1. Вещественные числа. Операции над множествами

Множество — совокупность некоторых предметов, которые называются элементами, объединенных по некоторому признаку.

Множество — понятие неопределимое, основное понятие математики.

Примеры. 1) Множество прямоугольников.

2) $A=\{1,2,3\}$ .

3) Множество планет Солнечной системы.

4) $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\}$ — множество натуральных чисел.

Обозначения: $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел; $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел; $\mathbb{R}$ — множество вещественных чисел.

$x\in A$ — $x$ — элемент множества $A$ ;

\emptyset или \{\ \} — пустое множество.

Способы задания множеств

I. Перечисляются все элементы множества

Примеры.

1) $A=\{2;5;3;4\}$ ,

2) $B=\{1;2;3;\ldots;1000\}$ ,

3) $C=\{2;4;6;8;\ldots;20\}$ .

II. Множество задается выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными.

Примеры.

1) $A=\{2n+5|n\in\mathbb{N}\}$ ,

$A=\{7;9;11;13;\ldots\}$ .

2) $B=\{3n+1|n\in\mathbb{Z}\}$ ,

$B=\{\ldots;-5;-2;1;4;7;\ldots\}$ .

3) $X=\{n^2+n-2|n\in\mathbb{Z};-3\le n\le3\}$ ,

$X=\{4;0;-2;10\}$ .

III. Задание множества характеристическим свойством элементов.

Характеристической свойство — свойство, которым обладают все элементы множества и больше ничего.

Примеры.

1) $A=\{ x|x^2=4\}$ ,

2) $B=\{ x| x^5+5x+5=0\}$ ,

3) $C$ — множество всех натуральных $n$ , для которых уравнение

$x^n+y^n=z^n$

разрешимо в натуральных числах.

Пример. Верно или нет следующее

1) $2\in\left\{ x| 2x^3-3x^2+1=0\right\}$ ?

Неверно, так как $2\cdot2^3-3\cdot2^2+1\ne0$ .

2) $\displaystyle-3\in\left\{ x|{x^3-1\over x^2+2}<-2\right\}$ ?

Верно, так как $\displaystyle{(-3)^3-1\over (-3)^2+2}<-2$ .

3) $\displaystyle3\in\left\{ {2n+1\over 3n-2}| n\in\mathbb{N}\right\}$

Верно, так как $\displaystyle{2n+1\over 3n-2}=3$ при $n=1\in\mathbb{N}$ .

Задачи. Верно ли следующее

1) $\displaystyle5\in\left\{ x|{2x^3+7x^{47}\over 1-x}=145\right\}$ ;

2) $\displaystyle3\in\left\{{5n^2-5n\over 6}| n\in\mathbb{N}\right\}$ ;

3) $2\in\left\{ n^2+n| n\in\mathbb{Z}\right\}$ ;

4) Каждый элемент множества $\{1;-1;2\}$ принадлежит множеству $\{ x|x^3+x^2-x-1=0\}$ ;

5) Каждый элемент множества $\{x| 2x-3=2x^3-5x^2+x+3\}$ принадлежит множеству

$\displaystyle\left\{ x|{2x-3\over 2x^3-5x^2+x+3}=1\right\}?$

Определение. Множество $B$ называется подмножеством множества $A$ , если каждый элемент множества $B$ является элементом множества $A$ .

Обозначение. $B\subset A$ .

Определение. Объединением множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.

$A\cup B=\{ x|x\in A$ или $x\in B\}.$

Примеры.

1) $A=\{1;2;3;4\},\ B=\{3;4;5\}$ , $A\cup B=\{1;2;3;4;5\}.$

2) $\displaystyle A=\{2n+1|n\in\mathbb{Z}\},\ B=\{2n|n\in\mathbb{Z}\}</tex>, <tex>A\cup B=\mathbb{Z}$ ,

3) $A=\{n\in\mathbb{Z}|n\not\vdots6\},\ B=\{n\in\mathbb{Z}|n\not\vdots9\}$ ,
$A\cup B=\{n\in\mathbb{Z}|n\not\vdots18\}$ ,

$A\cup B=\{\dots;1;2;3;4;5;6;7;8;9\ldots\}.$

Определение. Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

$A\cap B=\{ x|x\in A\& x\in B\}.$

Примеры.

1) $A=\{ n\in\mathbb{Z}|n\vdots5\},\ B=\{ n\in\mathbb{Z}|n\vdots3\}$ ,

$A\cap B=\{ n\in \mathbb{Z}|n\vdots15\}.$

2) $A=\{2n|n\in\mathbb{Z}\},\ B=\{ 7n|n\in\mathbb{Z}\}$ ,

$A\cap B=\{14n|n\in\mathbb{Z}\} .$

3) $A$ — множество всех ромбов, $B$ — множество всех
прямоугольников, $A\cap B$ — множество всех квадратов.

4) $B\subset A,\ A\cap B=B,\ A\cup B=A$ .

Определение. Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество всех элементов множества $A$ , которые не принадлежат множеству $B$ .

Обозначение. $A\setminus B=\{ x\in A|x\not\in B\}$ .

Для наглядности операции над множествами будем иллюстрировать рисунками. Множества будем изображать в виде кругов на плоскости.

Замечание. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера — Венна. Леонард Эйлер (1707–1783) — выдающийся математик, механик и физик, длительное время живший и работавший в Петербурге. Джон Венн (1834–1923) — английский логик.

На рисунке приведена диаграмма Эйлера — Венна, поясняющая определение объединения множеств $A$ и $B$ .

Примеры.

1) $A=\{ 2n|n\in\mathbb{Z}\},\ B=\{ 4n+2|n\in\mathbb{Z}\}$ ,

$A\setminus B=\{4n|n\in\mathbb{Z}\} .$

2) $A$ — множество ромбов, $B$ — множество прямоугольников, $A\setminus B$ — множество ромбов, не являющихся квадратами.

Задачи. Найдите объединение, пересечение и разность множеств

1) $A=\{1;2;3;4;5\},\ B=\{3;7;1;9\}$ ,

2) $A=\{ n\in\mathbb{N}|n\vdots2\},\ B=\{ n\in\mathbb{N}|n\vdots18\}$ ,

3) Докажите утверждение

$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) .$

4) $A=\{3n-1|n\in\mathbb{N}\},\ B=\{5n+2|n\in\mathbb{N}\}$ , $C=\{2n+1|n\in\mathbb{N}\}$ . Найдите а) $A\cap B$ ; б) $A\cap B\cap C$ ; в) $(A\cap B)\cup C$ .

Пример. Знание определений операций над множествами позволяет доказывать равенство множеств, полученных в результате применения этих операций. Так, например, докажем свойство операций объединения и пересечения

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).$

Для доказательства равенства множеств $X$ и $Y$ нам необходимо доказать, что каждый элемент множества $X$ является элементом множества $Y$ и обратно, каждый элемент множества $Y$ является элементом множества $X$ .

Пусть $x\in A\cup(B\cap C)$ . Тогда либо $x\in A$ , либо $x\in B\cap C$ . Если $x\in A$ , то $x\in A\cup B$ и $x\in A\cup C$ , а следовательно, по определению пересечения множеств, $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$ . Если $x\in B\cap C$ , то $x\in B$ и $x\in C$ . Следовательно, $x\in A\cup B$ и $x\in A\cup C$ , откуда $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$ . Тем самым, мы доказали, что

$A\cup(B\cap C)\supset(A\cup B)\cap(A\cup C).$

Пусть $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$ . Тогда $x\in A\cup B$ и $x\in A\cup C$ . Следовательно, $x\in A$ , или $x\in B$ и $x\in C$ ,
откуда, по определению объединения множеств, $x\in A\cup(B\cap C)$ . Тем самым, мы доказали, что

$A\cup(B\cap C)\subset(A\cup B)\cap(A\cup C).$

Следовательно, имеем равенство

$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C).$

Замечание. Диаграмма Эйлера — Венна, иллюстрирующая свойство операции над множествами, ни в коем случае доказательством не является! Это просто иллюстрация к тому, о чем говорится.

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 4

1 Конспект по математическому анализу | Математика, которая мне нравится:

[...] выложен первый параграф Вещественные числа. Операции над множествами Рубрика: Новости | Отзывы (RSS) [...]
9 Апрель 2011, 0:16
2 Изящный беспорядок | Математика, которая мне нравится:

[...] идею случайного блуждания, был Джон Венн (см. также диаграммы Эйлера — Венна). Он также использовал цифры числа , но он исключил [...]
4 Март 2012, 0:05
3 wimar:

касательно доказательств объединение множества с пересечением двух множеств выглядит слабым и неубедительным… особенно с частым употреблением слово следовательно….уверен … кто пытается отследить логику доказательств будет чертыхаться и в итоге плюнет и уйдёт искать более убедительное в логике доказательств..

удачи…

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 24th, 2013 at 13:51
Слово следовательно стоит на своем месте. Не вижу слабости логики. Логика или есть, или ее нет. Что Вы понимаете под более убедительной логикой? Если есть ошибки, назовите. Если их нет, то о чем вообще идет речь?

[Ответить]
24 Октябрь 2013, 1:31

Математика, которая мне нравится

1. Вещественные числа. Операции над множествами

Комментариев: 4

1 Конспект по математическому анализу | Математика, которая мне нравится:

2 Изящный беспорядок | Математика, которая мне нравится:

3 wimar:

Оставьте свой отзыв

Навигация по сайту

Разделы

Новые комментарии

Подписка на обновления сайта