24. Решение тригонометрических уравнений
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение при
решений не имеет,
при имеет решения
,
при имеет решения
,
при имеет решения
,
при всех остальных имеет решения
.
Уравнение при
решений не имеет,
при имеет решения
,
при имеет решения
>,
при имеет решения
,
при всех остальных имеет решения
.
Уравнение имеет решения
.
Уравнение имеет решения
.
Приемы решения тригонометрических уравнений
1. Сведение к одной функции
1. заменяем на
,
— на
.
Пример 1.
Пример 2.
2. заменяем на
,
— на
,
— на
.
Пример 1.
1) 2)
,
В первом случае решений нет, во втором .
Пример 2.
Пример 3.
3. Однородные уравнения относительно .
Если , то деля обе части уравнения на
или на
, получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть
— корень уравнения и
. Подставляя в уравнение, получаем, что и
, а это невозможно.
Пример.
4. Уравнения, приводящиеся к однородным
а) Домножение на
Пример.
б) Переход к половинному аргументу
Пример.
5. Использование формулы
Пример.
6. Замена .
Пример.
Разложение на множители
1. Формулы преобразования суммы в произведение
2. Формулы
Пример 1.
Ответ. .
Пример 2.
, решений нет,
Ответ. ,
.
Понижение степени
Использование формул
Сравнение левой и правой части
Пример 1.
что невозможно.
Ответ. .
Пример 2.
Ответ. .
Пример 3.
Пусть
Подставляем во второе уравнение:
Ответ. .
Пример 4.
или
Если , то
. Если
, то
.
Ответ. .
1 Татьяна:
Пожалуйста,подскажите,как решать такие системы?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 20th, 2014 at 19:42
Сначала решите уравнение (можно записать
, и оно станет однородным), затем выберите те решения, которые удовлетворят неравенству (неравенство вполне решаемо тоже).
[Ответить]
2 Наташа:
Здравствуйте,как решить такое уравнение sin6x+2=2cos4x
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 10th, 2014 at 20:12
2 перенесите в правую часть, перейдите к половинному аргументу. Для sin 6x примените формулу тройного аргумента. Все сводится к квадратному уравнению (кубическое легко раскладывается на множители).
[Ответить]
Наташа Reply:
Ноябрь 1st, 2014 at 13:44
А как к половинному перейти,что-то не понимаю.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2014 at 15:41
[Ответить]
3 Наурзалинова А.А.:
Здравствуйте, помогите решить Sin (x – 1) = cos (x+2)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 20th, 2014 at 15:25
Здравствуйте.
, дальше понятно, что делать (если нет, смотрите здесь: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/31-prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya/)?
А если так перепишем:
[Ответить]
4 Алена:
Добрый день! Подскажите, как решается уравнение 2-2*cos(x) + x*sin(x) = 0 ?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 7th, 2014 at 19:12
Перейдите к половинному аргументу.
[Ответить]
Варвара Reply:
Ноябрь 5th, 2018 at 15:50
Уравнение все равно останется смешанным, куда прикажете лишний х девать?
[Ответить]
5 Вика:
Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить
sin^2(x/2)+sin^2(x/3)+sin^2(x/5)=0
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 30th, 2014 at 17:15
Здравствуйте! А когда сумма квадратов вещественных чисел равна нулю?
[Ответить]
6 Вася:
Здравствуйте,как решить такое уравнение 4cos^2(x)+sin(x)*cos(x)+3sin^2(x)=3?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 17th, 2014 at 15:50
Здравствуйте!
[Ответить]
7 Бати:
Подскажите, как решается уравнение sin6x+sin4x=0
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 18th, 2014 at 21:26
Примените формулу суммы синусов: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-10-klass/28-preobrazovanie-summy-trigonometricheskix-funkcij-v-proizvedenie/
[Ответить]
8 Аня:
2*cos(x) – 6*sin(x)*cos(x) + 3 = arccos (-1/2) – (2/3)пи
не подскажите, как решить такое уравнение?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 13th, 2015 at 14:16
Это будет так:
. А дальше… Вы уверены, что нет ошибки в условии? Получается уравнение 4-й степени без рациональных корней
[Ответить]
9 Тимур:
Найти (в градусах) решение уравнения sin9x=cos9x, удовлетворяющее условиям 10<0<30.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 27th, 2015 at 17:43
Перепишем:
, откуда
. Дальше выбирайте правильное
[Ответить]
10 bim:
(ctgx+3)/tg(x+(pi/6))=ctg(5*pi/6) помогите решить
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 5th, 2015 at 18:00
[Ответить]
11 Георгий:
помогите решить систему уравнений. два уравнения, два неизвестных.
– известные константы
[Ответить]
Георгий Reply:
Апрель 29th, 2015 at 16:02
Я, конечно, и сам вывел, что оно сводится к уравнению 4й степени относительно tan(alfa1):
A^2*(1-N^2) * tan(alfa1)^4 – 2*A*C*(1-N^2) * tan(alfa1)^3 + …
(A^2 + C^2*(1-N^2) – B^2)* tan(alfa1)^2 – 2*A*C * tan(alfa1) + C^2 = 0
Но неужели действительно так сложно?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 29th, 2015 at 18:49
Георгий, у меня тоже уравнение четвертой степени получилось…
[Ответить]
Георгий Reply:
Апрель 30th, 2015 at 14:14
Спасибо, Елизавета Александровна.
Решаю задачу численными методами. Сделал цикл с последовательным приближением.
[Ответить]
12 Маргарита:
(cos2x-cos3x)²+sin²3x=0 помогите решить уравнение плиз.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 19th, 2015 at 17:58
Сумма квадратов двух вещественных чисел равна нулю
каждое из этих чисел равно нулю. Получается система из двух довольно простых уравнений.
[Ответить]
13 Маргарита:
Спасибо большое
[Ответить]
23 Июль 2015, 19:1314 Ната:
Подскажите как решать ур-е пожалуйста:cos2x-4sinx=4cos4x-cos8x
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 6th, 2015 at 21:17
У Вас условие точно такое, нет там степеней?
[Ответить]
15 Дарья:
((cos6α)/(cos2α))-((sin6α)/(sin2α))+2=0
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 7th, 2015 at 19:24
Вы что-то предлагаете?
[Ответить]
16 Роза:
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 12th, 2015 at 13:30
Именно для того, чтобы Вы это научились решать самостоятельно, и написано все то, что Вы можете прочитать выше.
[Ответить]
17 настя:
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 5th, 2015 at 21:53
Используйте формулы преобразования суммы в произведение.
[Ответить]
18 Винера:
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 26th, 2015 at 23:53
Вас какое задание интересует?
[Ответить]
19 Kirill:
Помогите решить пожалуйста. решить уравн Ctg^3x=ctgx и sin8x-sin2x=0 . Упростить sinАльфа+sin2Альфа+sin3Альфа+sin4Альфа= и sin^2Альфа+cos^2Альфа+tg^2Альфа=
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2015 at 20:51
Первое разложите на множители (вынесите
за скобки, дальше — разность квадратов), во втором преобразуйте разность в произведение по стандартным формулам. Остальное тоже делается сразу, если Вы воспользуетесь формулами, которые можно найти даже на этом сайте.
[Ответить]
20 Айга:
Здравсвуйте!подскажите подробное решение уравнения:
tg(x-pi\6)(sin2x+1)=0
Уже неделю не могу понять как это решить.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 3rd, 2015 at 20:49
Здравствуйте! Либо
, либо
. Дальше решаете каждое из этих уравнений. Ответ — объединение множеств решений.
[Ответить]
21 Shogh:
помогите мне решить задачу найти
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 14th, 2015 at 0:36
???
[Ответить]
22 Влада:
Помоги решить уравнение
2sin(pi+x)+sin((3*pi)/2+x)+sinx=0
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 9th, 2016 at 14:21
Мы с Вами на “ты”??? )
[Ответить]
23 поля:
помогите решить
2sin^2(п/4+3х/2)-1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Март 17th, 2016 at 17:28
Непонятно, что нужно решить?
[Ответить]
Максим Reply:
Август 4th, 2016 at 12:45
Тут вообще есть кто-нибудь?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:17
Иногда бывают
[Ответить]
24 настя:
Помогите решить уравнение (-x)=-cos п/6
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 23:01
[Ответить]
25 Георгий:
можете сказать ответ?
cos(2*x-(3*pi)/2)=Sqrt[2]sin(x)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:55
У меня получилось
.
[Ответить]
26 Максим:
Здравствуйте, помогите доказать тождество:
4cos^4x-2cos2x-1/2cos4x=3/2.
И решить уравнение:
Sin^4xcos^2x-cos^4xsin^2x=
cos2x.
С уважением.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 22:13
В тождестве
выразите через
. В уравнении вынесите слева множитель
, справа
.
[Ответить]
27 Антон:
В общем такое уравнение. Не знаю с чего начать.
2 sin^4 x + 3 cos 2x + 1 = 0
[Ответить]
тая Reply:
Декабрь 7th, 2018 at 17:27
cos 2x = 1- sin^2 x , sin^2 x = t, sin^4 x = t^2
[Ответить]
28 Андрей:
дочка озадачила на старость не могу решить ряд уровнений
5cosX+6sinX=0
cos3Xcos5X-sin3Xsin5X=0
sinx/7+1=0
cos(2x+П/5)=0
1-tg3X=0
спасибо за рание
[Ответить]
16 Май 2017, 21:2029 Надежда:
Вы можете отложить решения тригонометрического уравнения на единичной окружности. Решения тригонометрического уравнения на единичной окружности представляют собой вершины правильного многоугольника.
[Ответить]
18 Сентябрь 2017, 16:3030 Катерина:
Добрый день, помогите пожалуйста, даже не знаю с чего начать( sin3x+2sinx= cosx+1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 16th, 2018 at 22:26
Предлагаю выразить
через
и
.
[Ответить]
31 Михаил:
Здравствуйте, не подскажете как выразить t из следующего уравнения:
y1=c*(t-sin(t)), где y1 и с – известные величины.
[Ответить]
25 Февраль 2018, 16:1632 Элиза:
Добрый день, Елизавета Александровна! Помогите, пожалуйста, решить такую задачу: tg2x-tg3x=0 и sinx+2cos=1. Заранее большое спасибо!
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 20th, 2019 at 23:53
В первом
, дальше сами. Во втором нет аргумента у косинуса (
[Ответить]
33 Тастан:
Здраствуйте! Помогите пожалуйста как доказать
tg^2(45°-a/2) = (1-sina)/ (1+sina) ?
[Ответить]
11 Май 2019, 23:32