Математика, которая мне нравится

Схема Горнера предназначена для вычисления значения полинома в точке. Пусть дан полином

над полем или кольцом (с коэффициентами из этого поля или кольца). Дано число . Требуется найти . Разделим на с остатком:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:

Это можно записать в виде таблицы:

Пример.

.

Примечание. Схема Горнера показывает, что если — многочлен с целыми коэффициентами, , то при делении на получается целое число — остаток, и неполное частное имеет целые коэффициенты.

Наибольший общий делитель полиномов

Определение. Наибольшим общим делителем полиномов над полем называется полином наибольшей степени среди полиномов над , делящих оба полинома .

Теорема. Н.О.Д. единствен с точностью до константы и делится на любой общий делитель этих полиномов. Н.О.Д. допускает линейное представление в виде , где — некоторые полиномы из .

Доказательство. Рассмотрим множество полиномов (из кольца полиномов над полем ). Выберем в этом множестве отличный от нуля полином наименьшей степени. Докажем, что Н.О.Д..

Пусть . Докажем, что . Пусть .

Тогда . Получили, что . Противоречие. Значит, .

Докажем, что каждый общий делитель — делитель .

Пусть — общий делитель . Значит, . Поскольку , то — наибольший общий делитель.

Пусть — максимальны. Тогда . Следовательно, они равны с точностью до константы.

Для нахождения Н.О.Д. полиномов можно использовать алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д.

Разложение многочлена на множители

Определение. полином над полем , отличный от константы, называется неприводимым над полем , если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из поля . Полином, отличный от константы и не являющийся неприводимым, называется приводимым.

Примеры неприводимых многочленов:

многочлены первой степени;

— неприводимый над , приводимый над .

Теорема. делится на тогда и только тогда, когда .

Доказательство. См. теорему Безу.

Теорема. Любой приводимый полином со старшим коэффициентом, равным 1, единственным образом представляется в виде произведения неприводимых полиномов со старшими коэффициентами, равными 1 (с точностью до порядка сомножителей).

Многочлены над полем

Теорема. Пусть — полином с целыми коэффициентами.

Пусть и — взаимно простые целые числа, не равные нулю. Предположим, что . Тогда .

Доказательство.

Значит,

Так как все слагаемые, кроме последнего, делятся на и , то . Так как и взаимно просты, то

Аналогично .

Задача. Разложить на множители многочлен над полем

Решение. Возможные целые корни — делители 108: , , , , , , , , , .

Пусть — целый корень, .

.