8. Геометрические вероятности

Когда мы рассматривали классическое определение вероятности, мы имели дело всегда с конечным числом элементарных событий, т.е. число возможных исходов данного испытания было конечно. Однако, иногда результатов испытания — событий — может бесконечное число. Так, например, если испытание — выбор точки из отрезка [0,1]. В данном случае мы тоже можем определить вероятность наступления того или иного события, но несколько иначе, чем в классическом случае.

Замечание. В дальнейшем нам понадобится понятие меры множества. Если рассматривать множества на прямой, т.е. отрезки, то их мерой будет длина, на плоскости — фигуры — площадь, в простанстве — тела — объем.

Определение. Пусть \Omega — множество в n-мерном пространстве (n=1,2,3), объем которого \mu(\Omega) конечен. Множество событий состоит из всех измеримых (имеющих объем) подмножеств A\subset\Omega. Вероятность наступления события A тогда определяется равенством

\displaystyle P(A)={\mu(A)\over \mu(\Omega)}.

Определение. Предыдущее равенство называется геометрическим определением вероятности.

Замечание. В классическом случае для определения вероятности мы считали число элементарных событий, т.е. мощность множества, которую тоже можно считать мерой множества, так же, как и объем. Вероятность часто называют вероятностной мерой.

Замечание. От того, какую меру мы выберем, будет зависеть и вероятность интересующих нас событий. Так, известен парадокс Бертрана. Решается следующая задача. В круге случайным образом проводится хорда. Найти вероятность того, что ее длина будет больше длины стороны правильного вписанного треугольника.

Если мы считаем, что один конец хорды закреплен, а другой случайным образом попадает на окружность, то вероятность равна 1/3.

Если же считать, что проводим хорды перпендикулярно некоторому диаметру, то получим 1/2.

Для геометрической вероятности, как и в классическом случае, определяется условная вероятность \displaystyle P(A/B)={P(AB)\over P(B)}, независимость событий (P(A/B)=P(A)), справедливыми будут и теорема о вероятности суммы событий, и теорема умножения вероятностей, и формула полной вероятности, и теорема Байеса.

Докажем здесь теорему о вероятности суммы событий. В доказательстве ее в классическом случае мы пользовались классическим определением вероятности. Все остальные определения и теоремы были даны и доказаны уже безотносительно классической схемы.

Теорема. Для несовместных событий A и B

P(A+B)=P(A)+P(B).

Доказательство. Действительно, так как события A и B несовместны, то \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B) по аддитивности объема (объем объединения двух непересекающихся фигур равен сумме их объемов). Тогда

\displaystyle {\mu(A\cup B)\over \mu(\Omega)}={\mu(A)\over \mu(\Omega)}+{\mu(B)\over \mu(\Omega)},

откуда и следует утверждение теоремы.

Задачи.
1. Наудачу выбирают неотрицательное число x такое, что x\le3. Какова вероятность того, что x\ge1?

2. Наудачу выбирают числа x и y, такие, что x\in[0,2], y\in[0,1]. Ответьте на следующие вопросы:

1) Какова вероятность того, что \displaystyle x\le\frac{1}{3},y\ge\frac{2}{3}?

2) Какова вероятность того, что y\ge 2x?

3) Какова вероятность того, что \displaystyle xy\ge\frac{1}{4}?

4) Какова вероятность того, что y\ge\sin x?

2. На отрезке AB выбираются наудачу точки C и D. Ответьте на следующие вопросы:

1) Какова вероятность того, что точка D правее точки C?

2) Какова вероятность того, что |BD|\ge|AC|?

3) Какова вероятность того, что |AC|\ge|BD| и D лежит справа от C?

4) Какова вероятность того, что D лежит справа от C и из трех отрезков AC, CD и DB можно составить треугольник?

3. Наудачу составляют квадратный трехчлен x^2+px+q, такой, что |p|\le5,|q|\le5. Ответьте на следующие вопросы:

1) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет вещественные корни разных знаков?

2) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет вещественные корни?

3) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет два положительных корня?

4) Какова вероятность того, что этот квадратный трехчлен имеет два корня, большие единицы?

4. Два незнакомых мафиози пытаются убить друг друга. Первый приходит к месту встречи от 12.00 до 13.00, мгновенно и незаметно оставляет мину, которая взорвется через 10 мин., ждет 5 мин. и уходит, второй также приходит от 12.00 до 13.00, оставляет свою мину, которая взорвется через 15мин., ждет 10 мин. и уходит. Ответьте на следующие вопросы:

1) Какова вероятность того, что мафиози встретятся?

2) Какова вероятность гибели второго мафиози?

3) Какова вероятность гибели первого мафиози?

4) Какова вероятность гибели обоих мафиози?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение