Решение тригонометрических уравнений | Математика, которая мне нравится

24. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение $\sin x=a$ при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при a=-1 имеет решения $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при a=0 имеет решения $x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при всех остальных имеет решения $x=(-1)^k{\rm arcsin}\,a+\pi k, k\in\mathbb{Z}$ .

Уравнение $\cos x=a$ при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения $x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при a=-1 имеет решения $x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при a=0 имеет решения $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ,

при всех остальных имеет решения $x=\pm{\rm arccos}\,x+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$ .

Уравнение ${\rm tg}\, x=a$ имеет решения $x={\rm arctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Уравнение ${\rm ctg}\, x=a$ имеет решения $x={\rm arcctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. $\cos^2x$ заменяем на $\sin^2 x$ , ${\rm tg}\, x$ – на ${\rm ctg}\, x$ .

Пример 1.
$\begin{array}{l} \sin^2 x+2\sin x-3\cos^2x+1=0,\\ \sin^2x+2\sin x-3+3\sin^2x+1=0,\\ \sin x=t,\\ 4t^2+2t-2=0,\\ 2t^2+t-1=0. \end{array}$

$\begin{array}{ll} 1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}& \displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Пример 2.
$\begin{array}{l} {\rm ctg}\, x-3{\rm tg}\, x=0,\\ \displaystyle {1\over {\rm tg}\, x}-3{\rm tg}\, x=0,\\[3mm] 1-3{\rm tg}^2x=0\\ \displaystyle {\rm tg}^2x={1\over 3}\quad(\Longrightarrow\cos x\ne0,\sin x\ne0),\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{1\over\sqrt{3}},\\[2mm] \displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k. \end{array}$

2. $\cos2x$ заменяем на $\cos x$ , $\cos2x$ – на $\sin x$ , ${\rm tg}\,2x$ – на ${\rm tg}\, x$ .

Пример 1.

$\begin{array}{l} 2\cos2x=8\cos x-1,\\ \cos x=t,\\ 4t^2-8t-1=0,\\ {\cal D}/4=20,\\ \displaystyle t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}. \end{array}$
1) $\displaystyle\cos x={2+\sqrt{5}\over 2}$ 2) $\displaystyle\cos x={2-\sqrt{5}\over 2}$ ,
В первом случае решений нет, во втором $\displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Пример 2.

$\begin{array}{l} {\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x, \end{array}$
$\begin{array}{ll} 1)\ {\rm tg}\, x=0&2)\ {\rm tg}\, x\ne0,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle {2\over 1-{\rm tg}^2x}=3,\\[3mm] &3{\rm tg}^2x-1=0,\\ &{\rm tg}^2x=1/3\Rightarrow\cos x\ne0,\ {\rm tg}^2x\ne1,\\ &\displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{\sqrt{3}\over 3},\\[3mm] &\displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Пример 3.

$\begin{array}{ll} {\rm tg}\,2x=3{\rm ctg}\, x&\\ 1)\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}={3\over {\rm tg}\, x}\ (\cos x\ne0)&\displaystyle \cos x=0\Longleftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] 2{\rm tg}^2x=3-3{\rm tg}^2x&\Longrightarrow{\rm tg}\,2x={\rm tg}\,(\pi+2\pi k)=0,\\ 5{\rm tg}^2x=3&{\rm ctg}\, x=0,\\ \displaystyle{\rm tg}\, x=\pm\sqrt{3\over 5}\Longrightarrow\cos x\ne0,{\rm tg}^2x\ne1&\\ \displaystyle x=\pm{\rm arctg}\,\sqrt{3\over 5}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}$

3. Однородные уравнения относительно $\sin x,\cos x$ .

$\begin{array}{l} a\sin x+b\cos x=0,\\ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0. \end{array}$
Если $a\ne0$ , то деля обе части уравнения на $\cos x$ или на $\cos^2 x$ , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть x_0 — корень уравнения и $\cos x_0=0$ . Подставляя в уравнение, получаем, что и $\sin x_0=0$ , а это невозможно.

Пример.

$\begin{array}{ll} 2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\ 2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\ 1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на $\sin^2x+\cos^2x$

Пример.
$\begin{array}{l} \sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\ \sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\ 2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\ ({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\ {\rm tg}\, x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

б) Переход к половинному аргументу

Пример.
$\begin{array}{l} 11\sin x-2\cos x=10,\\ \displaystyle 22\sin{x\over 2}\cos{x\over 2}-2\cos^2{x\over 2}+2\sin^2{x\over 2}=10\sin^2{x\over 2}+10\cos^2{x\over 2},\\[3mm] \displaystyle 4{\rm tg}^2{x\over 2}-11{\rm tg}\,{x\over 2}+6=0,\\[5mm] \displaystyle {\rm tg}\,{x\over 2}={11\pm\sqrt{121-96}\over 8}={11\pm5\over 8}. \end{array}$
$\begin{array}{ll} \displaystyle \displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm] x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

5. Использование формулы $a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0$

Пример.
$\begin{array}{l} \sin x+\cos x=1,\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\ \sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

6. Замена $\sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x$ .
Пример.
$\begin{array}{l} \displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm] \cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\ \cos x-\sin x=t,\\ \displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm] 1-t^2=2t,\\ t^2+2t-1=0,\\ t=-1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$\begin{array}{ll} \cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\ -\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\ x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\ x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}$

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

$\begin{array}{l} \sin2x=2\sin x\cos x,\\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\\ \sin^2x=1-\cos^2x,\\ \cos^2x=1-\sin^2x. \end{array}$

Пример 1.

$\begin{array}{ll} \cos2x=\cos x+\sin x,&\\ 1)\ \cos x+\sin x=0,&2)\ \cos x-\sin x=1,\\ 1+{\rm tg}\, x=0,&-\sqrt{2}\sin(x+{\rm arctg}\,(-1))=1,\\ {\rm tg}\, x=-1,&\displaystyle\sin\left( x-\pi/4\right)=-{\sqrt{2}\over 2},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x-{\pi\over 4}=-{\pi\over 4}+2\pi k,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] &\displaystyle x-{\pi\over 4}={5\pi\over 4}+2\pi k,\ x={3\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Ответ. $\displaystyle\left\{ 2\pi k,{3\pi\over 2}+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Пример 2.

$\begin{array}{l} \sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\ 1)\ 1+\sin x=0,\\ \sin x=-1,\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ 2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\ \sin x+\cos x=t,\\ \displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm] \displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm] t=1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2}$ , решений нет,

$\begin{array}{l} 2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\ \displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Ответ. $\displaystyle\left\{-{\pi\over 2}+2\pi k,-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\right.$ , $\displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Понижение степени

Использование формул

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm] \displaystyle \sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha). \end{array}$

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

$\begin{array}{l} 2\sin^35x+7\cos5x=9,\\ 2\sin^35x\le2,\\ 7\cos5x\le7,\\ 2\sin^35x+7\cos^5x\le9,\\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin5x=1,\\ \cos5x=1, \end{array}\right. \end{array}$

что невозможно.

Ответ. $\{\}$ .
Пример 2.

$\begin{array}{l} \displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm] \sin^2x+\cos^2x=1,\\ \left.\begin{array}{l} \sin^{19}x\le\sin^2x,\\ \cos^{19}x\le\cos^2x, \end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\ \pi/3>1. \end{array}$

Ответ. $\{\}$ .
Пример 3.

$\begin{array}{l} \sin3x+\sin7x=2,\\ \left\{\begin{array}{l} \sin3x=1,\\ \sin7x=1, \end{array}\right.\\[5mm] \sin3x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Пусть
$x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} . $

Подставляем во второе уравнение:

$\displaystyle \sin{7\pi\over 6}\ne1;\ \sin{35\pi\over 6}\ne1;\ \sin{21\pi\over 2}=1.$

Ответ. $\displaystyle\left\{\left.{3\pi\over 2}+2\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Пример 4.
$\begin{array}{l} \cos^3x\cos2x=-1,\\ |\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\ \left\{\begin{array}{l} \cos x=1,\\ \cos2x=-1, \end{array}\right.\end{array}$

или

$\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.$

Если $\cos x=1$ , то $\cos2x=\cos^2x-0=1\ne-1$ . Если $\cos x=-1$ , то $\cos2x=1$ .

$\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.\Longleftrightarrow\cos x=-1.$

Ответ. $\{\pi+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}$ .

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 59

1 Татьяна:

Пожалуйста,подскажите,как решать такие системы?
$\sin^2x-\sin x\cos x=2$
$\cos x>1/2$

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 20th, 2014 at 19:42
Сначала решите уравнение (можно записать $2=2\sin^2x+2\cos^2x$ , и оно станет однородным), затем выберите те решения, которые удовлетворят неравенству (неравенство вполне решаемо тоже).

[Ответить]
20 Май 2014, 8:19
2 Наташа:

Здравствуйте,как решить такое уравнение sin6x+2=2cos4x

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 10th, 2014 at 20:12
2 перенесите в правую часть, перейдите к половинному аргументу. Для sin 6x примените формулу тройного аргумента. Все сводится к квадратному уравнению (кубическое легко раскладывается на множители).

[Ответить]
Наташа Reply:
Ноябрь 1st, 2014 at 13:44
А как к половинному перейти,что-то не понимаю.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2014 at 15:41
$2\cos4x-2=-4\cos^22x$

[Ответить]
10 Октябрь 2014, 14:11
3 Наурзалинова А.А.:

Здравствуйте, помогите решить Sin (x – 1) = cos (x+2)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 20th, 2014 at 15:25
Здравствуйте.
А если так перепишем: $\sin(x-1)=\sin(\pi/2-x-2)$ , дальше понятно, что делать (если нет, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/31-prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/)?

[Ответить]
20 Октябрь 2014, 14:08
4 Алена:

Добрый день! Подскажите, как решается уравнение 2-2*cos(x) + x*sin(x) = 0 ?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 7th, 2014 at 19:12
Перейдите к половинному аргументу.

[Ответить]
6 Ноябрь 2014, 21:16
5 Вика:

Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить
sin^2(x/2)+sin^2(x/3)+sin^2(x/5)=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 30th, 2014 at 17:15
Здравствуйте! А когда сумма квадратов вещественных чисел равна нулю?

[Ответить]
30 Ноябрь 2014, 13:31
6 Вася:

Здравствуйте,как решить такое уравнение 4cos^2(x)+sin(x)*cos(x)+3sin^2(x)=3?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 17th, 2014 at 15:50
Здравствуйте!

$3=3\sin^2 x+3\cos^2 x$ , и получается однородное уравнение.

[Ответить]
11 Декабрь 2014, 22:12
7 Бати:

Подскажите, как решается уравнение sin6x+sin4x=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 18th, 2014 at 21:26
Примените формулу суммы синусов: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/28-preobrazovanie-summy-trigonometricheskix-funkcij-v-proizvedenie/

[Ответить]
18 Декабрь 2014, 13:55
8 Аня:

2*cos(x) – 6*sin(x)*cos(x) + 3 = arccos (-1/2) – (2/3)пи
не подскажите, как решить такое уравнение?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 13th, 2015 at 14:16
Это будет так: $2\cos x-6\sin x\cos x+3=0$ . А дальше… Вы уверены, что нет ошибки в условии? Получается уравнение 4-й степени без рациональных корней

[Ответить]
11 Январь 2015, 12:17
9 Тимур:

Найти (в градусах) решение уравнения sin9x=cos9x, удовлетворяющее условиям 10<0<30.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 27th, 2015 at 17:43
Перепишем: $\displaystyle \sin 9x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-9x\right)$ , откуда $\displaystyle x=\frac{\pi}{36}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}$ . Дальше выбирайте правильное

[Ответить]
24 Февраль 2015, 21:45
10 bim:

(ctgx+3)/tg(x+(pi/6))=ctg(5*pi/6) помогите решить

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 5th, 2015 at 18:00
${\rm ctg}\,(x+\pi/6)=-\sqrt{3}$ по формулам приведения. ${\rm tg}\,(x+\pi/6)$ раскройте по формуле тангенса суммы.После этого получится квадратное уравнение относительно ${\rm tg}\, x$ ( ${\rm ctg}\, x$ выразите через тангенс.

[Ответить]
4 Апрель 2015, 16:53
11 Георгий:

помогите решить систему уравнений. два уравнения, два неизвестных.
$\left\{\begin{array}{l} \sin(\alpha_1) = N\sin(\alpha_2) (1)\\ A{\rm tg}\,(\alpha_1) + B{\rm tg}\,(\alpha_2) + C = 0 (2) \end{array}\right.$
– известные константы

[Ответить]
Георгий Reply:
Апрель 29th, 2015 at 16:02
Я, конечно, и сам вывел, что оно сводится к уравнению 4й степени относительно tan(alfa1):

A^2*(1-N^2) * tan(alfa1)^4 – 2*A*C*(1-N^2) * tan(alfa1)^3 + …
(A^2 + C^2*(1-N^2) – B^2)* tan(alfa1)^2 – 2*A*C * tan(alfa1) + C^2 = 0

Но неужели действительно так сложно?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 29th, 2015 at 18:49
Георгий, у меня тоже уравнение четвертой степени получилось…

[Ответить]
Георгий Reply:
Апрель 30th, 2015 at 14:14
Спасибо, Елизавета Александровна.
Решаю задачу численными методами. Сделал цикл с последовательным приближением.

[Ответить]
29 Апрель 2015, 15:34
12 Маргарита:

(cos2x-cos3x)²+sin²3x=0 помогите решить уравнение плиз.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 19th, 2015 at 17:58
Сумма квадратов двух вещественных чисел равна нулю $\Leftrightarrow$ каждое из этих чисел равно нулю. Получается система из двух довольно простых уравнений.

[Ответить]
19 Июль 2015, 17:03
13 Маргарита:

Спасибо большое

[Ответить]
23 Июль 2015, 19:13
14 Ната:

Подскажите как решать ур-е пожалуйста:cos2x-4sinx=4cos4x-cos8x

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 6th, 2015 at 21:17
У Вас условие точно такое, нет там степеней?

[Ответить]
6 Август 2015, 12:11
15 Дарья:

((cos6α)/(cos2α))-((sin6α)/(sin2α))+2=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 7th, 2015 at 19:24
Вы что-то предлагаете?

[Ответить]
7 Сентябрь 2015, 17:23
16 Роза:

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 12th, 2015 at 13:30
Именно для того, чтобы Вы это научились решать самостоятельно, и написано все то, что Вы можете прочитать выше.

[Ответить]
11 Октябрь 2015, 12:49
17 настя:

помогите 3.1 с б до ж

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2015 at 21:53
Используйте формулы преобразования суммы в произведение.

[Ответить]
4 Ноябрь 2015, 14:59
18 Винера:

помогите пожалуйста

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 26th, 2015 at 23:53
Вас какое задание интересует?

[Ответить]
26 Ноябрь 2015, 17:44
19 Kirill:

Помогите решить пожалуйста. решить уравн Ctg^3x=ctgx и sin8x-sin2x=0 . Упростить sinАльфа+sin2Альфа+sin3Альфа+sin4Альфа= и sin^2Альфа+cos^2Альфа+tg^2Альфа=

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2015 at 20:51
Первое разложите на множители (вынесите ${rm ctg}\,x$ за скобки, дальше — разность квадратов), во втором преобразуйте разность в произведение по стандартным формулам. Остальное тоже делается сразу, если Вы воспользуетесь формулами, которые можно найти даже на этом сайте.

[Ответить]
2 Декабрь 2015, 23:29
20 Айга:

Здравсвуйте!подскажите подробное решение уравнения:
tg(x-pi\6)(sin2x+1)=0
Уже неделю не могу понять как это решить.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2015 at 20:49
Здравствуйте! Либо ${\rm tg}\,(x-\pi/6)=0$ , либо $\sin2x+1=0$ . Дальше решаете каждое из этих уравнений. Ответ — объединение множеств решений.

[Ответить]
3 Декабрь 2015, 15:51
21 Shogh:

помогите мне решить задачу найти

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 14th, 2015 at 0:36
???

[Ответить]
13 Декабрь 2015, 23:10
22 Влада:

Помоги решить уравнение
2sin(pi+x)+sin((3*pi)/2+x)+sinx=0

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 9th, 2016 at 14:21
Мы с Вами на “ты”??? )

[Ответить]
8 Февраль 2016, 3:11
23 поля:

помогите решить
2sin^2(п/4+3х/2)-1

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Март 17th, 2016 at 17:28
Непонятно, что нужно решить?

[Ответить]
Максим Reply:
Август 4th, 2016 at 12:45
Тут вообще есть кто-нибудь?

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:17
Иногда бывают

[Ответить]
16 Март 2016, 16:07
24 настя:

Помогите решить уравнение (-x)=-cos п/6

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:01
$\displaystyle x=\cos\frac{\pi}{6}$

[Ответить]
25 Май 2016, 21:33
25 Георгий:

можете сказать ответ?
cos(2*x-(3*pi)/2)=Sqrt[2]sin(x)

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:55
У меня получилось $\displaystyle x=\pi k, x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,x=\pi-\mbox{\rm arcsin}\,\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+2\pi k,x=\mbox{\rm arcsin}\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+2\pi k,k\inZ$ .

[Ответить]
8 Июль 2016, 14:53
26 Максим:

Здравствуйте, помогите доказать тождество:
4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
И решить уравнение:
Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=
cos2x.
С уважением.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:13
В тождестве $\cos 4x$ выразите через $\cos2x$ . В уравнении вынесите слева множитель $\sin^2x\cos^2x$ , справа $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$ .

[Ответить]
29 Июль 2016, 1:33
27 Антон:

В общем такое уравнение. Не знаю с чего начать.
2 sin^4 x + 3 cos 2x + 1 = 0

[Ответить]
13 Март 2017, 5:19
28 Андрей:

дочка озадачила на старость не могу решить ряд уровнений
5cosX+6sinX=0
cos3Xcos5X-sin3Xsin5X=0
sinx/7+1=0
cos(2x+П/5)=0
1-tg3X=0
спасибо за рание

[Ответить]
16 Май 2017, 21:20