25. Тригонометрические уравнения и неравенства. Задачи

1. Решите уравнения с помощью замены переменной

1) 2\sin^2x+5\cos x-4=0,

2) 2\cos2x=8\cos x-1,

3) 2\sin^2x+3\sin x\cos x+7\cos^2x=6,

4) (\sin x+\cos x)^3=4\sin x,

5) {\rm tg}\, x+{\rm ctg}\,x=3+2\sin2x,

6) \displaystyle \frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}=1,

7) \displaystyle \sin^4x+\cos^4x=\frac{1}{2}.

2. Решите уравнения

1) \sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{2},

2) \displaystyle 3\sin x+4\cos x=\frac{5}{2}.

3. Решите уравнения разложением на множители

1) \displaystyle\cos\left( 3x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left( x+\frac{\pi}{4}\right),

2) \cos3x=\sin10x,

3) \cos x+\cos2x+\cos3x+\cos4x=0,

4) \sin^23x+\sin^24x+\sin^26x+\sin^27x=2,

5) \sin2x\cos4x=\sin7x\cos9x,

6) \cos2x\cos8x+\cos x\cos3x+\cos2x\cos10x=0,

7) \cos5x+\cos7x=\sin2x,

{\bf 8)} 5\sin x+12\cos x+13\sin3x=0,

9) 2{\rm tg}\,3x-3{\rm tg}\,2x={\rm tg}^22x{\rm tg}\,3x.

4. Решите уравнения сравнением множества значений левой и правой частей

1) 3\sin^7x+4\cos^{10}x=7,

2) \sin x+\cos4x+2\sin5x=4,

3) {\rm tg}^2x+{\rm ctg}^2x=\sqrt{2}(\sin x+\cos x),

4) \cos^2x-\cos^4x=\sin^2x\sin^23x-1.

5. Решите уравнения

1) \displaystyle {\rm tg}\frac{2\pi x}{1+x+x^2}=\sqrt{3},

2) {\rm tg}\,(\pi{\rm tg}\,x)={\rm ctg}\,(\pi{\rm ctg}\,x).

6. Решите системы тригонометрических уравнений

1)

    \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \sin x\cos y=\frac{1}{2},\\[3mm] \displaystyle \sin y\cos x=\frac{1}{2}. \end{array}\right.\]

2)

    \[\left\{\begin{array}{l} \sin^2x=\sin y,\\ [1mm] \cos^4x=\cos y. \end{array}\right.\]

7. Решите тригонометрические неравества

1) \cos2x\ge\sin x,

2) \sin5x>16\sin^5x,

3) \cos2x>\cos x-\sin x,

4) \cos^2x+\cos^22x+\cos^24x+\cos^25x\ge2.

8. Тригонометрические подстановки. Иногда для решения уравнений полезно использовать тригонометрические функции

1) Решите уравнение 4x^3-3x=1/2.

2) Докажите, что если 4p^3+27q^2<0, то уравнение x^3+px+q=0 имеет три корня, и выразите их через значения тригонометрических функций.

3) Пусть f(x)=x^2-2. Решите уравнение

    \[f(f(\ldots f(x)\ldots ))=0\]

Здесь функция f встречается n раз.

Комментарии (RSS)  |  Трекбек

Один комментарий

  1. 1 Александр:

    Доброго времени суток, Елизавета Александровна! Возник вопрос по поводу самого последнего уравнения (8.3). Раннее я его встречал в задачнике Башмакова, в указаниях которого сказано, что нужно x заменить на 2cosa. Сделав такую замену, я нашёл часть корней. Но ведь такую замену я могу делать, если уверен, что все корни уравнения лежат на отрезке [-2;2] (область значений выражения 2cosa); а на каком основании я могу считать это верным? Могли бы Вы дать указание на то, как это можно доказать? Спасибо.

    [Ответить]

    28 Май 2020, 10:10

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение