Математика, которая мне нравится

Множество — совокупность некоторых предметов, которые называются элементами, объединенных по некоторому признаку.

Множество — понятие неопределимое, основное понятие математики.

Примеры. 1) Множество прямоугольников.

2) .

3) Множество планет Солнечной системы.

4) — множество натуральных чисел.

Обозначения: — множество рациональных чисел; — множество целых чисел; — множество вещественных чисел.

— — элемент множества ;

\emptyset или \{\ \} — пустое множество.

Способы задания множеств

I. Перечисляются все элементы множества

Примеры.

1),

2) ,

3) .

II. Множество задается выражением с указанием значений, принимаемых входящими в это выражение переменными.

Примеры.

1) ,

.

2) ,

.

3) ,

.

III. Задание множества характеристическим свойством элементов.

Характеристической свойство — свойство, которым обладают все элементы множества и больше ничего.

Примеры.

1) ,

2) ,

3) — множество всех натуральных , для которых уравнение

разрешимо в натуральных числах.

Пример. Верно или нет следующее

1) ?

Неверно, так как .

2) ?

Верно, так как .

3)

Верно, так как при .

Задачи. Верно ли следующее

1) ;

2) ;

3) ;

4) Каждый элемент множества принадлежит множеству ;

5) Каждый элемент множества принадлежит множеству

Определение. Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .

Обозначение. .

Определение. Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих множеств.

или

Примеры.

1) ,

2) ,

3) ,
,

Определение. Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Примеры.

1) ,

2) ,

3) — множество всех ромбов, — множество всех
прямоугольников, — множество всех квадратов.

4) .

Определение. Разностью множеств и называется множество всех элементов множества , которые не принадлежат множеству .

Обозначение. .

Для наглядности операции над множествами будем иллюстрировать рисунками. Множества будем изображать в виде кругов на плоскости.

Замечание. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера — Венна. Леонард Эйлер (1707–1783) — выдающийся математик, механик и физик, длительное время живший и работавший в Петербурге. Джон Венн (1834–1923) — английский логик.

На рисунке приведена диаграмма Эйлера — Венна, поясняющая определение объединения множеств и .

Примеры.

1) ,

2) — множество ромбов, — множество прямоугольников, — множество ромбов, не являющихся квадратами.

Задачи. Найдите объединение, пересечение и разность множеств

1) ,

2) ,

3) Докажите утверждение

4) , . Найдите а) ; б) ; в) .

Пример. Знание определений операций над множествами позволяет доказывать равенство множеств, полученных в результате применения этих операций. Так, например, докажем свойство операций объединения и пересечения

Для доказательства равенства множеств и нам необходимо доказать, что каждый элемент множества является элементом множества и обратно, каждый элемент множества является элементом множества .

Пусть . Тогда либо , либо . Если , то и , а следовательно, по определению пересечения множеств, . Если , то и . Следовательно, и , откуда . Тем самым, мы доказали, что

Пусть . Тогда и . Следовательно, , или и ,
откуда, по определению объединения множеств, . Тем самым, мы доказали, что

Следовательно, имеем равенство

Замечание. Диаграмма Эйлера — Венна, иллюстрирующая свойство операции над множествами, ни в коем случае доказательством не является! Это просто иллюстрация к тому, о чем говорится.