9. Схема Бернулли. Понятие о законе больших чисел
Пусть производится независимых испытаний, причем вероятность появления события
в каждом испытании равна
, тогда вероятность наступления события
равна
.
Найдем вероятность того, что при испытаниях событие
наступит
раз
.
Пусть событие наступило в первых
испытаниях
раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения (
раз,
раз):
Общее число сложных событий, в которых наступает
раз, равно числу сочетаний из
элементов по
> элементов. При этом вероятность каждого сложного события:
. Так как эти сложные события несовместны, то вероятность суммы равна сумме их вероятностей.
Итак, если есть вероятность появления события
раз в
испытаниях, то
Эта формула называется формулой Бернулли.
Пример. Пусть всхожесть семян моркови составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Решение. а) В данном случае . Применяя формулу Бернулли, получим
б) Искомое событие состоит в том, что из четырех семян взойдут либо три, либо четыре. По теореме сложения вероятностей .
Но .
Поэтому .
Мы уже определяли понятие вероятности в классической схеме и геометрически. Существуют еще и другие определения вероятности. Рассмотрим статистическое определение.
Существует множество примеров испытаний со случайными исходами, которые могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Назовем частотой какого-либо случайного события в данной серии из
испытаний отношение
числа
тех испытаний, в которых событие
наступило, к общему их числу. Наличие у события
при определенных условиях вероятности, равной
, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события
приблизительно равна
. Так, например, различные исследователи проводили опыты по бросанию монеты (
испытаний,
— число выпадений “герба”):
И чем больше число испытаний , тем реже встречаются сколь-нибудь значительные отклонения частоты
от вероятности
— частота отклонений становится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом больших чисел в форме Бернулли.
Теорема. Пусть вероятность наступления некоторого события в последовательности
независимых испытаний постоянна и равна
, пусть
— число появлений события
во всех
испытаниях. Тогда для любых
при достаточно большом
имеет место неравенство
Доказательство. Вычислим суммы:
Ясно, что
Теперь
Итак,
Далее
Первая сумма правой части нам известна, поэтому
Таким образом,
Поскольку события и
противоположны, то
В силу теоремы сложения вероятностей
где сумма распространена на те значения , для которых
. Но для этих значений
и поэтому
где сумма по-прежнему распространена на те значения , для которых
. Очевидно, что эта сумма может быть только увеличена, если распространить ее на все значения
от 0 до
. Следовательно, используя приведенные выше равенства, получаем
Отсюда видно, что для любого положительного мы можем сделать вероятность
сколь угодно близкой к 1. Теорема доказана.
И еще одно — аксиоматическое — определение вероятности.
Пусть задано вероятностное пространство, т.е. тройка , где
— непустое множество, элементы
которого интерпретируются как взаимно исключающие исходы изучаемого явления;
— набор подмножеств множества
, называемых событиями (предполагается, что множество
содержит
и замкнуто относительно взятия противоположного события и суммы событий, т.е.
является алгеброй); вероятность
— функция, определенная на событиях
и удовлетворяющая следующим условиям:
1. при любом
;
2. ;
3. , если
при любых
.
Задачи.
1. Круг разделен на равных секторов. В круг наудачу бросают шарик.
а) Пусть . Выясните, сколько раз надо бросить шарик, чтобы вероятность попадания хотя бы один раз в отмеченный сектор была больше 0,5.
б) Пусть . Выясните, какова вероятность того, что при 10 бросаниях шарика будет ровно два попадания в отмеченный сектор.
в) Шарик бросают в круг раз. Докажите, что вероятность
того, что при этом не будет ни одного попадания в отмеченный сектор, меньше 0,5.
г) Найдите в условиях предыдущего пункта .
2. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании трех монет. Найдите вероятность того, что хотя бы в одном испытании появятся три “герба”.
3. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна . Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:
а) не будет искажено;
б) содержит ровно 3 искажения;
в) содержит не более трех искажений?
4. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три единицы.
Оставьте свой отзыв