24. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение \sin x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=-1  имеет решения \displaystyle x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=0 имеет решения x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=(-1)^k{\rm arcsin}\,a+\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Уравнение \cos x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=-1  имеет решения x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=0 имеет решения \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=\pm{\rm arccos}\,x+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Уравнение {\rm tg}\, x=a имеет решения x={\rm arctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Уравнение {\rm ctg}\, x=a имеет решения x={\rm arcctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. \cos^2x заменяем на \sin^2 x, {\rm tg}\, x – на {\rm ctg}\, x.

Пример 1.
\begin{array}{l}<br />
\sin^2 x+2\sin x-3\cos^2x+1=0,\\<br />
\sin^2x+2\sin x-3+3\sin^2x+1=0,\\<br />
\sin x=t,\\<br />
4t^2+2t-2=0,\\<br />
2t^2+t-1=0.<br />
\end{array}

\begin{array}{ll}<br />
1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\<br />
\displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&<br />
\displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}<br />
\end{array}

Пример 2.
\begin{array}{l}<br />
{\rm ctg}\, x-3{\rm tg}\, x=0,\\<br />
\displaystyle<br />
{1\over {\rm tg}\, x}-3{\rm tg}\, x=0,\\[3mm]<br />
1-3{\rm tg}^2x=0\\<br />
\displaystyle<br />
{\rm tg}^2x={1\over 3}\quad(\Longrightarrow\cos x\ne0,\sin x\ne0),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
{\rm tg}\, x=\pm{1\over\sqrt{3}},\\[2mm]<br />
\displaystyle<br />
x=\pm{\pi\over 6}+\pi k.<br />
\end{array}

2. \cos2x заменяем на \cos x, \cos2x – на \sin x, {\rm tg}\,2x – на {\rm tg}\, x.

Пример 1.

\begin{array}{l}<br />
2\cos2x=8\cos x-1,\\<br />
\cos x=t,\\<br />
4t^2-8t-1=0,\\<br />
{\cal D}/4=20,\\<br />
\displaystyle<br />
t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}.<br />
\end{array}
1) \displaystyle\cos x={2+\sqrt{5}\over 2} 2) \displaystyle\cos x={2-\sqrt{5}\over 2},
В первом случае решений нет, во втором \displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Пример 2.

\begin{array}{l}<br />
{\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\<br />
\displaystyle<br />
{2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x,<br />
\end{array}
\begin{array}{ll}<br />
1)\ {\rm tg}\, x=0&2)\ {\rm tg}\, x\ne0,\\<br />
x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle {2\over 1-{\rm tg}^2x}=3,\\[3mm]<br />
&3{\rm tg}^2x-1=0,\\<br />
&{\rm tg}^2x=1/3\Rightarrow\cos x\ne0,\ {\rm tg}^2x\ne1,\\<br />
&\displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{\sqrt{3}\over 3},\\[3mm]<br />
&\displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Пример 3.

\begin{array}{ll}<br />
{\rm tg}\,2x=3{\rm ctg}\, x&\\<br />
1)\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}={3\over {\rm tg}\, x}\ (\cos x\ne0)&\displaystyle \cos x=0\Longleftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
2{\rm tg}^2x=3-3{\rm tg}^2x&\Longrightarrow{\rm tg}\,2x={\rm tg}\,(\pi+2\pi k)=0,\\<br />
5{\rm tg}^2x=3&{\rm ctg}\, x=0,\\<br />
\displaystyle{\rm tg}\, x=\pm\sqrt{3\over 5}\Longrightarrow\cos x\ne0,{\rm tg}^2x\ne1&\\<br />
\displaystyle x=\pm{\rm arctg}\,\sqrt{3\over 5}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.&<br />
\end{array}

3. Однородные уравнения относительно \sin x,\cos x.

\begin{array}{l}<br />
a\sin x+b\cos x=0,\\<br />
a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0.<br />
\end{array}
Если a\ne0, то деля обе части уравнения на \cos x или на \cos^2 x, получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть x_0 — корень уравнения и \cos x_0=0. Подставляя в уравнение, получаем, что и \sin x_0=0, а это невозможно.

Пример.

\begin{array}{ll}<br />
2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\<br />
2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\<br />
1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\<br />
\displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на \sin^2x+\cos^2x

Пример.
\begin{array}{l}<br />
\sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\<br />
\sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+<br />
4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\<br />
2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+<br />
4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\<br />
4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\<br />
2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\<br />
({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\<br />
{\rm tg}\, x=1,\\<br />
\displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

б) Переход к половинному аргументу

Пример.
\begin{array}{l}<br />
11\sin x-2\cos x=10,\\<br />
\displaystyle<br />
22\sin{x\over 2}\cos{x\over 2}-2\cos^2{x\over 2}+2\sin^2{x\over 2}=10\sin^2{x\over 2}+10\cos^2{x\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
4{\rm tg}^2{x\over 2}-11{\rm tg}\,{x\over 2}+6=0,\\[5mm]<br />
\displaystyle<br />
{\rm tg}\,{x\over 2}={11\pm\sqrt{121-96}\over 8}={11\pm5\over 8}.<br />
\end{array}
\begin{array}{ll}<br />
\displaystyle<br />
\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm]<br />
x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

5. Использование формулы a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0

Пример.
\begin{array}{l}<br />
\sin x+\cos x=1,\\<br />
\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\<br />
\sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\<br />
x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

6. Замена \sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x.
Пример.
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm]<br />
\cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\<br />
\cos x-\sin x=t,\\<br />
\displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm]<br />
1-t^2=2t,\\<br />
t^2+2t-1=0,\\<br />
t=-1\pm\sqrt{2}.<br />
\end{array}

\begin{array}{ll}<br />
\cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\<br />
-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\<br />
x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\<br />
x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.&<br />
\end{array}

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

\begin{array}{l}<br />
\sin2x=2\sin x\cos x,\\<br />
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\\<br />
\sin^2x=1-\cos^2x,\\<br />
\cos^2x=1-\sin^2x.<br />
\end{array}

Пример 1.

\begin{array}{ll}<br />
\cos2x=\cos x+\sin x,&\\<br />
1)\ \cos x+\sin x=0,&2)\ \cos x-\sin x=1,\\<br />
1+{\rm tg}\, x=0,&-\sqrt{2}\sin(x+{\rm arctg}\,(-1))=1,\\<br />
{\rm tg}\, x=-1,&\displaystyle\sin\left( x-\pi/4\right)=-{\sqrt{2}\over 2},\\[3mm]<br />
\displaystyle x={3\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x-{\pi\over 4}=-{\pi\over 4}+2\pi k,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
&\displaystyle x-{\pi\over 4}={5\pi\over 4}+2\pi k,\ x={3\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Ответ. \displaystyle\left\{ 2\pi k,{3\pi\over 2}+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\right\}.

Пример 2.

\begin{array}{l}</p>
<p>\sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\<br />
\sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\<br />
\sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\<br />
\sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\<br />
1)\ 1+\sin x=0,\\<br />
\sin x=-1,\\<br />
\displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\<br />
2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\<br />
\sin x+\cos x=t,\\<br />
\displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm]<br />
\displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm]<br />
\displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm]<br />
t=1\pm\sqrt{2}.<br />
\end{array}

1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2},  решений нет,

\begin{array}{l}</p>
<p>2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\<br />
\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\<br />
\displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
\displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
\displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm]<br />
\displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Ответ. \displaystyle\left\{-{\pi\over 2}+2\pi k,-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\right., \displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

Понижение степени

Использование формул

\begin{array}{l}</p>
<p>\displaystyle<br />
\cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha).<br />
\end{array}

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

\begin{array}{l}<br />
2\sin^35x+7\cos5x=9,\\<br />
2\sin^35x\le2,\\<br />
7\cos5x\le7,\\<br />
2\sin^35x+7\cos^5x\le9,\\<br />
\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
\sin5x=1,\\<br />
\cos5x=1,<br />
\end{array}\right.<br />
\end{array}

что невозможно.

Ответ. \{\}.
Пример 2.

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm]<br />
\sin^2x+\cos^2x=1,\\<br />
\left.\begin{array}{l}<br />
\sin^{19}x\le\sin^2x,\\<br />
\cos^{19}x\le\cos^2x,<br />
\end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\<br />
\pi/3>1.<br />
\end{array}

Ответ. \{\}.
Пример 3.

\begin{array}{l}<br />
\sin3x+\sin7x=2,\\<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\sin3x=1,\\<br />
\sin7x=1,<br />
\end{array}\right.\\[5mm]<br />
\sin3x=1,\\<br />
\displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}.<br />
\end{array}

Пусть
x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} .<br />

Подставляем во второе уравнение:

\displaystyle \sin{7\pi\over 6}\ne1;\ \sin{35\pi\over 6}\ne1;\ \sin{21\pi\over 2}=1.

Ответ. \displaystyle\left\{\left.{3\pi\over 2}+2\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

Пример 4.
\begin{array}{l}<br />
\cos^3x\cos2x=-1,\\<br />
|\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
\cos x=1,\\<br />
\cos2x=-1,<br />
\end{array}\right.\end{array}

или

\left\{\begin{array}{l}<br />
\cos x=-1,\\<br />
\cos2x=1.<br />
\end{array}\right.

Если \cos x=1, то \cos2x=\cos^2x-0=1\ne-1. Если \cos x=-1, то \cos2x=1.

\left\{\begin{array}{l}<br />
\cos x=-1,\\<br />
\cos2x=1.<br />
\end{array}\right.\Longleftrightarrow\cos x=-1.

Ответ. \{\pi+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.

Комментариев: 57

  1. 1 Татьяна:

    Пожалуйста,подскажите,как решать такие системы?
    \sin^2x-\sin x\cos x=2
    \cos x>1/2

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сначала решите уравнение (можно записать 2=2\sin^2x+2\cos^2x, и оно станет однородным), затем выберите те решения, которые удовлетворят неравенству (неравенство вполне решаемо тоже).

    [Ответить]

  2. 2 Наташа:

    Здравствуйте,как решить такое уравнение sin6x+2=2cos4x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    2 перенесите в правую часть, перейдите к половинному аргументу. Для sin 6x примените формулу тройного аргумента. Все сводится к квадратному уравнению (кубическое легко раскладывается на множители).

    [Ответить]

    Наташа Reply:

    А как к половинному перейти,что-то не понимаю.

    [Ответить]

  3. 3 Наурзалинова А.А.:

    Здравствуйте, помогите решить Sin (x – 1) = cos (x+2)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте.
    А если так перепишем: \sin(x-1)=\sin(\pi/2-x-2), дальше понятно, что делать (если нет, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/31-prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/)?

    [Ответить]

  4. 4 Алена:

    Добрый день! Подскажите, как решается уравнение 2-2*cos(x) + x*sin(x) = 0 ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Перейдите к половинному аргументу.

    [Ответить]

  5. 5 Вика:

    Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить
    sin^2(x/2)+sin^2(x/3)+sin^2(x/5)=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте! А когда сумма квадратов вещественных чисел равна нулю?

    [Ответить]

  6. 6 Вася:

    Здравствуйте,как решить такое уравнение 4cos^2(x)+sin(x)*cos(x)+3sin^2(x)=3?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте!

    3=3\sin^2 x+3\cos^2 x, и получается однородное уравнение.

    [Ответить]

  7. 7 Бати:

    Подскажите, как решается уравнение sin6x+sin4x=0

    [Ответить]

  8. 8 Аня:

    2*cos(x) – 6*sin(x)*cos(x) + 3 = arccos (-1/2) – (2/3)пи
    не подскажите, как решить такое уравнение?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Это будет так: 2\cos x-6\sin x\cos x+3=0. А дальше… Вы уверены, что нет ошибки в условии? Получается уравнение 4-й степени без рациональных корней :(

    [Ответить]

  9. 9 Тимур:

    Найти (в градусах) решение уравнения sin9x=cos9x, удовлетворяющее условиям 10<0<30.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Перепишем: \displaystyle \sin 9x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-9x\right), откуда \displaystyle x=\frac{\pi}{36}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}. Дальше выбирайте правильное k :-)

    [Ответить]

  10. 10 bim:

    (ctgx+3)/tg(x+(pi/6))=ctg(5*pi/6) помогите решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    {\rm ctg}\,(x+\pi/6)=-\sqrt{3} по формулам приведения. {\rm tg}\,(x+\pi/6) раскройте по формуле тангенса суммы.После этого получится квадратное уравнение относительно {\rm tg}\, x ({\rm ctg}\, x выразите через тангенс.

    [Ответить]

  11. 11 Георгий:

    помогите решить систему уравнений. два уравнения, два неизвестных.
    \left\{\begin{array}{l}<br />
  \sin(\alpha_1) = N\sin(\alpha_2) (1)\\<br />
  A{\rm tg}\,(\alpha_1) + B{\rm tg}\,(\alpha_2) + C = 0 (2)<br />
\end{array}\right.
    A, B, C, N – известные константы

    [Ответить]

    Георгий Reply:

    Я, конечно, и сам вывел, что оно сводится к уравнению 4й степени относительно tan(alfa1):

    A^2*(1-N^2) * tan(alfa1)^4 – 2*A*C*(1-N^2) * tan(alfa1)^3 + …
    (A^2 + C^2*(1-N^2) – B^2)* tan(alfa1)^2 – 2*A*C * tan(alfa1) + C^2 = 0

    Но неужели действительно так сложно?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Георгий, у меня тоже уравнение четвертой степени получилось…

    [Ответить]

    Георгий Reply:

    Спасибо, Елизавета Александровна.
    Решаю задачу численными методами. Сделал цикл с последовательным приближением.

    [Ответить]

  12. 12 Маргарита:

    (cos2x-cos3x)²+sin²3x=0 помогите решить уравнение плиз.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сумма квадратов двух вещественных чисел равна нулю \Leftrightarrow каждое из этих чисел равно нулю. Получается система из двух довольно простых уравнений.

    [Ответить]

  13. 13 Маргарита:

    Спасибо большое

    [Ответить]

  14. 14 Ната:

    Подскажите как решать ур-е пожалуйста:cos2x-4sinx=4cos4x-cos8x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    У Вас условие точно такое, нет там степеней?

    [Ответить]

  15. 15 Дарья:

    ((cos6α)/(cos2α))-((sin6α)/(sin2α))+2=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы что-то предлагаете? :-)

    [Ответить]

  16. 16 Роза:

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Именно для того, чтобы Вы это научились решать самостоятельно, и написано все то, что Вы можете прочитать выше.

    [Ответить]

  17. 17 настя:

    помогите 3.1 с б до ж

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Используйте формулы преобразования суммы в произведение.

    [Ответить]

  18. 18 Винера:

    помогите пожалуйста

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вас какое задание интересует? :-)

    [Ответить]

  19. 19 Kirill:

    Помогите решить пожалуйста. решить уравн Ctg^3x=ctgx и sin8x-sin2x=0 . Упростить sinАльфа+sin2Альфа+sin3Альфа+sin4Альфа= и sin^2Альфа+cos^2Альфа+tg^2Альфа=

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Первое разложите на множители (вынесите {rm ctg}\,x за скобки, дальше — разность квадратов), во втором преобразуйте разность в произведение по стандартным формулам. Остальное тоже делается сразу, если Вы воспользуетесь формулами, которые можно найти даже на этом сайте.

    [Ответить]

  20. 20 Айга:

    Здравсвуйте!подскажите подробное решение уравнения:
    tg(x-pi\6)(sin2x+1)=0
    Уже неделю не могу понять как это решить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Здравствуйте! Либо {\rm tg}\,(x-\pi/6)=0, либо \sin2x+1=0. Дальше решаете каждое из этих уравнений. Ответ — объединение множеств решений.

    [Ответить]

  21. 21 Shogh:

    помогите мне решить задачу найти

    [Ответить]

  22. 22 Влада:

    Помоги решить уравнение
    2sin(pi+x)+sin((3*pi)/2+x)+sinx=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мы с Вами на “ты”??? )

    [Ответить]

  23. 23 поля:

    помогите решить
    2sin^2(п/4+3х/2)-1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Непонятно, что нужно решить?

    [Ответить]

    Максим Reply:

    Тут вообще есть кто-нибудь?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Иногда бывают :-)

    [Ответить]

  24. 24 настя:

    Помогите решить уравнение (-x)=-cos п/6

    [Ответить]

  25. 25 Георгий:

    можете сказать ответ?
    cos(2*x-(3*pi)/2)=Sqrt[2]sin(x)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    У меня получилось Undefined control sequence \inZ.<br />
leading text: ...m arcsin}\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+2\pi k,k\inZ</p>
<p>.

    [Ответить]

  26. 26 Максим:

    Здравствуйте, помогите доказать тождество:
    4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
    И решить уравнение:
    Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=
    cos2x.
    С уважением.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    В тождестве \cos 4x выразите через \cos2x. В уравнении вынесите слева множитель \sin^2x\cos^2x, справа \cos2x=\cos^2x-\sin^2x.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение