7. Свойства случайных событий

Теорема (сложение вероятностей несовместных случайных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B).

Доказательство. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n; событию A благоприятствуют k элементарных событий, событию Bl элементарных событий. Так как A и B – несовместные события, то ни одно из элементарных событий U_1,U_2,\ldots,U_n не может одновременно благоприятствовать и событию A, и событию B. Следовательно, событию A+B будет благоприятствовать k+l элементарных событий. По классическому определению вероятности имеем

\displaystyle P(A)={k\over n};P(B)={l\over n};P(A+B)={k+l\over n},

откуда и следует утверждение теоремы.

Точно так же теорема о сумме вероятностей формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместных событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. По определению противоположных событий имеем A+\bar{A}=U, где U — достоверное событие: A и \bar{A} несовместны. Отсюда

P(A+\bar{A})=P(U)=1;P(A+\bar{A})=P(A)+P(\bar{A}).

Задача. Докажите, что вероятность невозможного события P(\emptyset) равна 0.

Пример. При стрельбе по мишени вероятность выбить 10 очков равна 0,2, а вероятность выбить 9 очков равна 0,5. Чему равна вероятность выбить не менее 9 очков?

Пусть событие A — выбить 9 очков, событие B — выбить 10 очков. Тогда A+B — выбить не менее 9 очков. События A и B несовместны. Поэтому

P(A+B)=P(A)+P(B)=0{,}5+0{,}2=0{,}7.

Теорема. Для произвольных событий A и B

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Доказательство. Пусть событие C состоит из элементарных событий, благоприятствующих событию B, но не благоприятствующих A. Тогда AC=\emptyset,C+AB=B,A+B=A+C и имеем

P(A+B)=P(A)+P(C),P(B)=P(C)+P(AB).

Исключая C из этих равенств, получаем

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Справедливо также обобщение формулы суммы вероятностей на произвольное конечное число событий. Пусть A=A_1+A_2+\ldots+A_n. Тогда

\displaystyle P(A)=\sum_{i=1}^nP(A_i)-\sum_{i<j}P(A_iA_j)+\sum_{i<j<k}P(A_iA_jA_k)-\ldots+(-1)^{n+1}P(A_1\ldots A_n).

Упражнение. Докажите эту формулу.

Пример. Четыре поздравительных открытки случайно разложены по четырем конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт.

Решение. Различных расположений открыток по конвертам 4!=24. Событие A — хотя бы одна открытка попала в свой конверт — можно представить в виде

A=A_1+A_2+A_3+A_4,

где A_ii-я открытка попала в свой конверт. Находим

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
P(A_i)={3!\over 4!}={1\over 4}, P(A_iA_j)={2!\over 4!}={1\over 12},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
P(A_iA_jA_k)=P(A_1A_2A_3A_4)={1\over 4!}={1\over 24}.<br />
\end{array}
По формуле суммы вероятностей находим

\displaystyle P(A)=4\cdot{1\over 4}-{\sf C}_4^2\cdot{1\over 12}+{\sf C}_4^3\cdot{1\over 24}-{1\over 24}={5\over 8}.

Задача. Пять человек пришли в гости и оставили свои шляпы в гардеробе. Уходя, каждый из гостей взял шляпу “наудачу”. Чему равна вероятность того, что каждый надел чужую шляпу?

Условные верояности

Часто возникает необходимость определить вероятность события A после того, как стало известно, что произошло некоторое событие B. Так, если нам нужно определить вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости, а известно, что выпало число очков, меньшее 4; это означает, что наступлению интересующего нас события благоприятствует только один из трех возможных исходов.

Определение. Условной вероятностью события A при условии, что наступило событие B, называется отношение числа тех благоприятствующих A исходов, которые благоприятствуют и B, к числу всех исходов, благоприятствующих B:

\displaystyle P(A/B)=P_B(A)={k\over m}.

Здесь k — число исходов, благоприятствующих событию AB, m — число исходов, благоприятствующих событию B из общего числа N исходов.

Если B — невозможное событие, то будем считать, что вероятность P(A/B) не определена.

Заметим, что

\displaystyle P(A/B)={k/n\over m/n},\ P(AB)={k\over n},\ P(B)={m\over n}.

Поэтому

\displaystyle P(A/B)={P(AB)\over P(B)}.

Эта формула служит определением условной вероятности в общем случае.

Пример. Брошено две игральные кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти условную вероятность того, что выпали две пятерки, если известно, что сумма выпавших очков делится на 5.

Решение. Пусть событие A — выпало две пятерки, событие B — сумма выпавших очков делится на 5. Различных комбинаций выпавших очков 36. Ясно, что

\displaystyle P(AB)={1\over 36},P(B)={7\over 36}\Longrightarrow P(A/B)={1/36\over 7/36}={1\over 7}.

Задачи.

1. Из колоды карт (36 карт) вынимают наудачу карту. Чему равна вероятность того, что эта карта окажется тузом?

2. Предположим теперь, что вынутая карта оказалась черной. Чему равна условная вероятность вынуть туза при этом условии?

Определение. Событие A называется независимым от события B, если имеет место равенство

P(A/B)=P(A).

Пусть события A и B не являются невозможными. Если A независимо от B, то и B независимо от A. Действительно,

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
P(A/B)=P(A)={P(AB)\over P(B)}\Longrightarrow P(AB)=P(A)P(B),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
P(B/A)={P(A)P(B)\over P(A)}=P(B).<br />
\end{array}

Задача. Нарисуйте два подмножества квадрата, такие, что два события: попадание в каждое из этих множеств при стрельбе по квадрату — будут независимыми.

Теорема (умножения вероятностей). Для произвольных событий

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B).

Следствие. Для независимых событий

P(AB)=P(A)P(B).

Теорема. Пусть для событий A,B_1,B_2,\ldots,B_k определены и отличны от нуля вероятности P(B_1),P(B_2),\ldots,P(B_k) и P(A/B_1),P(A/B_2),\ldots,P(A/B_k). Пусть A\subset B_1+B_2+\ldots+B_k и события B_i попарно несовместны. Тогда

P(A)=P(B_1)P(A/B_1)+P(B_2)P(A/B_2)+\ldots+P(B_k)P(A/B_k)

— это формула полной вероятности.

Пример. Партия деталей содержит 20% деталей, изготовленных заводом I, 30% — заводом II, 50% — заводом III. Для завода I вероятность выпуска бракованной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для завода III — 0,06. Чему равна вероятность, что наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?

Решение. Введем события: A — выбранная деталь окажется бракованной, B_1,B_2,B_3 — деталь изготовлена соответственно заводом I, II, III.

Известны вероятности:

\begin{array}{l}<br />
P(B_1)=0{,}2,P(B_2)=0{,}3,P(B_3)=0{,}5\\<br />
P(A/B_1)=0{,}05,P(A/B_2)=0{,}01,P(A/B_3)=0{,}06.<br />
\end{array}

По формуле полной вероятности находим

P(A)=0{,}2\cdot0{,}05+0{,}3\cdot0{,}01+0{,}5\cdot0{,}06=0{,}043.<br />

Следствие (теорема Байеса). Пусть события B_i попарно несовместны и A\subset B_1+B_2+\ldots+B_k. Тогда

\displaystyle P(B_i/A)={P(B_i)P(A/B_i)\over \displaystyle\sum_{j=1}^kP(B_j)P(A/B_j)}.

Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей

P(AB)=P(B/A)P(A),\<br />
P(AB)=P(A/B)P(B)

следует формула Байеса

\displaystyle P(B/A)={P(B)P(A/B)\over P(A)}.

Подставим в эту формулу выражение для P(A) по формуле полной вероятности и положим B=B_j, получим утверждение теоремы Байеса.

Пример. Пусть выполнены условия примера о бракованных деталях. Наудачу выбранная деталь из партии оказалась бракованной. Чему равна вероятность, что она была изготовлена заводом I?

Решение. Нам нужно найти вероятность P(B_1/A). По теореме Байеса

\displaystyle P(B_1/A)={P(B_1)P(A/B_1)\over \displaystyle\sum_{j=1}^3P(B_j)P(A/B_j)}={0{,}2\cdot0{,}05\over 0{,}043}\approx0{,}233.

Задачи.

1. По каналу связи передается одна из последовательностей букв AAAA, BBBB, CCCC с вероятностями p_1,p_2,p_3 (p_1+p_2+p_3=1). Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью \alpha и с вероятностью \displaystyle {1\over 2}(1-\alpha) принимается за одну из двух других букв. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано AAAA, если принято ABCA.

2. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.

3. Упрощенная схема контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате k-й проверки (k=1,2) изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью \beta_k, а бракованное изделие принимается с вероятностью \alpha_k. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найдите вероятности событий:

а) бракованное изделие будет принято;

б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

3. Среди 25 экзаменационных билетов 5 “хороших”. Два студента по очереди берут по одному билету. Найдите вероятность того, что:

а) первый студент взял “хороший” билет;

б) второй студент взял “хороший” билет;

в) оба студента взяли “хорошие” билеты.

4. События A и B независимы. Являются ли независимыми события

а) A и \bar{B},

б) \bar{A} и \bar{B}?

5. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1-\beta. Вероятность принять здорового человека за больного равна \alpha. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна \gamma.

а) Найдите условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

б) Вычислите эту вероятность при числовых значениях: 1-\beta=0{,}9, \alpha=0{,}01, \gamma=0{,}001.

Комментариев: 2

  1. 2 Еще немного о вероятностях | Математика, которая мне нравится:

    [...] в чем тонкость: мы рассматриваем условные вероятности! Вероятность иметь на руках двух тузов при условии, [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение