3. Схема Горнера. Наибольший общий делитель. Разложение на множители. Многочлены с целыми коэффициентами
Схема Горнера предназначена для вычисления значения полинома в точке. Пусть дан полином
над полем или кольцом (с коэффициентами из этого поля или кольца). Дано число
. Требуется найти
. Разделим
на
с остатком:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:
Это можно записать в виде таблицы:
Пример.
Примечание. Схема Горнера показывает, что если — многочлен с целыми коэффициентами,
, то при делении
на
получается целое число — остаток, и неполное частное имеет целые коэффициенты.
Наибольший общий делитель полиномов
Определение. Наибольшим общим делителем полиномов над полем
называется полином наибольшей степени среди полиномов над
, делящих оба полинома
.
Теорема. Н.О.Д. единствен с точностью до константы и делится на любой общий делитель этих полиномов. Н.О.Д.
допускает линейное представление в виде
, где
— некоторые полиномы из
.
Доказательство. Рассмотрим множество полиномов (из кольца полиномов над полем
). Выберем в этом множестве отличный от нуля полином
наименьшей степени. Докажем, что
Н.О.Д.
.
Пусть . Докажем, что
. Пусть
.
Тогда . Получили, что
. Противоречие. Значит,
.
Докажем, что каждый общий делитель — делитель .
Пусть — общий делитель
.
. Значит,
. Поскольку
, то
— наибольший общий делитель.
Пусть — максимальны. Тогда
. Следовательно, они равны с точностью до константы.
Для нахождения Н.О.Д. полиномов можно использовать алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д.
Разложение многочлена на множители
Определение. полином над полем
, отличный от константы, называется неприводимым над полем
, если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из поля
. Полином, отличный от константы и не являющийся неприводимым, называется приводимым.
Примеры неприводимых многочленов:
многочлены первой степени;
— неприводимый над
, приводимый над
.
Теорема. делится на
тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. См. теорему Безу.
Теорема. Любой приводимый полином со старшим коэффициентом, равным , единственным образом представляется в виде произведения неприводимых полиномов со старшими коэффициентами, равными
(с точностью до порядка сомножителей).
Многочлены над полем
Теорема. Пусть — полином с целыми коэффициентами.
Пусть и
— взаимно простые целые числа, не равные нулю. Предположим, что
. Тогда
.
Доказательство.
Значит,
Так как все слагаемые, кроме последнего, делятся на и
, то
. Так как
и
взаимно просты, то
Аналогично .
Задача. Разложить на множители многочлен над полем
Решение. Возможные целые корни — делители :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Пусть — целый корень,
.
.
1 Одна красивая теорема из планиметрии | Математика, которая мне нравится:
[...] является Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837), известный по схеме Горнера. Опубликована теорема была в 1815 г. в Англии, в журнале [...]
19 Март 2011, 18:552 Еврейские задачи | Математика, которая мне нравится:
[...] которое не имеет рациональных корней. [...]
17 Октябрь 2012, 0:053 А.:
Ничего не понятно. Нельзя было попроще как-то?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 8th, 2015 at 1:23
Ну знаете… Попробуйте здесь почитать: http://pmpu.ru/vf4/polynomial
[Ответить]
Аз есмь темь ясную Reply:
Ноябрь 28th, 2015 at 16:41
Ну знаете тут такое, я лично читаю сайт пм-пу, ничего особенного.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 29th, 2015 at 12:22
Вам непонятно, или Вы о чем-то другом?
[Ответить]