6. Теория вероятностей

Возникновение теории вероятностей относится к XVII веку и связано с комбинаторными задачами азартных игр. Первым руководством по теории вероятностей был трактат Гюйгенса “О расчетах в азартной игре” (1657 г.). Предмет его тот же, что и в предшествовавших работах Ферма и Паскаля: игральные кости и карточные игры. В 1713 г. вышла книга Якоба Бернулли “Искусство предположений” уже после смерти автора. Занимались задачами теории вероятностей П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров и др.

Основной объект теории вероятностей — случайность или неопределенность, связанная с незнанием. Однако увеличение наших знаний требует и развития теории вероятностей. Дело в том, что точных, детерминированных количественных законов почти не существует. Так, закон о зависимости давления газа от его температуры — есть на самом деле результат вероятностного характера о числе соударений частиц о стенки сосуда и их скоростях. Просто в области обычных температур и давлений случайные отклонения, которые тут имеют место, с большой вероятностью очень малы и не регистрируются нашими приборами. Иначе обстоит дело при изучении более редких потоков частиц, скажем, космического излучения, хотя качественной разницы между этими двумя примерами нет.

Известен также принцип неопределенности, в силу которого для любой пары физических характеристик, связанных этим принципом, фиксация одной из них делает невозможным точное определение другой.

Вопрос в том, когда следует применять методы теории вероятностей, а когда нет, для изучения данного явления. Это определяется степенью точности, с которой изучается явление, и сведениями о его природе, которыми мы располагаем.

Основные понятия

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытаниями. Примеры испытаний: бросание монеты, извлечение шара из урны, бросание игральной кости. Примеры событий: выпадение герба или цифры, взятие белого или черного шара, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используются заглавные буквы латинского алфавита: A,B,C и т.д.

Определение. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие A — появление четырех очков. Событие B — появление четного числа очков. События A и B — совместные.

Определение. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие A — появление четырех очков. Событие B — появление двух очков.

Определение. Два события A и \bar{A} называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Пример. Испытание: бросание монеты. Событие A — выпадение герба, событие \bar{A} — выпадение решки.

Определение. Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие A — вынут белый шар — достоверное; событие B — вынут черный шар — невозможное.

Определение. Событие A называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие A_6 — выпадение шести очков при бросании игральной кости — случайное.

Определение. Суммой событий A+B называется событие C=A+B, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий A или B.

Пример. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие A — попадает в мишень первый стрелок, событие B — попадает в мишень второй стрелок. Суммой событий A и B будет событие C=A+B — попадает в мишень по крайней мере один стрелок.

Аналогично суммой конечного числа событий A_1,A_2,\ldots,A_k называется событие A_1+A_2+\ldots+A_k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A_i\quad (i=\overline{1,k}).

Из определения суммы событий непосредственно следует, что A+B=B+A. Справедливо также и сочетательное свойство. Однако A+A=A, а не 2A, как в алгебре.

Определение. Произведением событий AB называется событие C=AB, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие A, и событие B.

Аналогично произведением конечного числа событий A_1,A_2,\ldots,A_k называется событие A_1A_2\cdot\ldots\cdot A_k, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

Пример. В предыдущем примере произведением событий A и B будет событие C=AB, состоящее в попадании в мишень двумя стрелками.

Из определения произведения событий непосредственно следует, что AB=BA. Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако AA=A (а не A^2).

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов — результатов испытаний, т.е. событий.

Определение. Говорят, что совокупность испытаний образует полную группу событий для данного испытания, если ее результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Пример. Полными группами событий являются: выпадение герба и выпадение решки при одном бросании монеты; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости; попадание в цель и промах при одном выстреле.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий U_1,U_2,\ldots,U_n, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом испытании осуществление каждого из событий U_i\quad (i=\overline{1,n}) равновозможно, т.е. условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение. События U_1,U_2,\ldots,U_n, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, будем называть элементарными событиями.

Пример. Пусть U_i — событие, состоящее в том, что при одном бросании кости выпадает грань с цифрой i. Тогда события U_1,U_2,\ldots,U_6 образуют полную группу попарно несовместных событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U_1,U_2,\ldots,U_6 являются равновозможными, т.е. элементарными.

Определение. Событие A называется благоприятствующим событию B, если наступление события A влечет за собой наступление события B.

Пример. Пусть при бросании игральной кости события U_2, U_4 и U_6 — появление соответственно двух, четырех и шести очков и A — событие, состоящее в появлении четного числа очков; события U_2,U_4,U_6 благоприятствуют событию A.

Определение (классическое определение вероятности). Вероятностью P(A) события A называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий, т.е.

\displaystyle P(A)={m\over n}.

Пример. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие A — выпадение герба и событие B — выпадение решки образуют полную группу несовместных и равновозможных событий для данного испытания. Событию A благоприятствует лишь одно событие — само A. Поэтому P(A)=1/2.

Пример. Найдем вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число очков (событие A). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому P(A)=3/6=1/2.

Из классического определения вероятности следует:

1. вероятность достоверного события равна единице;
2. верояность невозможного события равна нулю;
3. вероятность случайного события есть положительное рациональное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. 0<P(A)<1;
4. элементарные события являются равновероятными, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

Задачи.

1. В классе учится m человек, среди них n отличников. Ответьте на следующие вопросы.

1) Наудачу выбирают одного ученика. Какова вероятность, что он будет отличником?

2) Наудачу выбирают k учеников. Какова вероятность, что среди них будет ровно s отличников?

2. Калиф-Аист забыл волшебное  слово “мутабор” и произносит слова наудачу. Ответьте на следующие вопросы для случаев, когда Калиф делает одну попытку и 10 попыток.

1) Какова вероятность, что он угадает, если он помнит длину заветного слова и все его буквы?

2) Какова вероятность, что он угадает, если он все верно помнит про все буквы заветного слова, кроме буквы “р”, про которую не уверен, одна она в слове или их там две?

3) Какова вероятность, что он угадает, если он помнит, что в слове не было никаких букв, кроме “м”, “у”, “т”, “а”, “б”, “о”, “р”, и помнит длину слова (входили ли эти буквы в слово и по скольку раз, он не помнит)?

4) Какова вероятность того, что Калиф произнесет слово, в котором будет сочетание букв “табу”, если он помнит длину слова и все входящие в него буквы?

Комментариев: 18

  1. 1 Тесты и теория вероятностей | Математика, которая мне нравится:

    [...] Во-первых, когда мы говорим о вероятности, а не чем-либо другом, нужно использовать интуицию. И здесь интуиция совпадает с правилом Лапласа, которое названо по имени французского математика Пьера Симона Лапласа (см. здесь): [...]

  2. 2 Математическое ожидание | Математика, которая мне нравится:

    [...] игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория, как и любая другая математическая теория, [...]

  3. 3 name:

    Следует говорить теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, научили! ;) Видимо, сейчас действительно оно так. Исправляю :)

    [Ответить]

  5. 5 SV:

    Добрый день.
    Есть такая задача: наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того,
    что это число является делителем 30?
    Делители 30 это 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, то есть 8 благоприятных событий,
    значит правильный ответ 8/30 ?
    С уважением SV.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы решили задачу правильно.

    [Ответить]

    SV Reply:

    Дело в том, что в моем учебном пособии правильный ответ 1/7, значит он неправильный!

    [Ответить]

  6. 6 SV:

    Добрый день.
    Есть еще задача: наудачу выбрано число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что
    это число является простым.
    Простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, всего 15.
    Ответ 15/50 = 0,3 Правильный ответ 0,32?
    С уважением SV.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Правильно 0,3. Разумеется, если мы рассматриваем натуральные числа. А откуда взялось 0,32?

    [Ответить]

    SV Reply:

    Похоже опять неверный ответ в уч. пособии.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Что у Вас за пособие такое?

    [Ответить]

    SV Reply:

    Главное нашли правильный ответ.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Видимо, авторы пособия считают единицу простым числом: 16/50=0.32

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Видимо, да. Только они, похоже, и в других местах что-то свое считают :)

    [Ответить]

  7. 7 SV:

    Добрый день.
    Последняя моя задача по этой теме:
    подбрасывают три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее – получить в сумме 9 или 10 очков? 11 или 12 очков?
    Всех событий 6*6*6=216, а вот число благоприятных событий приходится перебирать вручную
    и в конечном итоге получим для 9 25 событий, для 10 27 событий, 25/216 < 27/216 и так далее. Подскажите пожалуйста способ подсчета не перебирая вручную, а с помощью математики
    (хорошо 3 кубика, а если к примеру 10?).
    С уважением SV.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите здесь: http://hijos.ru/2011/11/02/chislo-schastlivyx’’-biletov/
    Это идея подсчета.

    [Ответить]

  8. 8 Игорь:

    Всё таки я советую здесь (http://www.13min.ru/drugoe/teoriya-veroyatnostej-v-azartnyx-igrax.html) почитать ;)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, довольно безграмотно написано :(

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение