5. Возвратные уравнения
Определение. Полином
называется возвратным, если , т.е. последовательность его коэффициентов
симметрична относительно середины.
Пример. — бином.
Возвратные полиномы можно определить так. Обозначим через
возвратен тогда и только тогда, когда
Но
Итак, возвратные полиномы удовлетворяют функциональному соотношению
Теорема. Если нечетно, то возвратный полином имеет корень
.
Доказательство. Вычислим . По только что записанному
Таким образом, возвратный полином нечетной степени можно представить в виде
. Можно доказать, что
тоже возвратный полином (уже четной степени).
Как найти его корень?
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части на
и объединим
Введем новую переменную . Тогда
и уравнение превращается в квадратное
. Его решить нетрудно. Найдя
, подставим их в
и снова решаем два квадратных уравнения.
Задачи.
Решите уравнения
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. .
1 егор:
Тогда
я не понимаю откуда взялась двойка в этом выражении. не могли бы вы объяснить?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2012 at 18:17
Егор, просто возводим в квадрат обе части равенства
, получается
.
[Ответить]
2 Лейб:
В разобранном примере, к сожалению, есть неточность:
.
В скобках, после цифры 4, имеются лишние квадраты.
.
А чуть ниже (на второй строчке) – лишняя буква.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 6th, 2012 at 23:23
Лейб Александрович, в очередной раз Вам спасибо большое! Исправила.
[Ответить]
3 Фируза:
Подскажите пожалуйста как решается возвратные уравнения 5 степени?
[Ответить]
26 Январь 2017, 20:43