24. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение \sin x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=-1  имеет решения \displaystyle x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=0 имеет решения x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=(-1)^k{\rm arcsin}\,a+\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Уравнение \cos x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при a=-1  имеет решения x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}>,

при a=0 имеет решения \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=\pm{\rm arccos}\,x+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Уравнение {\rm tg}\, x=a имеет решения x={\rm arctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Уравнение {\rm ctg}\, x=a имеет решения x={\rm arcctg}\, x+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. \cos^2x заменяем на \sin^2 x, {\rm tg}\, x — на {\rm ctg}\, x.

Пример 1.

    \[\begin{array}{l} \sin^2 x+2\sin x-3\cos^2x+1=0,\\ \sin^2x+2\sin x-3+3\sin^2x+1=0,\\ \sin x=t,\\ 4t^2+2t-2=0,\\ 2t^2+t-1=0. \end{array}\]

    \[\begin{array}{ll} 1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}& \displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} \end{array}\]

Пример 2.

    \[\begin{array}{l} {\rm ctg}\, x-3{\rm tg}\, x=0,\\ \displaystyle {1\over {\rm tg}\, x}-3{\rm tg}\, x=0,\\[3mm] 1-3{\rm tg}^2x=0\\ \displaystyle {\rm tg}^2x={1\over 3}\quad(\Longrightarrow\cos x\ne0,\sin x\ne0),\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{1\over\sqrt{3}},\\[2mm] \displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k. \end{array}\]

2. \cos2x заменяем на \cos x, \cos2x — на \sin x, {\rm tg}\,2x — на {\rm tg}\, x.

Пример 1.

    \[\begin{array}{l} 2\cos2x=8\cos x-1,\\ \cos x=t,\\ 4t^2-8t-1=0,\\ {\cal D}/4=20,\\ \displaystyle t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}. \end{array}\]

1) \displaystyle\cos x={2+\sqrt{5}\over 2} 2) \displaystyle\cos x={2-\sqrt{5}\over 2},
В первом случае решений нет, во втором \displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Пример 2.

    \[\begin{array}{l} {\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x, \end{array}\]

    \[\begin{array}{ll} 1)\ {\rm tg}\, x=0&2)\ {\rm tg}\, x\ne0,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle {2\over 1-{\rm tg}^2x}=3,\\[3mm] &3{\rm tg}^2x-1=0,\\ &{\rm tg}^2x=1/3\Rightarrow\cos x\ne0,\ {\rm tg}^2x\ne1,\\ &\displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{\sqrt{3}\over 3},\\[3mm] &\displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

Пример 3.

    \[\begin{array}{ll} {\rm tg}\,2x=3{\rm ctg}\, x&\\ 1)\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}={3\over {\rm tg}\, x}\ (\cos x\ne0)&\displaystyle \cos x=0\Longleftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] 2{\rm tg}^2x=3-3{\rm tg}^2x&\Longrightarrow{\rm tg}\,2x={\rm tg}\,(\pi+2\pi k)=0,\\ 5{\rm tg}^2x=3&{\rm ctg}\, x=0,\\ \displaystyle{\rm tg}\, x=\pm\sqrt{3\over 5}\Longrightarrow\cos x\ne0,{\rm tg}^2x\ne1&\\ \displaystyle x=\pm{\rm arctg}\,\sqrt{3\over 5}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}\]

3. Однородные уравнения относительно \sin x,\cos x.

    \[\begin{array}{l} a\sin x+b\cos x=0,\\ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0. \end{array}\]

Если a\ne0, то деля обе части уравнения на \cos x или на \cos^2 x, получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть x_0 — корень уравнения и \cos x_0=0. Подставляя в уравнение, получаем, что и \sin x_0=0, а это невозможно.

Пример.

    \[\begin{array}{ll} 2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\ 2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\ 1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на \sin^2x+\cos^2x

Пример.

    \[\begin{array}{l} \sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\ \sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\ 2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\ ({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\ {\rm tg}\, x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

    \[\begin{array}{l} 11\sin x-2\cos x=10,\\ \displaystyle 22\sin{x\over 2}\cos{x\over 2}-2\cos^2{x\over 2}+2\sin^2{x\over 2}=10\sin^2{x\over 2}+10\cos^2{x\over 2},\\[3mm] \displaystyle 4{\rm tg}^2{x\over 2}-11{\rm tg}\,{x\over 2}+6=0,\\[5mm] \displaystyle {\rm tg}\,{x\over 2}={11\pm\sqrt{121-96}\over 8}={11\pm5\over 8}. \end{array}\]

    \[\begin{array}{ll} \displaystyle \displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm] x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

5. Использование формулы a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0

Пример.

    \[\begin{array}{l} \sin x+\cos x=1,\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\ \sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

6. Замена \sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x.
Пример.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm] \cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\ \cos x-\sin x=t,\\ \displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm] 1-t^2=2t,\\ t^2+2t-1=0,\\ t=-1\pm\sqrt{2}. \end{array}\]

    \[\begin{array}{ll} \cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\ -\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\ x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\ x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}\]

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

    \[\begin{array}{l} \sin2x=2\sin x\cos x,\\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\\ \sin^2x=1-\cos^2x,\\ \cos^2x=1-\sin^2x. \end{array}\]

Пример 1.

    \[\begin{array}{ll} \cos2x=\cos x+\sin x,&\\ 1)\ \cos x+\sin x=0,&2)\ \cos x-\sin x=1,\\ 1+{\rm tg}\, x=0,&-\sqrt{2}\sin(x+{\rm arctg}\,(-1))=1,\\ {\rm tg}\, x=-1,&\displaystyle\sin\left( x-\pi/4\right)=-{\sqrt{2}\over 2},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x-{\pi\over 4}=-{\pi\over 4}+2\pi k,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] &\displaystyle x-{\pi\over 4}={5\pi\over 4}+2\pi k,\ x={3\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

Ответ. \displaystyle\left\{ 2\pi k,{3\pi\over 2}+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\right\}.

Пример 2.

    \[\begin{array}{l} \sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\ 1)\ 1+\sin x=0,\\ \sin x=-1,\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ 2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\ \sin x+\cos x=t,\\ \displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm] \displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm] t=1\pm\sqrt{2}. \end{array}\]

    \[1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2}\]

,  решений нет,

    \[\begin{array}{l} 2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\ \displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

Ответ. \displaystyle\left\{-{\pi\over 2}+2\pi k,-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\right., \displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

Понижение степени

Использование формул

    \[\begin{array}{l} \displaystyle \cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm] \displaystyle \sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha). \end{array}\]

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

    \[\begin{array}{l} 2\sin^35x+7\cos5x=9,\\ 2\sin^35x\le2,\\ 7\cos5x\le7,\\ 2\sin^35x+7\cos^5x\le9,\\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin5x=1,\\ \cos5x=1, \end{array}\right. \end{array}\]

что невозможно.

Ответ. \{\}.
Пример 2.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm] \sin^2x+\cos^2x=1,\\ \left.\begin{array}{l} \sin^{19}x\le\sin^2x,\\ \cos^{19}x\le\cos^2x, \end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\ \pi/3>1. \end{array}\]

Ответ. \{\}.
Пример 3.

    \[\begin{array}{l} \sin3x+\sin7x=2,\\ \left\{\begin{array}{l} \sin3x=1,\\ \sin7x=1, \end{array}\right.\\[5mm] \sin3x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\]

Пусть

    \[x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} .\]

Подставляем во второе уравнение:

    \[\displaystyle \sin{7\pi\over 6}\ne1;\ \sin{35\pi\over 6}\ne1;\ \sin{21\pi\over 2}=1.\]

Ответ. \displaystyle\left\{\left.{3\pi\over 2}+2\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}.

Пример 4.

    \[\begin{array}{l} \cos^3x\cos2x=-1,\\ |\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\ \left\{\begin{array}{l} \cos x=1,\\ \cos2x=-1, \end{array}\right.\end{array}\]

или

    \[\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.\]

Если \cos x=1, то \cos2x=\cos^2x-0=1\ne-1. Если \cos x=-1, то \cos2x=1.

    \[\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos2x=1. \end{array}\right.\Longleftrightarrow\cos x=-1.\]

Ответ. \{\pi+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\}.

Комментарии (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 63

  1. 1 Татьяна:

    Пожалуйста,подскажите,как решать такие системы?

        \[\sin^2x-\sin x\cos x=2\]

        \[\cos x>1/2\]

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Май 20th, 2014 at 19:42

    Сначала решите уравнение (можно записать 2=2\sin^2x+2\cos^2x, и оно станет однородным), затем выберите те решения, которые удовлетворят неравенству (неравенство вполне решаемо тоже).

    [Ответить]

    20 Май 2014, 8:19

  2. 2 Наташа:

    Здравствуйте,как решить такое уравнение sin6x+2=2cos4x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 10th, 2014 at 20:12

    2 перенесите в правую часть, перейдите к половинному аргументу. Для sin 6x примените формулу тройного аргумента. Все сводится к квадратному уравнению (кубическое легко раскладывается на множители).

    [Ответить]

    Наташа Reply:
    Ноябрь 1st, 2014 at 13:44

    А как к половинному перейти,что-то не понимаю.

    [Ответить]

    10 Октябрь 2014, 14:11

  3. 3 Наурзалинова А.А.:

    Здравствуйте, помогите решить Sin (x – 1) = cos (x+2)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 20th, 2014 at 15:25

    Здравствуйте.
    А если так перепишем: \sin(x-1)=\sin(\pi/2-x-2), дальше понятно, что делать (если нет, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/31-prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/)?

    [Ответить]

    20 Октябрь 2014, 14:08

  4. 4 Алена:

    Добрый день! Подскажите, как решается уравнение 2-2*cos(x) + x*sin(x) = 0 ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Ноябрь 7th, 2014 at 19:12

    Перейдите к половинному аргументу.

    [Ответить]

    6 Ноябрь 2014, 21:16

  5. 5 Вика:

    Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить
    sin^2(x/2)+sin^2(x/3)+sin^2(x/5)=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Ноябрь 30th, 2014 at 17:15

    Здравствуйте! А когда сумма квадратов вещественных чисел равна нулю?

    [Ответить]

    30 Ноябрь 2014, 13:31

  6. 6 Вася:

    Здравствуйте,как решить такое уравнение 4cos^2(x)+sin(x)*cos(x)+3sin^2(x)=3?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Декабрь 17th, 2014 at 15:50

    Здравствуйте!

    3=3\sin^2 x+3\cos^2 x, и получается однородное уравнение.

    [Ответить]

    11 Декабрь 2014, 22:12

  7. 7 Бати:

    Подскажите, как решается уравнение sin6x+sin4x=0

    [Ответить]

    18 Декабрь 2014, 13:55

  8. 8 Аня:

    2*cos(x) – 6*sin(x)*cos(x) + 3 = arccos (-1/2) – (2/3)пи
    не подскажите, как решить такое уравнение?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Январь 13th, 2015 at 14:16

    Это будет так: 2\cos x-6\sin x\cos x+3=0. А дальше… Вы уверены, что нет ошибки в условии? Получается уравнение 4-й степени без рациональных корней :(

    [Ответить]

    11 Январь 2015, 12:17

  9. 9 Тимур:

    Найти (в градусах) решение уравнения sin9x=cos9x, удовлетворяющее условиям 10<0<30.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Февраль 27th, 2015 at 17:43

    Перепишем: \displaystyle \sin 9x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-9x\right), откуда \displaystyle x=\frac{\pi}{36}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}. Дальше выбирайте правильное k :-)

    [Ответить]

    24 Февраль 2015, 21:45

  10. 10 bim:

    (ctgx+3)/tg(x+(pi/6))=ctg(5*pi/6) помогите решить

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Апрель 5th, 2015 at 18:00

    {\rm ctg}\,(x+\pi/6)=-\sqrt{3} по формулам приведения. {\rm tg}\,(x+\pi/6) раскройте по формуле тангенса суммы.После этого получится квадратное уравнение относительно {\rm tg}\, x ({\rm ctg}\, x выразите через тангенс.

    [Ответить]

    4 Апрель 2015, 16:53

  11. 11 Георгий:

    помогите решить систему уравнений. два уравнения, два неизвестных.

        \[\left\{\begin{array}{l} \sin(\alpha_1) = N\sin(\alpha_2) (1)\\ A{\rm tg}\,(\alpha_1) + B{\rm tg}\,(\alpha_2) + C = 0 (2) \end{array}\right.\]

        \[A, B, C, N\]

    – известные константы

    [Ответить]

    Георгий Reply:
    Апрель 29th, 2015 at 16:02

    Я, конечно, и сам вывел, что оно сводится к уравнению 4й степени относительно tan(alfa1):

    A^2*(1-N^2) * tan(alfa1)^4 – 2*A*C*(1-N^2) * tan(alfa1)^3 + …
    (A^2 + C^2*(1-N^2) – B^2)* tan(alfa1)^2 – 2*A*C * tan(alfa1) + C^2 = 0

    Но неужели действительно так сложно?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Апрель 29th, 2015 at 18:49

    Георгий, у меня тоже уравнение четвертой степени получилось…

    [Ответить]

    Георгий Reply:
    Апрель 30th, 2015 at 14:14

    Спасибо, Елизавета Александровна.
    Решаю задачу численными методами. Сделал цикл с последовательным приближением.

    [Ответить]

    29 Апрель 2015, 15:34

  12. 12 Маргарита:

    (cos2x-cos3x)²+sin²3x=0 помогите решить уравнение плиз.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Июль 19th, 2015 at 17:58

    Сумма квадратов двух вещественных чисел равна нулю

        \[\Leftrightarrow\]

    каждое из этих чисел равно нулю. Получается система из двух довольно простых уравнений.

    [Ответить]

    19 Июль 2015, 17:03

  13. 13 Маргарита:

    Спасибо большое

    [Ответить]

    23 Июль 2015, 19:13

  14. 14 Ната:

    Подскажите как решать ур-е пожалуйста:cos2x-4sinx=4cos4x-cos8x

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Август 6th, 2015 at 21:17

    У Вас условие точно такое, нет там степеней?

    [Ответить]

    6 Август 2015, 12:11

  15. 15 Дарья:

    ((cos6α)/(cos2α))-((sin6α)/(sin2α))+2=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Сентябрь 7th, 2015 at 19:24

    Вы что-то предлагаете? :-)

    [Ответить]

    7 Сентябрь 2015, 17:23

  16. 16 Роза:

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 12th, 2015 at 13:30

    Именно для того, чтобы Вы это научились решать самостоятельно, и написано все то, что Вы можете прочитать выше.

    [Ответить]

    11 Октябрь 2015, 12:49

  17. 17 настя:

    помогите 3.1 с б до ж

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Ноябрь 5th, 2015 at 21:53

    Используйте формулы преобразования суммы в произведение.

    [Ответить]

    4 Ноябрь 2015, 14:59

  18. 18 Винера:

    помогите пожалуйста

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Ноябрь 26th, 2015 at 23:53

    Вас какое задание интересует? :-)

    [Ответить]

    26 Ноябрь 2015, 17:44

  19. 19 Kirill:

    Помогите решить пожалуйста. решить уравн Ctg^3x=ctgx и sin8x-sin2x=0 . Упростить sinАльфа+sin2Альфа+sin3Альфа+sin4Альфа= и sin^2Альфа+cos^2Альфа+tg^2Альфа=

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Декабрь 3rd, 2015 at 20:51

    Первое разложите на множители (вынесите {\rm ctg}\,x за скобки, дальше — разность квадратов), во втором преобразуйте разность в произведение по стандартным формулам. Остальное тоже делается сразу, если Вы воспользуетесь формулами, которые можно найти даже на этом сайте.

    [Ответить]

    2 Декабрь 2015, 23:29

  20. 20 Айга:

    Здравсвуйте!подскажите подробное решение уравнения:
    tg(x-pi\6)(sin2x+1)=0
    Уже неделю не могу понять как это решить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Декабрь 3rd, 2015 at 20:49

    Здравствуйте! Либо {\rm tg}\,(x-\pi/6)=0, либо \sin2x+1=0. Дальше решаете каждое из этих уравнений. Ответ — объединение множеств решений.

    [Ответить]

    3 Декабрь 2015, 15:51

  21. 21 Shogh:

    помогите мне решить задачу найти

    [Ответить]

    13 Декабрь 2015, 23:10

  22. 22 Влада:

    Помоги решить уравнение
    2sin(pi+x)+sin((3*pi)/2+x)+sinx=0

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Февраль 9th, 2016 at 14:21

    Мы с Вами на “ты”??? )

    [Ответить]

    8 Февраль 2016, 3:11

  23. 23 поля:

    помогите решить
    2sin^2(п/4+3х/2)-1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Март 17th, 2016 at 17:28

    Непонятно, что нужно решить?

    [Ответить]

    Максим Reply:
    Август 4th, 2016 at 12:45

    Тут вообще есть кто-нибудь?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Август 26th, 2016 at 22:17

    Иногда бывают :-)

    [Ответить]

    16 Март 2016, 16:07

  24. 24 настя:

    Помогите решить уравнение (-x)=-cos п/6

    [Ответить]

    25 Май 2016, 21:33

  25. 25 Георгий:

    можете сказать ответ?
    cos(2*x-(3*pi)/2)=Sqrt[2]sin(x)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Август 26th, 2016 at 22:55

    У меня получилось \displaystyle x=\pi k, x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,x=\pi-\mbox{\rm arcsin}\,\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+2\pi k,x=\mbox{\rm arcsin}\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+2\pi k,k\in Z.

    [Ответить]

    8 Июль 2016, 14:53

  26. 26 Максим:

    Здравствуйте, помогите доказать тождество:
    4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
    И решить уравнение:
    Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=
    cos2x.
    С уважением.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Август 26th, 2016 at 22:13

    В тождестве \cos 4x выразите через \cos2x. В уравнении вынесите слева множитель \sin^2x\cos^2x, справа \cos2x=\cos^2x-\sin^2x.

    [Ответить]

    29 Июль 2016, 1:33

  27. 27 Антон:

    В общем такое уравнение. Не знаю с чего начать.
    2 sin^4 x + 3 cos 2x + 1 = 0

    [Ответить]

    13 Март 2017, 5:19

  28. 28 Андрей:

    дочка озадачила на старость не могу решить ряд уровнений
    5cosX+6sinX=0
    cos3Xcos5X-sin3Xsin5X=0
    sinx/7+1=0
    cos(2x+П/5)=0
    1-tg3X=0
    спасибо за рание

    [Ответить]

    16 Май 2017, 21:20

  29. 29 Надежда:

    Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.

    [Ответить]

    18 Сентябрь 2017, 16:30

  30. 30 Катерина:

    Добрый день, помогите пожалуйста, даже не знаю с чего начать( sin3x+2sinx= cosx+1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Февраль 16th, 2018 at 22:26

    Предлагаю выразить \sin3x через \sin x и \cos x.

    [Ответить]

    5 Февраль 2018, 15:32

  31. 31 Михаил:

    Здравствуйте, не подскажете как выразить t из следующего уравнения:
    y1=c*(t-sin(t)), где y1 и с – известные величины.

    [Ответить]

    25 Февраль 2018, 16:16

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение