Возвратные уравнения | Математика, которая мне нравится

5. Возвратные уравнения

Определение. Полином

$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$

называется возвратным, если $a_0=a_n,a_1=a_{n-1},\ldots,a_j=a_{n-j},\ldots$ , т.е. последовательность его коэффициентов $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ симметрична относительно середины.

Пример. $\displaystyle (x+1)^n=\sum_{k=0}^n{\sf C}_n^kx^k$ — бином.

Возвратные полиномы можно определить так. Обозначим через

$f_t(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0.$

возвратен тогда и только тогда, когда

$f\equiv f_t.$

Но

$\displaystyle f_t=x^n\left( a_n+a_{n-1}{1\over x}+\ldots+a_1{1\over x^{n-1}}+a_0{1\over x^n}\right)=x^nf\left({1\over x}\right).$

Итак, возвратные полиномы удовлетворяют функциональному соотношению

$\displaystyle f(x)=x^nf\left({1\over x^n}\right).$

Теорема. Если нечетно, то возвратный полином имеет корень x_1=-1 .

Доказательство. Вычислим f(-1) . По только что записанному

$f(-1)=(-1)^nf(-1)=-f(-1)\Longrightarrow f(-1)=0.$

Таким образом, возвратный полином нечетной степени можно представить в виде f=(x+1)f_1 . Можно доказать, что f_1 тоже возвратный полином (уже четной степени).

Как найти его корень?

Пример. Решить уравнение

x^4+4x^3+4x+1=0.

Разделим обе части на x^2

$\displaystyle x^2+4x+{4\over x}+{1\over x^2}=0$

и объединим

$\displaystyle \left( x^2+{1\over x^2}\right)+4\left( x+{1\over x}\right)=0.$

Введем новую переменную $\displaystyle u=x+{1\over x}$ . Тогда $\displaystyle u^2=x^2+{1\over x^2}+2$ и уравнение превращается в квадратное u^2-2+4u=0 . Его решить нетрудно. Найдя u_1,u_2 , подставим их в $\displaystyle u_{1,2}=x+{1\over x}$ и снова решаем два квадратных уравнения.

Задачи.

Решите уравнения

1. 6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0 ,

2. 2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0 ,

3. 6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0 ,

4. 2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0 ,

5. $\displaystyle\left(\frac{x^2-2x+3}{x}\right)^2-5x=\frac{15}{x}-16$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 5

1 егор:

Тогда $\displaystyle u^2=x^2+{1\over x^2}+2$
я не понимаю откуда взялась двойка в этом выражении. не могли бы вы объяснить?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2012 at 18:17
Егор, просто возводим в квадрат обе части равенства $\displaystyle u=x+\frac{1}{x}$ , получается $\displaystyle u^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x^2}+2$ .

[Ответить]
5 Ноябрь 2012, 17:18
2 Лейб:

В разобранном примере, к сожалению, есть неточность:
.
В скобках, после цифры 4, имеются лишние квадраты.
.
А чуть ниже (на второй строчке) – лишняя буква.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 6th, 2012 at 23:23
Лейб Александрович, в очередной раз Вам спасибо большое! Исправила.

[Ответить]
6 Ноябрь 2012, 14:41
3 Фируза:

Подскажите пожалуйста как решается возвратные уравнения 5 степени?

[Ответить]
26 Январь 2017, 20:43