

    1) В пункте 102, видимо случайно, допущена неточность.
    Там написано следующее.

    А теперь смотри как твою задачу решают успешные 5-ти классники:
    |||5x-1|-2|-3|=4
    Обозначим на время ||5x-1|-2|через У, получим уравнение |У – 3| = 4 на геометрическом языке: на оси координат ОУ ищем точки У, удаленные от точки 2 на расстоянии в 4 единицы. “Садись” в точку 2 и бросай камешки на расстояние 4 единицы влево и вправо.

    А должно быть, конечно, примерно так:

    на оси координат ОУ ищем точки У, удаленные от точки 3 на расстоянии в 4 единицы.

    2) Кроме того, для решения этого уравнения достаточно знать, что если |Х|= А (где А-положительное число), то имеется ровно две возможности: Х=А или Х=-А.
    И даже вовсе не нужно использовать геометрическую интерпретацию.

    [Ответить]

  96. 107 Сергей:

    когда нибудь я тоже так смогу! стараться буду!

    [Ответить]

  97. 108 Vlad aus Engelsstadt:

    ))108 Лейб Штейнгарц:((
    Ваше замечание правильное: действительно, “сажать” Васю нужно было в точку 3, а не в 2, как написано у меня.
    Описки досадны, но обычное дело в практике преподавания: если слушатель не спит, то он поправляет.
    Итак,
    огромное спасибо Лейб Штейнгарцу!
    Родина Вас не забудет,
    а я вас то же буду вспоминать.

    [Ответить]

  98. 109 Лейб Штейнгарц:

    В пункте 44 Ася пишет:
    ————————–
    не могли бы вы помочь с умножением модулей?
    |x-1||x+2|=|x+1||x-2|
    мои ответы – 0; √2/2 и -√2/2. в учебнике другие
    – 0, 2 и -2. не могу понять, что неправильно сделала.
    ————————–
    К сожалению, Ася, ни Ваши ответы, ни ответы в книге – неправильные.
    Проще всего решить это уравнение, используя следующее свойство модуля: |x||y|=|xy|.
    Тогда совсем не надо будет раскрывать модули на промежутках.
    ————————–
    Рассмотрим конкретно Ваше уравнение:

    |x-1||x+2|=|x+1||x-2|

    Заменим его на равносильное:
    |(x-1)(x+2)|=|(x+1)(x-2)|

    Отсюда получаем две возможности :

    1) (x-1)(x+2)=(x+1)(x-2)
    2) (x-1)(x+2)= -(x+1)(x-2)

    Решить эти уравнения БЕЗ МОДУЛЕЙ, конечно, не проблема.
    Окончательно, получаем такой ответ:

    x = 0
    x = √2
    x = -√2

    [Ответить]

  99. 110 Данил Константинович:

    Здравствуйте,
    уважаемая Елизавета Александровна и прочие знатоки, пожалуйста помогите решить такой простой пример (совсем забыл как решать):
    |a-3| + |c-3|
    _____________
    2
    Если a=√7+1 ( под корнем только цифра 7)
    c=√7-1 ( под корнем только цифра 7)
    Заранее спасибо!
    С уважением,
    Данил

    [Ответить]

  100. 111 Елизавета Александровна Калинина:

    |\sqrt{7}+1-3|=|\sqrt{7}-2|=\sqrt{7}-2, поскольку \sqrt{7}>2,
    |\sqrt{7}-1-3|=|\sqrt{7}-4|=4-\sqrt{7}, так как \sqrt{7}<4.
    Тогда Ваше выражение равно ((\sqrt{7}-2)+(4-\sqrt{7}))/2=1. Это все :)

    [Ответить]

  101. 112 Vlad aus Engelsstadt:

    Решение в п.113 – медвежья услуга.
    В народе (в коридорных наставлениях молодого бойца – учителя-стажера) встречается: лишняя помощь ослабляет (подтачивает) интеллект учащегося и развращает последнего,
    Помощь приведенного типа нужна, если задача находится вне поля (или зоны) АКТУАЛЬНОГО ЗНАНИЯ учащегося.
    Данил (возможно Даниил) пишет почти по . А.Милгу
    ” – Так это же известная задача!
    – А как она решается?
    – Да нет! Условие известно, а решения я не знаю”.

    Поэтому ему оказывать помощь удобнее в диалоге (по скайпу или в Gmail):
    Е.А.К.:А вы пробовали каждое слагаемое в числителе дроби записать без модулей?
    Д.: …
    Е.А.К.: Что у вас получилось?
    Д.: …
    Е.А.К.: Верно (или напротив, вы ошиблись, исправьте ошибку)
    Вы вплотную подошли к решению (если приведете подобные члены, то получите решение)
    Д.: … Ура-а-а! Все вышло как нужно. / Всплеск эмоций обеспечен
    Е.А.К.: А в чем была трудность при самостоятельном решении?
    Верно, Ваша ахиллесова пята состоит в неумении пользоваться “правилом Паскаля”: при первой трудности замените понятия их определением. Этот совет мы встречаем и у Р.Декарта в его “Правилах руководства ума” и в “Рассуждениях о методе”
    Позвольте напомнить совет Полани М.: “Учиться на примерах – значит подчиняться авторитету.”
    / Полани М. Личностное знание

    Всего наилучшего,
    Vlad aus Engelsstadt

    [Ответить]

  102. 113 Елизавета Александровна Калинина:

    Все верно ;)

    [Ответить]

    кристина Reply:

    помогите , пожалуйста, -x(квадрат) + px = q пересекает ось абцисс в точку (-2;0), а ось ординат в точке (0;8) найти p и q и постройте эту параболу

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Не вижу модуля ;)

    [Ответить]

  103. 114 наталья:

    2х-log2(2в степени х +1)=1 помогите решить пожалуйста

    [Ответить]

  104. 115 Елизавета Александровна Калинина:

    2x-\log_22^{x+1}=1 – так? И хоть здесь нет модуля ;) , но по определению логарифма получаем 2x-(x+1)=1. Дальше понятно, как решать? :)

    [Ответить]

  105. 116 Галина:

    /x-1/-/x+3/=-/x/

    [Ответить]

  106. 117 Елизавета Александровна Калинина:

    Галина, разберитесь с примерами 1 и 3. Ваша задача практически такая же. Удачи!

    [Ответить]

  107. 118 Лейб:

    К пункту 118.
    Галина, попробуйте решить уравнение, похожее на Ваше, но постарайтесь решить его устно !
    Это совсем несложно, но полезно.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    /x-1/+/x+3/=-/x/
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.

    [Ответить]

  108. 119 Vlad aus Engelsstadt:

    )) Галина, попробуйте решить уравнение: /x-1/+/x+3/=-/x/. ((
    Но если вы, Галина, не сделаете этого, то не много потеряете.
    Такие уравнения далеко не ведут.

    Действительно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая – отрицательна. Следовательно, решений нет.
    /x-1/+/x+3/=-/x/; /x-1/-/x+3/=-/x/

    Уравнения такого типа можно и удобно решать с помощью графических соображений:
    1) левую и правую части собрать в одну сторону;
    2) получим кусочно линейную функцию, для построения графика которой на промежутках, где каждое из слагаемых сохраняет знак, нам нужно взять 2 точки M_i(x_i, y_i), M_i+1(x_i+1, y_i+1) задающие луч или отрезок.

    В нашем случае (для обоих уравнений) х следует брать из множества {-4; -3; 0; 1}.
    Вычислить левую часть преобразованного уравнения и построить график.

    С помощью этого графика одинаково просто решать как уравнение так и неравенство вида
    /x-1/+/x+3/+/x/#0; /x-1/-/x+3/+/x/#0,
    где знак “#” может быть как знаком равенства, так и неравенства.

    Но все это не заслуживает особого внимания 98-99% школьников. Это важно только для методистов, открыто не желающих заниматься современной элементарной математикой. А поэтом безделушки в их руках становятся важными.

    Всего наилучшего.

    [Ответить]

  109. 120 Vlad aus Engelsstadt:

    Коррекция:
    В нашем случае (для обоих уравнений) х следует брать из множества {-4; -3; 0; 1, 2}.

    //Пропущено последнее значение х.

    [Ответить]

  110. 121 Vlad aus Engelsstadt:

    А поэтом безделушки в их руках становятся “важными”.
    Это от нежелания заниматься действительно важными вещами: обучать математическим методам, а не частными приемами и правилами. В науке считается: “МЕТОД ВАЖНЕЕ РЕЗУЛЬТАТА”. Вот цель методиста, а они шарахаются от важной цели и распыляют внимание учеников на частности. В этом я усматриваю ПРОТИВОДЕЙСТВИЕ методистов молодым людям к качественному математическому образованию уже в школе.

    [Ответить]

  111. 122 Анна:

    Помогите решить, пожалуйста!!!
    10-|x|=1/2

    [Ответить]

  112. 123 Елизавета Александровна Калинина:

    Анна, посмотрите первый пример. Задавайте вопросы, если что-то непонятно. Удачи!

    [Ответить]

  113. 124 Vlad aus Engelsstadt:

    ))
    124 Анна:
    Помогите решить, пожалуйста!!!
    10-|x|=1/2
    23 Июль 2012, 12:28
    ((

    Унизительная просьба о помощи – свидетельствует о нежелании трудиться: чужими руками (и мозгами) ничего хорошего для себя не сделать! (Из коридорных наставлений учителя)

    В народе говорят: лишняя помощь расслабляет ученика, а преждевременная развращает.
    ЗАПОМНИТЕ ЭТО или как говорят в народе: ЗАРУБИТЕ СЕБЕ НА НОСУ.
    Я надеюсь, что Анна еще не совсем потерянный человек, потому и пишу.

    Любой пятиклассник перенес все известные члены в одну сторону, а слагаемое с неизвестным х в другую и применил определение модуля (учителя говорят: подвел под определение; если непонятно посмотри в словарях интернетовских что означает каждое словосочетание)

    [Ответить]

  114. 125 Галина:

    подскажите пожалуйста, как решить уравнение, если есть 2 внутренних модуля и они одинаковы

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Галина, не очень понимаю Ваш вопрос. Лучше напишите, какого типа уравнение.

    [Ответить]

  115. 126 Галина:

    //х-3/-3/=//х-3/-1/

    [Ответить]

    vlad aus engelstsdt Reply:

    Представьте, что /х-3/ в уравнении //х-3/-3/=//х-3/-1/ это новая переменная У. Тогда наша задача состоит в нахождении точки У, которая равноуадена от 3 и от 1, то есть У=2. Следовательно, /х-3/=2 или х=1 и х=5

    совет, математика с человеческим лицом – это наука для глаз. С рутиной алгебраической сегодня легко справляются прогаммы. Смотрите в нете сайт Вольфрам по русски.

    [Ответить]

  116. 127 елена:

    (х+2)в квадрате +/х-1/-1=0 как решить??помогите пожалуйста!

    [Ответить]

  117. 128 Карина:

    /2х+1/+9=20

    [Ответить]

  118. 129 алиса:

    /x/=2,8

    [Ответить]

  119. 130 Настя:

    помогите решить,плиз

    |x| -x+2=|2x-2|

    [Ответить]

  120. 131 Рина:

    122 Анна
    Помогите решить, пожалуйста!!!
    10-|x|=1/2
    Вот:
    10-|x|=1/2
    10-|x|=0.5
    |x|=9.5
    1)х=9.5 2)х=-9.5

    [Ответить]

  121. 132 ксюша:

    помогите решить пожалуйста,побыстрее. у меня завтра алгебра.
    (3+|х|)*(4-2|х|)=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ксюша, каждый из множителей может быть равен нулю. Дальше разберитесь с определением модуля. Времени на это много не нужно, до завтра точно успеете. Удачи!

    [Ответить]

  122. 133 ксюша:

    Елизавета Александровна можете мне написать решение пожалуйста. я вообще этой темы не помню

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    3+|x|=0 или 4-2|x|=0. Первое уравнение решений не имеет, второе сводится к |x|=2, откуда x=2 или x=-2. Нужно только определение модуля, больше ничего не надо. Если хотите вспомнить, начните с него.

    [Ответить]

  123. 134 Vlad aus Engelsstadt:

    Ксюша и все остальные учащиеся,
    просящие помощи раньше времени.

    Помните, преждевременная помощь расслабляет интеллектуальные потенции ученика, а преждевременная развращает его, делая слабовольным и аморальным (выдавать учителю чужое решение за свое – это нечистоплотные действия схожие с воровством).

    Где же выход и как быть в случае, если не знаешь с какой стороны взяться за решение задачи?

    Воспользуйтесь правилом ПАСКАЛЯ: ЗАМЕНИ ПОНЯТИЯ ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ!

    Но если и здесь полный АЛЕС КАПУТ, то обратитесь к интеллектуальной поисковой системе nigma.ru.

    Итак, в адресной строке поисковика набираем
    nigma.ru

    Переходим на вкладку: математика

    в строке ПОСЧИТАТЬ набираем формулу:

    модуль(х-3)-8=12

    Система выдает решение с предложением:
    Решение уравнения с учётом ОДЗ : показать ход решения

    Пробуйте и у вас все выйдет.
    Останется самому написать объяснение каждого шага! Это весьма полезно, так как позволяет глубже понять само решение.

    Успехов в самосовершенствовании и в изучении математики.

    [Ответить]

  124. 135 Энгель Эдуард:

    Помогите пожалуйста, как решить x^2+2x=1. Заранее спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Эдуард, тут нет модуля ;) А вообще это стандартное квадратное уравнение. Сначала найдите дискриминант (по формуле, которую Вам давали в школе), а потом по формуле (которую тоже давали в школе) вычислите корни уравнения.

    [Ответить]

  125. 136 N1NT3NDO:

    |x|-|x-8|=2
    |x-1|-2|x+4|+x+11=0
    |x-3|+|x-4|=1
    |5x-4|=|2x-1
    как это решить?|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А Вы читали то, что выше написано? :) Там как раз об этом ;)

    [Ответить]

  126. 137 Vlad aus Engelsstadt:

    ))Помогите пожалуйста, как решить x^2+2x=1((
    С таким отношение к своим учебным обязанностям Вы рискуете оболванить себя на всю оставшуюся жизнь.

    РЕШЕНИЕ
    Прибавьте к обеим частям уравнения по 1.

    Получите уравнение вида x^2+2x + 1 = 2 или (x+1)^2 = 2.

    Которое решать можно зная лишь определение корня квадратного.

    [Ответить]

  127. 138 Костя:

    |√(n−1)+√(n+1)|=|2√n|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Костя, подумайте, а что будет, если просто убрать модули?

    [Ответить]

  128. 139 Костя:

    Помогите пожалуйста, решить еще и неравенство, т.е. доказать его (там еще знак равенства)

    a/b+ b/c + c/a>(a+b)/(c+a) +( b+c)/(a+b) +( c+a)/(b+c)

    [Ответить]

  129. 140 Даша:

    Объясните пожалуйста как решать уравнения |х-2|=|15-х| P.S. специально взяла другие числа, что б не называли халявщицей, мне нужен только алгоритм:)

    [Ответить]

  130. 141 Даша:

    Извиняюсь, я дура, когда искала пропустила аналогичное уравнение выше…

    [Ответить]

  131. 142 Vlad aus Engelsstadt:

    ))140 Даша: … мне нужен только алгоритм…((
    Вот Это правильно!
    АЛГОРИТМ прост:
    1) Находим нули подмодульных выражение;
    // при переходе через 0 подмодульного выражения форма записи может измениться:
    с А на -А или с -А на А

    2) На каждом из промежутков знакопостоянства записываем уравнение или неравенства без знаков модуля;
    // Нули разбивают ОДЗ на промежутки знакопостоянства подмодульных выражений. Поэтому это выполнимое
    действие.

    3) В каждом из промежутков решаем уравнение или неравенство, записанное без знаков модуля;

    4) в получаемых множествах решений выбираем лишь те, которые лежат в соответсвующем промежутке знакопостоянства.

    Итак, в вашем случае алгоритм приводит
    1) х-2=0 => х1=2; 15-х=0 х1=15;

    ________2______________________________15___________________________ х

    х-2: —— 0 +++++++++++++++++++++++++++++!++++++++++++++++++++++++++++
    15-х: ++++++!+++++++++++++++++++++++++++++ 0 —————————

    |х-2|=-(х-2) |х-2|=(х-2)
    |15-х|= 15-х |15-х|= -(15-х)

    а)На (-оо, 2) имеем -(х-2)= 15-х — решений нет;
    б)На (2, 15) имеем (х-2)= 15-х или корень х = 8,5, который лежит в промежутке (2, 15).
    Следовательно, это корень исходного уравнения.
    в)(15, +оо) имеем (х-2)=-(15-х) — решений нет.

    Рассуждения немного изменятся, если решать не уравнение, а неравенство.

    Но решение с “человеческим лицом” у вашей задачи такое.
    Так как модуль разности |х-а| — это расстояние, между точками с координатами х и а, то ваше уравнение |х-2|=|15-х| можно понимать так: найти все точки с координатами х на оси ох, которые равноудалены от точек 2 и 15 на одинаковом расстоянии.

    Если построить координатную прямую и нанести на нее точки 2 и 15, то середина отрезка (2, 15) и будет искомой точкой.

    Учите математику! Она формирует настоящий характер и личности.

    Всего наилучшего.

    [Ответить]

  132. 143 катя:

    F(x)=3|x|-2 помогите пож-та срочно

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Помочь понять условие задачи? :)

    [Ответить]

    катя Reply:

    помогите решить. найти множ-во значений.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Какие значения принимает модуль? Дальше это используйте в Вашей функции. Другой вариант: график постройте.

    [Ответить]

  133. 144 Алексей:

    |X^2-4|=3x помогите решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 2 – стандартный алгоритм. Проще – комментарий 32 Nynko.

    [Ответить]

  134. 145 саша:

    объясните, пожалуйста, решение(подробно)|x^2-8|<2x. заранее спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Саша, решение неравенств с модулем здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/

    [Ответить]

  135. 146 fgg:

    |х2+3х-4|=3х+12

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 2 – стандартный алгоритм. Проще – комментарий 32 Nynko.

    [Ответить]

  136. 147 СОНЯ:

    и это?? |корень из(6х+7)-2|=2х+1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Чему равен модуль корня? :) Дальше решаете иррациональное уравнение.

    [Ответить]

  137. 148 МАКС:

    |x-1|>=2 помогите плз

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Помогаю: для каких x расстояние от x до 1 больше либо равно 2? Это и будет ответ ;)

    [Ответить]

  138. 149 Артём:

    помогите пожайлуста
    |sinx-2|=1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Артем, расстояние от \sin x до 2 равно 1, откуда \sin x=1 (или 3 :) ). Дальше решаете простейшее тригонометрическое уравнение.

    [Ответить]

  139. 150 Анатолий:

    Помогите пожалуйста
    |x-14|=8+2x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите пример 1.

    [Ответить]

  140. 151 Миха:

    Помогите решить)
    |x-1|/|x-2|=|x+1|/|x+2|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Наносите корни выражений под знаком модуля (и числителей, и знаменателей) на чиловую ось, на каждом из полученных промежутков раскрываете модули. Примеры смотрите выше. Удачи!

    [Ответить]

  141. 152 Vlad aus Engelsstadt:

    151 Миха:
    Помогите решить)
    |x-1|/|x-2|=|x+1|/|x+2|
    Левую и правую часть замените модулями соответствующих дробей. Получите
    |(x-1)/(x-2)|=|(x+1)|/(x+2)|.
    А так как из |А|= |В| следует, что А=В или А=-В, то решите 2 дробно-линейных уравнения.
    Данное уравнение составлено по всей вероятности для того, чтобы показать ахилесову пяту общего правила (общего алгоритма) и для наставления учащихся: не хочешь думать – потей, не хочешь потеть и погрязнуть в рутине – думай. В народе говорят: У работающих дураков не бывает праздников. Не хватает времени

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Честно говоря, не знаю, как лучше. В основном вопросы задают люди, которым нужно готовое решение. По-моему, рассказывать им, как проще в данной ситуации, бесполезно. Те, кто действительно что-то хочет понять, после ссылки на общий алгоритм начинают задавать другие вопросы…

    [Ответить]

  142. 153 Vlad aus Engelsstadt:

    Мой совет: цели в образовании следует брать повыше.
    Примитивный прагматизм превращает математику в курс бухучета.

    Вспомните дидактическую притчу о перевозчике К.Д.Ушинского. Когда я предлагал решение задачи 151, то руководствовался наставлением мастера своего дела. Белые воротнички системы школьного и высшего образования напортачили так, что учитель борется за тройку, а надо ставить и двойки – особенно старшеклассникам.

    ЗНО и ЕГЭ по математике дезориентирует учащихся в целях курса. Развивающие цели обучения нашему предмету отброшены и делают невозможной работу по обеспечению их. Физики и технари сказали бы так: вы не учитываете влияние на измеряемую величину и сам процесс процедуры измерения.
    Технари давно понимают негативное воздействие мерительного инструмента и процедуры измерения на сам процесс – жизнь заставила.

    Методистам и педагогам всех мастей и уровней эту простую идею не удается объяснить. Все мои попытки разбивались о глухую стену непонимания. Вот школа куралесит и издевается над детьми.

    Я вспоминаю прямой эфир в 2005 г. Станислава Николаенко (Украина). Учительница ему пытается объяснить, что ЗНО в тестовой форме причинит вред: ученики перестанут обосновывать свои решения как в устной, так и в письменной формах, что отразится на их интеллектуальном развитии.
    Стецько (по другому не скажешь), не поняв куда клонит учительница, в грубой форме обрывает ее репликой: А кто сказал, что эти формы работы отменяются!
    Это кандидат (а возможно и доктор) пед.наук, а диссертация на дисциплине трудовое обучение и технологии.

    Последний совет, который хорошо известен математикам: “ЧИТАЙТЕ КЛАССИКУ! ТОЛЬКО КЛАССИКУ! И НИЧЕГО, КРОМЕ КЛАССИКИ”.
    Рухнуло образование в Украине и в России от УЧЕНЫХ ДУРАКОВ и АМОРАЛЬНЫХ ТИПОВ.
    По африканской легенде обезьяны произошли от человека. Как бы некогда мощную славянскую цивилизацию не оборотили заокеанские советники цивилизацию обезьян.

    Всего самого лучшего всем участникам форума.

    Интересно, долго ли я протяну (врачи от лечения уже отказались 1) и буду присылать комментарии и поучать, как нужно сопротивляться и бороться мешающим факторам и дезориентирующим указаниям ЧИНУШ и УЧЕНЫХ МЕТОДИСТОВ-НЕДОУЧЕК, короче дураков при власти.

    врачи от лечения уже отказались 1)
    Хирург спрашивает: Ну как здоровье? А я в ответ: Чем же вы меня лечите, чтобы задавать такой Вопрос?
    Немая сцена

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо Вам! И держитесь!

    [Ответить]

  143. 154 Амина:

    |1-3x|+2=5 решите пожалуйста!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Амина, сначала перенесите 2 в правую часть, а потом вспомните определение модуля: 1-3x=\pm3. Дальше понятно? :)

    [Ответить]

  144. 155 Vlad aus Engelsstadt:

    Просмотрите ролик:
    Математика в Америке (http://youtu.be/iHpn8qkPycM)

    Мне не всегда симпатичны обращения школьников за помощью и прямые решения вместо методически грамотного оказания помощи.

    1) Зайдите на поисковик http://nigma.ru/index.php?t=math
    2) Наберите на доске: модуль(1-3x)+2=5
    3) Нажмите ПОСЧИТАТЬ
    4) Нажмите ПОКАЗАТЬ ХОД РЕШЕНИЯ

    Таких пакетов становится все больше. Например, Wolfram|Alpha по-русски. Любой поисковик вас выведет на нужный сайт.

    Всего наилучшего. Надеюсь, что восточные славяне остановятся в своем продвижении к ЦИВИЛИЗАЦИИ ОБЕЗЬЯН. Многое зависти от школы и ее учеников.

    Здравый смысл победит и эта победа будет достигнута учениками и их учителями Математики, Информатики, Физики (МИФ) и технологии.

    Всего самого лучшего
    всем участникам форума!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Нигма – это отлично! ;) Я не знала, спасибо :)

    [Ответить]

  145. 156 Назар@:

    розвяжіть як омога швидше |X-6|=3-|x-3| розвяжіть без розкриття модулю

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    |x-6|+|x-3|=3. Дальше вспомните, что модуль разности — это расстояние между точками и подумайте, когда сумма расстояний равна 3.

    [Ответить]

    Назар@ Reply:

    можеш написати всі ходи

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите комментарий 155, там очень хорошо написано :)

    [Ответить]

    Назар@ Reply:

    я просто не розумію напиши будьласка

    [Ответить]

  146. 157 ккккккк:

    |x-4|=5x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Хорошее уравнение, прямо как в примере 1, не так ли? :)

    [Ответить]

    ккккккк Reply:

    ответ: -1 2/3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Нет, при -1 получается справа отрицательное число, а модуль неотрицателен, 2/3 подходит.

    [Ответить]

  147. 158 Назар@:

    напишіть будь ласка розвязання

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сумма расстояний от точки x до точек 3 и 6 равна 3. Где находятся такие точки? Нарисуйте, посмотрите. Да, рассматриваем числовую прямую.

    [Ответить]

  148. 159 вика:

    Плисс. Помогите уравнение решить.
    |x-4|=|5x|. Заранее спасибо)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите определение модуля. Еще комментарий 151, правда, там пример немного сложнее.

    [Ответить]

  149. 160 Маришка:

    Как? Помогите?
    |x-14|=8+2x.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 1.

    [Ответить]

  150. 161 Ммммммимииим:

    Помогите решить уравнение.
    |x^2+7x|=4x+10.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 2, комментарий 32.

    [Ответить]

  151. 162 ya:

    Как это
    |x^2-4x|=3x

    [Ответить]

  152. 164 Vlad aus Engelsstadt:

    )) 159 вика: Плисс. Помогите уравнение решить. |x-4|=|5x|. Заранее спасибо) ((

    Задача решается “устно” или по науке “во внутреннем плане действий”:
    модули двух выражений равны т. и т.т.,к. равны квадраты этих выражений (см. свой учебник по математике 1)
    В нашем случае (x-4)^2 = (5-x)^2.
    Перенесите все в левую (в одну) часть, получите разность квадратов, которая раскладывается в произведение вида
    ((x-4) – (5-x))*((x-4) + (5-x)) = 0
    (2х -9)*(1)=0
    Следовательно, х = 4,5.

    Мой опыт показывает, что встречаются учителя, которые такое решение понимают с большим трудом.
    Поэтому обратитесь к нигма.ру

    [Ответить]

  153. 165 Vlad aus Engelsstadt:

    (см. свой учебник по математике 1)
    Опыт работы в вузе показывает, что ученик, который не приучен работать с учебником в школе, не успевает проходить вузовскую программу. В народе говорят: учась исключительно на “жеванках” учителя проще простого заработать “кариес” мозгов!

    [Ответить]

  154. 166 Слава:

    а как решить |x|=5
    И еще |a|-17=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что такое модуль вещественного числа? ;)

    [Ответить]

  155. 167 Vlad aus Engelsstadt:

    ))
    166 Слава:
    а как решить |x|=5
    И еще |a|-17=0
    ((

    Примените правило Паскаля: замените понятия их определением (см. учебник: ихчитать или штудировать обязательно!)

    [Ответить]

  156. 168 Тоха:

    какое выражение будет обратно -|х – 1|?
    -1 – х или -1 + х?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если я правильно понимаю, Вы спрашиваете, как раскрыть модуль. Зависит от знака выражения под модулем. Смотрите определение модуля вещественного числа.

    [Ответить]

  157. 169 Софья:

    Расскажите, пожалуйста, как решить:
    |x-2|=3*|x+2|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь возможны два варианта: либо x-2=3\cdot(x+2), либо x-2=-3\cdot(x+2) (смотрите определение модуля). Дальше просто решаете два уравнения.

    [Ответить]

  158. 170 Макс:

    как решить:
    |13-2x|>|4x-9|

    [Ответить]

  159. 171 Кирилл:

    |x-1|=|x+3|
    помогите

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Кирилл, смотрите комментарий 169.

    [Ответить]

  160. 172 Лиза:

    x^2+4x=8|x+2|
    Помогите решить уравнение,болела,поэтому не понимаю тему(

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лиза, посмотрите пример 1. И спрашивайте, если что-то непонятно.

    [Ответить]

  161. 173 karina:

    как решить |x+1|=a

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    karina, все как обычно. Только учтите, что при a<0 решений нет (из определения модуля). А дальше раскрываете модуль на двух в Вашем случае промежутках и решаете два уравнения. После этого обязательно нужно найти условие на a, при котором найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку. Это все.

    Можно построить график функции y=|x+1|, а потом найти его точки пересечения с прямой y=a при различных a. Так еще проще.

    [Ответить]

  162. 174 Настя:

    |2x-1|<|x-1|
    Решите,пожалуйста)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решение неравенств здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/ Читайте внимательно.

    [Ответить]

  163. 175 Павел:

    Добрый день!
    Подскажите, пожалуйста, способ решения задачи: “найти наименьшее значение выражения и значения х и у , при которых оно достигается: |3x+4у-1|+|x-5у+6| . Честно говоря, так и не понял, как использовать свойства модулей в этом случае, может быть из-за недостатка информации. Заранее благодарен, обычный отец обычного 9-ти классника.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Павел, посмотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/12-geometricheskoe-mesto-tochek-ploskosti/

    Если останутся вопросы, спрашивайте.

    P.S. А лучше посмотрите еще комментарий 176.

    [Ответить]

  164. 176 Лейб:

    Решить задачу из пункта 175 можно и по-другому, не используя графиков.
    ===================================
    Модуль любого числа является числом НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМ.
    Поэтому НАИМЕНЬШИМ значением выражения |3x+4y-1|, будет число 0.
    Аналогично, и для выражения |x-5y+6|.
    Поэтому наименьшим значением суммы будет также число НУЛЬ.
    .
    А чтобы найти, при каких значениях х и y это достигается, достаточно решить систему уравнений:
    \begin{cases}<br />
3x+4y-1=0  \\<br />
x-5y+6=0<br />
\end{cases}

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, Лейб Александрович, так лучше.

    [Ответить]

    Павел Reply:

    Благодарю. Предпологал такой вариант, почему-то засомневался в его правильности.

    [Ответить]

  165. 177 Suren:

    |7x-3|<0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решений нет.

    [Ответить]

  166. 178 В:

    /2-х/ = /х -1/ + 1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Расстояние от точки x до точки 2 на 1 больше, чем расстояние от точки x до точки 1.

    [Ответить]

  167. 179 влад:

    |x-|4-x||-2x=4 помогите пожалуйста решить такое уравнение

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 4. Еще можно переписать вот так: |x-|4-x||=2x+4 и построить графики левой и правой частей.

    [Ответить]

    влад Reply:

    решите пожалуйста, сам не сам не могу

    [Ответить]

    влад Reply:

    пожалуйста, срочно надо

    [Ответить]

  168. 180 влад:

    ответ 2 будет?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    нет, 2 не подходит, ответ 0.

    [Ответить]

  169. 181 Лиза:

    Здравствуйте. Я не понимаю,как решить:Найдите наименьшее значение выражения и значение x и y,при которых оно достигается |6x+5y+7|+|2x+3y+1|
    Я сначала надо наверное прировнять нулю эти два слогаемых и составить систему уравнения,да? Но как потом решать и верно ли я поняла.Прошу помогите.Заранее спасибо)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лиза, Вы верно думаете. Смотрите комментарий 176.

    [Ответить]

  170. 182 Anna46:

    а что делать,когда в уравнении под модулем корней нет??? 3х(в квадрате)+5х-4=2х-1. Подскажите,пожалуйста!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если в выражении под модулем нет корней, то это выражение сохраняет знак. Значит, просто записываете без модуля это выражение или выражение со знаком минус (так, чтобы всегда получалось неотрицательное число). У Вас |3x^2+5x-4|? Так там же дискриминант положительный, корни есть.

    [Ответить]

  171. 183 Саша:

    |2x|x|-3,5| =|-28|

    [Ответить]

    Саша Reply:

    подскажите как решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Саша, сначала разберитесь с тем, что такое модуль. Прочитайте также комментарий 124. Удачи!

    [Ответить]

  172. 184 Иван:

    пожалуйста помогите решить уравнение- |x-3|+|2-x|=4;пожалуйста срочно нужно!!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Иван, смотрите пример 3. Или можно еще так: сумма расстояний от точки x до точек 2 и 3 равна 4, чему равно x?

    [Ответить]

  173. 185 Иван:

    спасибо большое!!!

    [Ответить]

  174. 186 Nik:

    Добрый день. Есть задача построить график функции: y = |(2x-3)/(x-2)| . Как правильно раскрыть модуль дроби?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Nik, модуль раскрывается в соответствии со знаком дроби \displaystyle\frac{2x-3}{x-2}. Так, получается \displaystyle y=\frac{2x-3}{x-2}, если \displaystyle\frac{2x-3}{x-2}\ge0.

    Посмотрите о построении графика функции g(x)=|f(x)| здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/16-preobrazovaniya-grafikov/

    [Ответить]

    Nik Reply:

    Спасибо огромное.

    [Ответить]

  175. 187 Талгат:

    Решение примера 2 очень громоздкое. есть другие методы решения. не подходит при решении задач по ЕГЭ. много времени занимает

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Талгат, да, Вы правы, в комментарии 32 уже написали об этом. Добавила в текст.

    [Ответить]

  176. 188 Руслан:

    Помогите пожалуйста:Y=|Х|+Х. Какая эта функция( возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая). и почему?!)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Руслан, сначала нужно раскрыть модуль (при x\ge 0 |x|=x, при x<0 |x|=-x, а потом рассмотреть полученную кусочно-линейную функцию. Определения возрастающей и др. функций смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/14-chislovye-funkcii/

    Далее выбираете два значения x_1,x_2,x_1< x_2 и сравниваете f(x_1) и f(x_2).

    [Ответить]

  177. 189 Руслан:

    Спасибо огромное!!!

    [Ответить]

  178. 190 настя:

    3х+|х-1|≤7

    [Ответить]

  179. 191 Оксана:

    |3х(в квадрате)+2х-5|=3х(в квадрате)+2х-5.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Оксана, Вам подсказка: когда модуль числа равен самому числу?

    [Ответить]

    Оксана Reply:

    Извините, перепутала)
    |3х(в квадрате)+2х-5|=х(в квадрате)+2х-1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите пример 2. Если что-то непонятно, спрашивайте.

    [Ответить]

  180. 192 Яна:

    Елизавета Александровна помогите пожалуйста решить уравнение с модулем и разобраться со знаками |2x-1|+ |x+2|-|3-x|=2. Заранее благодарю.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Яна, у Вас все, как в примере 3, только промежутков больше. Давайте начнем. Корни выражений под модулями: -2,1/2 и 3. Рассмотрим промежуток x<-2. Здесь уравнение имеет вид -(2x-1)-(x+2)-(3-x)=2, и его решение x=-3 лежит в рассматриваемом промежутке. Дальше действовать нужно аналогично.

    [Ответить]

  181. 193 Яна:

    Спасибо!

    [Ответить]

  182. 194 алина:

    помогите решить пжл:)|x+2|+|x-1|=3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Алина, смотрите пример 3.

    [Ответить]

  183. 196 оксана:

    |1-|1-x||= 0.5 сумма корней уравнения.подскажите пож.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мне кажется, проще всего решить уравнение (пример 4), а потом сложить полученные корни.

    [Ответить]

  184. 197 XxX:

    |2012-X|=2013

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    По определению модуля x=-1,x=4025.

    [Ответить]

  185. 198 Анастасия:

    Подскажите пожалуйста ,как решить?
    |х^2+х|=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Анастасия, подумайте, когда модуль числа равен нулю? Из определения модуля…

    [Ответить]

  186. 199 Илья:

    а есть кто нибудь онлайн кто в модулях разбирается? мне просто тест только на модули 5 вопросов,я скрины сделаю в скайп кину, до послезавтра надо,помогите пожалуйста,зранее спасибо)

    [Ответить]

  187. 201 Артур:

    2
    6(x-1)+|x-1|-2
    ————– = 0
    2
    (корень4x-3)

    Может подскажите как решать такие уравнения?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Артур, к сожалению, непонятно, что у Вас за уравнение. Посмотрите, как набирать формулы в LaTeX (меню вверху).

    [Ответить]

  188. 202 Михаил:

    |1-x^2|=8 не получается. help me ))

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    1-x^2=\pm8

    [Ответить]

    Михаил Reply:

    Спасибо.

    [Ответить]

  189. 204 Чеширик:

    Прошу помочь в решении уравнения: 81^(|x|)+16(|x|)=(13/6)*36(|x|)
    Заранее искренне благодарен!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Рассмотрите два случая: x\ge0 и x<0. Или я неправильно понимаю запись, или все должно получиться.

    [Ответить]

  190. 205 Егор:

    Помогите пожалуйста
    |x+3|+2=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Егор, |x+3|=-2. Вы знаете определение модуля?

    [Ответить]

    Егор Reply:

    нет

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Егор, без знания определения модуля такие задачи не решаются. Модуль не может быть отрицательным числом.

    [Ответить]

  191. 206 настя:

    как решить?(x+3)в квадрате – ( x+3) последнее по модулю помогите пожалуйста

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Не поняла, что решать. в любом случае, можно использовать то, что (x+3)^2=|x+3|^2.

    [Ответить]

  192. 207 Дмитрий:

    Ув. Елизавета Александровна!
    Не поможете разрешить данное выражение? :

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дмитрий, сначала |40\sqrt{2}-57|=57-40\sqrt{2} (проверьте).

    Далее 57=25+32, далее под корнями получаются квадраты разности и суммы, корни извлекаются. Ответ: -10.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Елизавета Александровна, данное выражение можно свести еще и к такому ответу:  -\!8\sqrt{2} . Поскольку под первым корнем можно записать как  (5\!-\!4\sqrt{2})^2 так и  (4\sqrt{2}\!-\!5)^2 .
    Аналогичную процедуру можно проделать и со вторым подкоренным выражением:  (5\!+\!4\sqrt{2})^2 или  (-\!5\!-\!4\sqrt{2})^2 . И тогда получим еще два ответа 10 и  8\sqrt{2} .

    Так и хочется признать этот пример некорректным (или пожурить составителей за издевательство над детьми).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, но тут важно понять, что имеется в виду под знаком радикала. Я считала, что арифметический квадратный корень, как это принято в школе (например, так оно в формуле для корней квадратного уравнения). Если же считать радикал многозначным, то все будет так, как у Вас. Путаница в связи с этим обозначением в школьных учебниках, насколько понимаю, изрядная.

    [Ответить]

  193. 208 олег:

    |x+2|+|x-1|+|x-3|=2 полный ход решения, если можно

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 3.

    [Ответить]

  194. 209 олег:

    |x+2|+|x-1|=0 полный ход решения, если можно

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Олег, Вы знаете определение модуля? Если нет, то полный ход решения не поможет.

    [Ответить]

  195. 210 дмитрий:

    под корнем 21+3х равно 3,какой тут ответ будет?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А модуль где?

    [Ответить]

  196. 211 Антон:

    Елизавета Александровна, будьте добры, решите, пожалуйста данное уравнение x^3-|x|=3, где |x| означает целую часть числа x – наибольшее чтсло x, не превосходящее x (дословно). Напишите, пожалуйста, полное решение, это действительно важно. Премного благодарен, заранее спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Антон, хоть тут и нет модуля, но решение приведу. Я сначала построила графики функций y=x^3 и y=[x]+3. Получилось, что они пересекаются только при каком-то x: 1 < x < 2. Далее вводим новую переменную y: x=1+y, 0 < y < 1 и переписываем уравнение: (1+y)^3-1=3. Отсюда (1+y)^3=4 и y=\sqrt[3]{4}-1. Ответ: x=\sqrt[3]{4}.

    А вообще это похоже на какую-то олимпиадную задачку.

    [Ответить]

  197. 212 Антон:

    Спасибо большое.

    [Ответить]

  198. 213 Shohjahon:

    |x|=x2+x-4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Рассмотрите два случая: x\ge 0 и x<0.

    [Ответить]

  199. 214 Shohjahon:

    Помогите пожалуйста.

    [Ответить]

  200. 215 Shohjahon:

    Спасибо большое !

    [Ответить]

  201. 216 Машенька:

    Помогите 3|х|+1=|х|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Машенька, чтобы решить Ваше уравнение, нужно просто знать определение модуля.

    [Ответить]

  202. 217 shohjahon:

    Помогите пожалуйста 1< |x-2| < 3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Помогаю. Расстояние от точки x до точки 2 больше 1 и меньше 3. А вообще это здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/

    [Ответить]

  203. 218 Андрей:

    Как решить ||2x-3|-1|=x
    Help….

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 4.

    [Ответить]

  204. 219 Диана:

    как решить 4*|2-корень6|+|4корень6-10|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Диана, сначала нужно раскрыть модули. Проверьте, какое число больше, 2 или \sqrt{6}. Так же со вторым модулем.

    [Ответить]

  205. 220 Мария:

    Как решить? |y+2|=8

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Для начала понять определение модуля. Больше для решения Вашего примера ничего не нужно.

    [Ответить]

  206. 221 Неизвестно:

    Никак не могу найти, подскажите, как решить |x|-x+2=|2x-2|. В общем, как решать уравнения, где несколько модулей-слагаемых?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите пример 3.

    [Ответить]

  207. 222 Рита:

    Как решить??
    | |x-a| -2| = x+4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите пример 4. Только нужно рассмотреть еще различные случаи расположения a, а так все так же. Еще проще решать графически.

    [Ответить]

  208. 223 яна:

    5+|х|=10 очень срочно помогите скорее!!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам нужно определение модуля, ответ $$x=\pm5$.

    [Ответить]

  209. 224 Yelizaryev:

    |х+3|+|2х-1|=8 помогите пожалуйста

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Все написано в примере 3.

    [Ответить]

  210. 225 хехей:

    1) у=/х-2/-/х+1/+х-2 (“/” модуль
    Найдите m, при у=m график функции имеет 2 общие точки. решите плиззз

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что значит график имеет две общие точки?

    [Ответить]

  211. 226 Роман Томасон:

    помогите пожалуйста
    1)|x-1|+|1-2x|=|x|
    2)|x^2-4x|>x-3

    [Ответить]

  212. 227 Елена:

    |x–1|+3|2–x|=x–|1–x| мне попалось такое задание. вообще не понимаю как его решать. подскажите пожалуйста.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Как решать такие задания, написано выше. Пример 3.

    [Ответить]

  213. 228 Дос:

    помогите пожалуйста решить срочно неравенство с модулем
    |у+9| + |у-7|<7

    [Ответить]

  214. 229 Сергей:

    x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7| как решить?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Или раскрывать модули стандартным образом (зависит от a), или рисовать картинку, как Вам больше нравится.
    Не понимаю, зачем a+7, просто b=a+7, сразу станет проще.

    [Ответить]

  215. 230 ильшат:

    x(3/x/+6)=6(/x/-0.5x в квадрате)-4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Раскройте скобки, приведите подобные, а потом стандартно, раскрывайте |x| при x\ge0 и x<0.

    [Ответить]

  216. 231 Адам:

    |x+2|+|x-5|=13

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам нужно посмотреть пример 3.

    [Ответить]

  217. 232 юлия:

    как решить 1/x+2 + 2/x-1 =2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Не вижу модуля.

    [Ответить]

  218. 233 юлия:

    как решить x(в квадрате )-14/x – 10x/x(в квадрате)-14 = 3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    И здесь нет модуля.

    [Ответить]

  219. 234 Лиза:

    помогите!!!
    /x^2+3x-40/+/-x^2-8x+20/=5x=20

    [Ответить]

  220. 235 Лиза:

    сори,вот правильный вариант
    /x^2+3x-40/+/-x^2-8x+20/=5x+20

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Разберите пример 2.

    [Ответить]

  221. 236 Надя:

    как узнать область визначення

    y=!x+4!
    ( “!”- это модуль)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Надя, (если это область значений), каким может быть модуль вещественного числа?

    [Ответить]

  222. 237 Лукас:

    помогите, после каникул не помню)!!
    |x+4| – |x| = 1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Для Вас пример 3.

    [Ответить]

  223. 238 Саша:

    Как решается такое уравнение |x+4| – |x| = |x+5|?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Тоже пример 3, только появится еще одна точка на координатной оси – корень третьего выражения под модулем.

    [Ответить]

  224. 239 Элеонора:

    Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение х^2-2ах+2а-1=0, имеет 2 корня сумма которых равна 0?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь нет модуля. А вообще теорема Виета, и если не проходили комплексных чисел, то нужно проверить дискриминант.

    [Ответить]

  225. 240 Дарья Ненашева:

    Здравствуйте, Елизавета Александровна!

    Если можно, подскажите, пожалуйста, с чего начать решение вот такого задания:

    “Найдите, при каком наименьшем значении “a” уравнение
    | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + … + | x – 9 | = a
    имеет решения”.

    Я решала, разбивая числовую прямую на отрезки и рассматривая случаи, когда X >= 9,
    8 <= X < 9, и так далее, до Х = 9 при А >= 36; 8<=X<9 при 29<=A<36; 7<=X<8 при 24<=A<29; X 36. Я куда-то не туда зашла, да?

    С уважением,
    Дарья Ненашева

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дарья, так можно решать, но долго и сложно. Попробуйте графически. Сначала возьмите два модуля, вот так: $|x-1|+|x-2|=a$, постройте график функции $y=|x-1|+|x-2|$, потом добавьте еще один модуль. Посмотрите, что получается. Да. Вам нужно наименьшее значение функций такого вида.

    [Ответить]

    Дарья Ненашева Reply:

    Простите, не поняла, что означает “$” в этом контексте?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Извините, это моя ошибка. Формулы здесь нужно набирать в двух знаках доллара, а не в одном, как обычно.

    Все должно было выглядеть так:
    “…Сначала возьмите два модуля, вот так: |x-1|+|x-2|=a, постройте график функции y=|x-1|+|x-2|,…”

    [Ответить]

    Дарья Ненашева Reply:

    Спасибо, я так и поняла. Получились попарно пересекающиеся графики, самая нижняя точка пересечения имеет координаты (2;1). Если брать а = 1, то уравнение корней не имеет. Надо проверять каждую из получившихся точек пересечения?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    По-моему, Вы где-то ошиблись. Если координаты точки пересечения (2;1), то как раз при a=1 получается решение. И там не одна точка, в которой получается наименьшее значение. Добавьте еще один модуль и посмотрите, что получится. Может, не придется все точки пересечения проверять :)

    [Ответить]

    Дарья Ненашева Reply:

    Я почти все графики уже построила, до шести модулей включительно. Пересекаются первый (один модуль) со вторым (два модуля) в точке (2;1), второй пересекается с третьим (три модуля) в точке (3;3), третий пересекается с четвертым (4 модуля) и тому подобное. Общей точки пересечения для всех графиков нет. Ну, или она у меня на чертеже не помещается… Решение для а = 1 перепроверила, все корни получаются посторонние. Так, если взять x >= 9, то корень получаем 5 и одна девятая, что меньше 9, по остальным промежуткам то же самое. Уже не весело совсем…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Там дело не в точках пересечения, ну или не совсем в них. Смотрите, для двух модулей получается график из двух лучей и горизонтального отрезка между корнями модулей. И наименьшее значение a как раз равно ординате точек на этом отрезке. А для трех модулей?

    [Ответить]

  226. 241 Егор:

    (x-1)(2+1/x+1/(x+2)=0) помогите решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Егор, здесь нет модуля, да и скобки поставлены явно неправильно.

    [Ответить]

  227. 242 belka:

    |х-2|меньше-2х
    люди как ето решить ?

    [Ответить]

  228. 243 Оля 6799:

    1)|x-14|<=8+2x
    2)|x^2+7x|=4x+10
    помогите пожалуйста, хотя бы с одним

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Как решать неравенства с модулем, написано здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/11-reshenie-neravenstv-s-modulem/

    [Ответить]

  229. 244 Лейб:

    Мне очень понравилась задача, которую прислала Дарья Ненашева (из пункта 240).
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Напомню эту задачу.
    .
    “Найдите, при каком наименьшем значении “a” уравнение
    | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + … + | x – 9 | = a
    имеет решения”.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    .
    Обычным способом (раскрытием модулей или построением графика) её, конечно, можно решить.Но это достаточно долго и нудно.
    Мне удалось, как мне кажется, найти довольно короткое решение.
    Вот оно.
    .
    Воспользуемся таким известным неравенством с модулями:
    .
    |x-y| >= |x|-|y| для любых чисел x и y.
    .
    При этом:
    .
    |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|>=
    .
    |x|-1+|x|-2+|x|-3+|x|-4+|x-5|+|x|-6+|x|-7+|x|-8+|x|-9=
    .
    = 20+|x-5|
    .
    Обратите внимание, что среднее слагаемое мы не меняем, а в остальных слагаемых изменен порядок. Это не влияет на модуль разности.
    Ясно, что значение выражения 20+|x-5| не меньше, чем 20.
    Поэтому и сумма всех этих модулей не меньше, чем 20.
    .
    Но при x=5 эта сумма равна ровно 20.
    .
    А это означает, что наименьшим значением a, при котором данное уравнение имеет решение, является число 20.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Извините, в одной из последних фраз требуется небольшая поправка:
    .
    Обратите внимание, что среднее слагаемое мы не меняем, а в ПОСЛЕДУЮЩИХ слагаемых изменен порядок. Это не влияет на модуль разности.
    .

    [Ответить]

  230. 245 Niki2000:

    помогите с решением пожалуйста!
    3|x-2|-|14-7x|=(-2) и в этом уравнение(-2) на 3 степень

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пирмер, подобный Вашему – это пример 3.

    [Ответить]

  231. 246 Айдана:

    f(x)=|x В вкадрате -4ч+3| помогите решить срочно надо пожалуйста, заранее спасибо

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что нужно сделать?

    [Ответить]

  232. 247 Юлия:

    Помогите решить пожалуйста: |5x/x+1| = 2
    Здесь будет разбиваться на два уравнения наверно 5х/x+1 = 2 и 5x/x+1 = -2? а потом их решить 5x/x+1 – 2 = 0 и 5x/x+1 + 2 =0 и здесь получится вверху два квадратных уравнения их решить и это будет ответом, или я не правильно делаю?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Юлия, Вы все делаете правильно. Только не забудьте, что x=-1 (корень знаменателя) не может быть решением.

    [Ответить]

    Юлия Reply:

    Спасибо

    [Ответить]

  233. 248 Женя:

    как решить?
    |8x^2+x-18|+|cosx-1|=-2^2006
    требуется найти количество корней
    по моему мнению в ответе будет 0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы правы. Слева стоит сумма двух неотрицательных чисел, а справа – очень большое по модулю отрицательное число.

    [Ответить]

    Женя Reply:

    но там же степень 2006.Значит число будет положительное

    [Ответить]

    Женя Reply:

    а хотя,я ошибся.Так как там под степенью только число 2,без минуса. Но ,как мне кажется, тут загвоздка в том что переменная стоит под знаком косинуса.Поэтому уравнение не имеет смысла и в ответе будет 0.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Косинус определен для всех вещественных x, дело не в нем. Важно, что левая и правая части принимают значения разных знаков, поэтому решений нет.

    [Ответить]

    Женя Reply:

    я уже понял в чем дело.Благодарю

    [Ответить]

  234. 249 Марек:

    Потогите решить: |x-4|(|x-5|+|x-3|)=4(x-4).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Очевидно, что x\ge4, иначе левая и правая части равенства имеют разные знаки. Дальше пример 3.

    [Ответить]

    Марек Reply:

    спасибо за помощь

    [Ответить]

    Марек Reply:

    а скажите ещё здесь на (x-4) сокращать можно?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Марек, смотрите: делить можно только на ненулевое число. Если x-4=0, то получаем верное равенство, значит, это решение. Если же x-4\ne0, то можно сокращать.

    [Ответить]

  235. 250 Alexandra:

    |3х в квадрате + 9х -5| =2-х

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А текст выше Вы читать не пробовали? :)

    [Ответить]

  236. 251 леша:

    |x-4|+|x+1|+|x+5|=12 решите плиззз

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Леша, Ваш пример – пример 3.

    [Ответить]

  237. 252 Юля:

    подскажите,пожалуйста -|-х|=72 не имеет решения?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, решений нет, модуль не может быть отрицательным :)

    [Ответить]

  238. 253 михаил:

    кто-нибудь знает как решать системы уравнений с модулем , а именно :

    [Ответить]

  239. 254 михаил:

    y>=-|x|-1
    и
    y<=3-2|x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Михаил, нарисуйте картинку.

    [Ответить]

  240. 255 Анька:

    Доброго времени суток.
    Пролистала ваши увлекательные разговоры, но не нашла ответа на свой вопрос (возможно,из-за невнимательности).
    Прошу прощения, не подскажете, что делать, если модуль в знаменателе?
    После того, как найдена ОДЗ, как следует поступать? :)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решать можно по стандартному алгоритму, только корни знаменателя на числовой оси нужно отмечать выколотыми точками и не включать их в ответ. :)

    [Ответить]

  241. 256 Анька:

    Если я правильно поняла, то уравнение-дробь раскладывается на два, и получаются уравнение-числитель и уравнение-знаменатель, так?
    Корни числителя на числовой оси-закрашенные, а знаменателя- выколотые?
    Но в таком случае зачем вообще решать это уравнение, если в ответ корни данного включать не надо?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Давайте Ваше уравнение посмотрим, или что-то аналогичное, нужно понять, о чем говорим, здесь может быть по-разному.

    [Ответить]

  242. 257 Елена:

    Добрый день! Помогите пожалуйста с решением, совсем не помню как решать (6 класс), а нужно помочь ребенку.
    Задание: найдите значение выражения a2+b, если a = |-2,7|; b = – (- 4,21).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если я правильно понимаю условие, то a=|-2,7|=2,7; b=-(-4,27)=4,27. Подставляем: a^2+b=2,7^2+4,27=7,29+4,27=11,56.

    [Ответить]

  243. 258 Илья:

    Не просмотрел все комменты, может, уже было.
    В Замечании к Примеру 2 в обоих случаях должно выполняться условие 3х-2>=0 (а не 3х-2<=0 – как указано во 2 случае).
    ОДЗ (область допустимых значений одинакова и когда под модулем выражение больше или равно нуля, и когда оно меньше нуля.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  244. 259 BelieberDusia:

    Привет) а не подскажете, как решить вот такое уравнение:
    (|2x-1|-5,2)*2/3=-2,5
    Заранее спасибо)
    PS. Если что, то * это умножение. Я просто не помню правильно ли так писать его.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сначала |2x-1|=-2,5*3/2+5,2, дальше 2x-1=\pm(-2,5*3/2+5,2) и найти x.

    [Ответить]

  245. 260 Алишер:

    Здравствуйте.Помогите пожалуйста, срочно надо, заранее благодарю!
    1 пример) 2x^2+|x|-3x=0
    2 пример)x^2-|x-5|=5
    3 пример)|5-2x|>1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    1) пример два случая x\ge0 и x<0
    остальные так же

    [Ответить]

  246. 261 надеждушка:

    x^2 + 3|x+1|-1=0 помогите решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Рассмотрите два случая: x\ge-1 и x<-1.

    [Ответить]

  247. 262 виктория:

    2|x+5|-10=25
    3|x-3|+20=0
    КАК РЕШАТЬ!? ПОМОГИТЕ!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласно определению модуля, у второго уравнения решений нет. Первое тоже сразу решается, если знать определение.

    [Ответить]

  248. 263 Дарья:

    Помогите решить |x=x^2|=12

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дарья, если это |x-x^2|=12, то нужно просто решить два квадратных уравнения: x-x^2=12 и x-x^2=-12.

    [Ответить]

  249. 264 Anton:

    /x-4/+5x=8 /-модуль ответ 2?

    [Ответить]

  250. 265 Диана:

    |1-П|

    |√16-√3|
    Как решать,помогите пожалуйста с решением?
    Вообще не могу понять.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Я не могу понять, что здесь решать. Если это все условие, то никакого решения тут быть не может…

    [Ответить]

  251. 266 Гиса:

    gjvjubnt gkbbp |X в квадрате-6x-7|=0

    [Ответить]

  252. 267 Гиса:

    помогите пожалуйста**

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решайте x^2-6x-7=0.

    [Ответить]

  253. 268 Илья:

    |x|+|x-1|+|x-2|=2
    Помогите пожалуйста с решением!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Изучите решение примера 3.

    [Ответить]

  254. 269 Настя:

    Помогите решить:
    4-х=|-x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вот так: 4-x=|x| лучше? А это одно и то же :)

    [Ответить]

    Настя Reply:

    В учебнике задание:
    Докажите что число 2 является корнем уравнения: 4-х=|-x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Тогда просто нужно подставить 2 в уравнение: 4-2=|-2|, что верно, очевидно. Здесь даже решать ничего не нужно :)

    [Ответить]

    Настя Reply:

    Спасибо;)

    [Ответить]

  255. 270 Александра:

    |a|+2,где а=2-^5

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Непонятное условие.

    [Ответить]

  256. 271 Александра:

    помогите вспомнить, пожалуйста

    [Ответить]

  257. 272 Анна:

    ||x+1|-1|=x
    Помогите пожалуйста!!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Анна, в примере 4 написано, как такое решать.

    [Ответить]

  258. 273 Даша:

    помогите пожалуйста |х-8|+|3-х|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Даша, если бы Вы написали, что нужно сделать, все было бы гораздо лучше :)

    [Ответить]

  259. 275 Дмитрий:

    Помогите пожалуйста решить уравнение
    |x^2+x|=2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дмитрий, Вам нужно решить два уравнения: x^2+x=2 и x^2+x=-2.

    [Ответить]

  260. 276 марина:

    Елизавета здравствуйте ! не могу решить задачу ,помогите!! Составьте математическую модель данной ситуации . Из одного пункта ,в противоположных направлениях выехали 2 поезда .Через какое время между ними будет расстояние 120км ,если скорость первого поезда b км/ч,а второго -c км/ч Заранее спасибо !!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Марина: \displaystyle t=\frac{120}{b+c}. Но тут нет модулей ;)

    [Ответить]

  261. 277 макс:

    решите ||х+4|-2х|=3х-1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сделайте так же, как в примере 4.

    [Ответить]

  262. 278 Ангел:

    помогите пожалуста очень нужно и срочно |x+5-|8-x||+x=3

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Читайте ответ на предыдущий комментарий. Ваш пример точно такой же.

    [Ответить]

  263. 279 Кирилл:

    Помогите решить |3-|7-4x||=4|x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решите два уравнения: 3-|7-4x|=4x и 3-|7-4x|=-4x. Как их решать, написано выше.

    [Ответить]

  264. 280 Анна:

    1.Вычислить (1 3/4 :1.125 – 1.75 : 0,(6) )* 1 5/7 + 2.8(3)
    2.Найдите произведение всех корней уравнения (2|x| – 1) в квадрате = |x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    1. Тут нет модулей.
    2. После раскрытия скобок получится квадратное уравнение относительно |x|. Если оно имеет корень x, то -x также будет его корнем. Далее воспользуйтесь теоремой Виета для квадратного уравнения.

    [Ответить]

  265. 281 Тима:

    Как решить:
    1.6|y|+1,8=7.2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решите два уравнения, с y и -y. Однако, сначала Вам нужно понять, что такое модуль, тогда проблем не будет вообще.

    [Ответить]

  266. 282 Naitkin:

    http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-968aa9ecd01ea008b79501bdbe92f567.gif
    ошибка в третьей строчке картинки. должно быть (-3)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила! Только, по-моему, 2.

    [Ответить]

    Naitkin Reply:

    Вы из второй строчки вычитали в каждом неравенстве минус 5. первый промежуток : 2 минус 2 корня из пяти. При переходе к третьей строчке должно быть : минус 3 минус 2 корня из пяти. А там, по-прежнему минус 2 не исправлено. Вот пояснения:) http://ssmaker.ru/a315cdd4.jpg

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, Вы правы. Теперь должно быть верно.

    [Ответить]

  267. 283 Кристина:

    |5x-3|=2x-7
    Как решить?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Кристина, смотрите пример 1.

    [Ответить]

  268. 284 Диана:

    Помогите, пожалуйста, понять ход действий и решить:
    |x^2+|x-5||=7

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сначала рассмотрите случаи x\ge 5 и x<5. Дальше в каждом из этих случаев раскройте один оставшийся модуль (см. пример 2 и замечание к нему).

    [Ответить]

  269. 285 Вероника:

    Помогите!
    |x-1|*|x+2|=4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Это то же самое, что (x-1)(x+2)=\pm4.

    [Ответить]

  270. 286 артём:

    помогите с решением |x+11|=4+|-2| получились ответы x=6 и x=5. заранее спасибо.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Артем, это то же, что и |x+11|=6, т.е. x+11=\pm6.

    [Ответить]

  271. 287 Александр:

    Помогите с решением
    ||x+1| – |x-3|| = |x|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решайте |x+1|-|x-3|=\pm x – это то же самое. И вопрос Вам: почему?

    [Ответить]

  272. 288 Софья:

    Помогите пожалуйста я не могу решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Раскройте модуль. Три случая: x<-2, -2\le x< 2 и x\ge2, получаются различные функции на трех промежутках (на двух промежутках функция одна и та же). Постройте график каждой функции на своем промежутке.

    [Ответить]

  273. 289 Екатерина:

    В 3 примере можно запись сделать немного другую

    [Ответить]

    Екатерина Reply:

    [Ответить]

    Екатерина Reply:

    Ix-1l+lx-2l=x+3
    [x+3>(или)=0;
    x-1+x-2=x+3;
    x-1+x-2=-x-3.

    [x>=-3;
    3x=0;
    x=6.
    [x>=-3;
    x=0;
    x=6.
    Ответ:{0; 6}

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Почему-то Вы еще один случай не рассмотрели…

    [Ответить]

  274. 290 Дмитрий:

    помогите плиз(
    1)l3х-4l=1
    2)l2х+1l=2х
    3)lх-3l+2lх+1l=4
    4)lх^2-4хl=5
    5)lх+3l больше 1
    6)lхl+l-х+3l меньше 5
    7)х^2+2lх+3l-9 больше или равно 0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мне кажется, Вы решили, что тут сделают Ваше домашнее задание :-) Вы ошиблись.

    [Ответить]

  275. 291 Михаил:

    |x-1|²-8=2|x-1| помогите пожалуйста, заранее спасибо

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Введите новую переменную, скажем, t=|x-1|, решите квадратное уравнение относительно t, дальше получатся простые уравнения с модулем.

    [Ответить]

  276. 292 Даша:

    7|x|=2^x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А если так: 7|x|=2|x|^2? :-)

    [Ответить]

  277. 293 Эльмаз:

    помогите пожалуйста.
    |3х+2|=2|2x-3|
    |2х+1|-|3-х|=|4-х|

    [Ответить]

    Эльмаз Reply:

    как это сделать я не знаю пропустила тему

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В самом верху этой страницы написано, как решать такие уравнения. Приведены примеры.

    [Ответить]

  278. 294 Марина:

    помогите решить при каком значении Х верно это неравенство |x|<-8

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Помогаю. Что такое модуль вещественного числа?

    [Ответить]

  279. 295 Потапов Денис:

    как это решается?
    f(x)=x^2+4x+|x^2-1,5x-1|-a

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что тут нужно решить?

    [Ответить]

  280. 296 Толик:

    [x-3]-[x+2]=5

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы что-то хотите спросить? :-)

    [Ответить]

  281. 297 София:

    Помогите пожалуйста, не могу понять как это решать :с
    Задание:
    Найти все значения а, при которых уравнение |2х^2-5х-3|=а, имеет ровно два корня; ровно три корня; ровно четыре корня

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    София, Вам нужно построить график функции y=|2x^2-5x-3| (как это сделать, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/16-preobrazovaniya-grafikov/), а затем найти количество точек пересечения этого графика и графика функции y=a при различных a (на рисунке все будет видно).

    [Ответить]

  282. 298 Елена:

    В первом примере Вы не учли условие (2Х-3) больше или равно 0, т.е Х больше или равен 3/2. Именно поэтому 0 не является корнем уравнения. Проверьте себя, пожалуйста.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Проверила, у меня все правильно. Нет абсолютно никаких противоречий с тем, что Вы написали :-)

    [Ответить]

  283. 299 Алексей:

    Помогите пожалуйста решить…|x+|x-5|-3|=|x-5|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если x\ge 5, то решаем уравнение 2x-8=x-5. Если x<5, то уравнение 5-x=2.

    [Ответить]

  284. 300 Юрий:

    иррациональные неравенства с модулями общий корень из x в 4 минус 3x в 2 плюс 4 больше x в 2 минус 5

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что Вы хотели спросить?

    [Ответить]

  285. 301 Артем:

    |||x|-1|-1|=1
    Как это решается?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пример 4 или раскрывайте с внешнего модуля: ||x|-1|-1=\pm1 и т.д.

    [Ответить]

  286. 302 Таня:

    А как это решить:1\1-0,63|:х|=|-0,9| Тут надо два корня найти

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Выразите отсюда |x|, а потом найдите x.

    [Ответить]

  287. 303 Степан:

    Помогите пожалуйста.
    Найти значение выражения
    |х-4-|х-4||

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Рассмотрите два случая: x\ge4 и x<4, раскройте внутренний модуль. Дальше сделайте то же самое с внешним модулем.

    [Ответить]

  288. 304 Наталья:

    Подкажите.как решить:

    ||A|-|B||=-B-A найти не нулевые 2 числа, 6 класс,которые будут решением

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Должно быть -B-A\ge0, т.е. |A|-|B|=\pm(A+B), откуда |A|=-A,|B|=B,A+B\le0 либо |A|=A,|B|=-B, A+B\le 0. Следовательно, выбираем A и B из условий A\le0,B\ge0,A+B\le0 или A\ge0,B\le0,A+B\le0. Например, A=5, B=-8.

    [Ответить]

  289. 305 Ислам:

    Помогите Пожалуйсто
    (X-4)^2=20+|x-4|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Можно ввести новую переменную t=|x-4|, потом решить уравнение t^2-t-20=0 и найти x, учитывая неотрицательность t.

    [Ответить]

  290. 306 Tuan:

    Будьте добры, помогите пожалуйста.
    ||x| – 2| = 4

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите комментарий 301, в ответе на него написано, как такое решать.

    [Ответить]

  291. 307 Алина:

    Обьясните пожалуйста как это решить(
    |x-2|+|x|=2x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Алина, читайте с самого начала, там подробно объясняется, как решать и Ваше уравнение, и все остальные. Именно Ваш случай — пример 3.

    [Ответить]

  292. 308 Татьяна:

    |x+|x-5|-3|=|x-5| Помогите в решении.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если хотите научиться, читайте с самого начала, особенно обратите внимание на пример 4. Удачи!

    [Ответить]

  293. 309 Эльвин:

    3|х+2|+х^2+6х+2=0; (х-7)^2-|х-7|=30. Помогите пожалуйста решить. Первое я решил у меня получилось -1;-8. И я не знаю правильно это нет. А второе не получается.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В первом -1 и -4. Проверить просто, подставьте вместо x полученные Вами ответы. У Вас должно получиться два уравнения: при x\ge -2 и при x<-2, потом выберете подходящие решения.

    Во втором сделайте замену переменной t=|x-7|, дальше решите квадратное уравнение и простые уравнения с модулем. Удачи!

    [Ответить]

  294. 310 валилина:

    ||2-x|-3|=1 ответ будет -2 и 6?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, только еще 0 и 4.

    [Ответить]

  295. 311 Света:

    Помогите решить пожалуйста
    ||3-2х|-1|=2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Пожалуйста, изучите пример 4.

    [Ответить]

  296. 312 коля:

    0.5×(x-3)=0.6×(4+x)-2.6 помогите

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Коля, я не вижу ни одного модуля…

    [Ответить]

  297. 313 Кристина:

    |x-7|=|2x+4| помогите

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    x-7=\pm(2x+4), решайте эти два уравнения :-)

    [Ответить]

  298. 314 Саша:

    1. |x-2|+|x-5|=3 (найти cумму корней)
    2. |x2(в квадрате)-x+5|-|x+5|=0 (найти произведение корней)
    3. |2x-5|=|7-x| (найти произведение корней)
    4. |2x-8|+|20-5x|=0 (найти сумму коней)
    Помогите, а то я пока остальные делал позапутывался уже(…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    1. Сумма расстояний от точки x до точек 2 и 5 равна 3. Очевидно, что x\in[2,5]. Вам всерьез нужно найти сумму корней? :-)
    2. Равносильное уравнение x^2-x+5=|x+5|.
    3. Ну, тут просто решить нужно.
    4. Это равносильно системе уравнений 2x-8=0,20-5x=0.

    [Ответить]

  299. 315 Максим:

    |x|-2|x+1|+3|x+2|=0 (решить уравнение)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Решение аналогично решению в примере 3.

    [Ответить]

  300. 316 Саша:

    |х2(в квадрате)+4х-21| |x2-x-30|
    ______________________ = _________ (найти кол-во целых корней)
    x2+4x -21 x-x2+30

    [Ответить]

  301. 317 Саша:

    |x2-x-30|
    _________ Это вторая дробь
    x-x2+30

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите, когда обе части равны 1, когда -1 (по-другому не бывает), и посчитатйте корни.

    [Ответить]

  302. 318 Даниил:

    |8-5 х|>17

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    А что Вы хотите?

    [Ответить]

  303. 319 Юлия:

    Помогите решить: ||2x – 3| – 1|=x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам нужно внимательно изучить пример 4.

    [Ответить]

  304. 320 Миллена:

    Помогите решить,пожалуйста
    3|x+2|=|2x+1|-3x+2

    [Ответить]

    Миллена Reply:

    ответ получился -5/8

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    У меня такой же ответ.

    [Ответить]

    Миллена Reply:

    Спасибо за ответ!)

    [Ответить]

  305. 321 Анастасия:

    Помогите , пожалуйста!!!Как решить (3|х|+2)*|1/2х-5|*|2/3-9х|=0 напишите все уровнение по шагово.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам нужно решить три простых уравнения: 3|x|+2=0 (решений нет), 1/2x-5=0 (решение x=10) и 2/3-9x=0 (решение x=2/27). Ответ — все полученные решения. Это все.

    [Ответить]

  306. 322 Анастасия:

    Ответте пожалуйсто

    [Ответить]

  307. 323 Анастасия:

    Спасибо

    [Ответить]

  308. 324 Мария:

    |х²+11х+28|=|х²-14|

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что Вы хотите этим сказать?

    [Ответить]

  309. 325 алексей:

    Как решить???
    | | Х| -2 |= 6

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите комментарий 1.

    [Ответить]

  310. 326 Соня:

    Помогите! Как решить:
    |4х|=2,8

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здесь нужно только определение модуля. x=\pm0,7

    [Ответить]

  311. 327 Никита:

    Задача: “При каком значении а число, равное значению выражения 2а-8, является противоположным себе?”
    Помогите разобраться, пожалуйста!

    [Ответить]

  312. 328 Anton:

    |x-x^2-1|=|2x-3+x^2|
    Что делать? Первое кв.уравнение решений не имеет, а второе > 0 при (-inf; -3) (1; +inf) и < 0 при (-3; 1)
    Совсем запутался.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Антон, поскольку первое кв. уравнение решений не имеет, то мы можем раскрыть модуль так, чтобы получившийся кв. трехчлен принимал только положительные значения, т.е. |x-x^2-1|=x^2-x+1. Далее решаем уравнение
    x^2-x+1=|x^2+2x-3|. Соответственно, можно просто решить два квадратных уравнения: x^2-x+1=\pm(x^2+2x-3).

    [Ответить]

  313. 329 Дмитрий:

    Вы не могли бы объяснить решение данного уравнения? 2^|3x-5|=4*8^|x-1| (модули являются степенями) Я раскрываю как положено все модули, но аргументы во всех трех случаях просто сокращаются. не могу понять как в ответе получается интервал (-∞;1].

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    При x\ge5/3 получаем уравнение \displaystyle\frac{1}{32}\cdot8^x=\frac{1}{2}\cdot8^x, которое решений не имеет.

    При 1\le x < 5/3 получаем уравнение 64=8^{2x}, и его решение x=1.

    При x<1 получаем тождество \displaystyle\frac{32}{8^x}=\frac{32}{8^x}, решение — весь промежуток (-\infty;1).

    Отсюда требуемый ответ.

    [Ответить]

  314. 330 Сергей:

    |2x-1/x+2|< или = 4

    [Ответить]

  315. 331 Лилия:

    Помогите пожалуйста разобраться в уравнениях:/x-6/=/x^-5x+9/ и /2x+8/-/x-5/=12,a так же /x^+3x/=2(x+1)Не могу понять как решаются модульные уравнения

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Выше написано, как решаются такие уравнения.

    [Ответить]

  316. 332 Жанна:

    Помогите пажолуйста
    2x+3|x|-2=4+2(2x-1)-x

    [Ответить]

  317. 333 hairy harry:

    помоги, пожалуйста
    /(x-6)^3 + 28/ = 36
    вот эти палочки // это типа модуль :) )

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение