5. Возвратные уравнения

Определение. Полином

f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n

называется возвратным, если a_0=a_n,a_1=a_{n-1},\ldots,a_j=a_{n-j},\ldots, т.е. последовательность его коэффициентов (a_0,a_1,\ldots,a_n) симметрична относительно середины.

Пример. \displaystyle (x+1)^n=\sum_{k=0}^n{\sf C}_n^kx^k — бином.

Возвратные полиномы можно определить так. Обозначим через

f_t(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0.

f возвратен тогда и только тогда, когда

f\equiv f_t.

Но

\displaystyle f_t=x^n\left( a_n+a_{n-1}{1\over x}+\ldots+a_1{1\over x^{n-1}}+a_0{1\over x^n}\right)=x^nf\left({1\over x}\right).

Итак, возвратные полиномы удовлетворяют функциональному соотношению

\displaystyle f(x)=x^nf\left({1\over x^n}\right).

Теорема. Если n нечетно, то возвратный полином имеет корень x_1=-1.

Доказательство. Вычислим f(-1). По только что записанному

f(-1)=(-1)^nf(-1)=-f(-1)\Longrightarrow f(-1)=0.

Таким образом, возвратный полином f нечетной степени можно представить в виде f=(x+1)f_1. Можно доказать, что f_1 тоже возвратный полином (уже четной степени).

Как найти его корень?

Пример. Решить уравнение

x^4+4x^3+4x+1=0.

Разделим обе части на x^2

\displaystyle x^2+4x+{4\over x}+{1\over x^2}=0

и объединим

\displaystyle \left( x^2+{1\over x^2}\right)+4\left( x+{1\over x}\right)=0.

Введем новую переменную \displaystyle u=x+{1\over x}. Тогда \displaystyle u^2=x^2+{1\over x^2}+2 и уравнение превращается в квадратное u^2-2+4u=0. Его решить нетрудно. Найдя u_1,u_2, подставим их в \displaystyle u_{1,2}=x+{1\over x} и снова решаем два квадратных уравнения.

Задачи.

Решите уравнения

1. 6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0,

2. 2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0,

3. 6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0,

4. 2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0,

5. \displaystyle\left(\frac{x^2-2x+3}{x}\right)^2-5x=\frac{15}{x}-16.

Комментариев: 4

  1. 1 егор:

    Тогда \displaystyle u^2=x^2+{1\over x^2}+2
    я не понимаю откуда взялась двойка в этом выражении. не могли бы вы объяснить?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Егор, просто возводим в квадрат обе части равенства \displaystyle u=x+\frac{1}{x}, получается \displaystyle u^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}+2.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    В разобранном примере, к сожалению, есть неточность:
    .
    В скобках, после цифры 4, имеются лишние квадраты.
    .
    А чуть ниже (на второй строчке) – лишняя буква.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лейб Александрович, в очередной раз Вам спасибо большое! Исправила.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение