23. Неравенство Йенсена
Определение. Функция , заданная на некотором промежутке вещественной оси, называется выпуклой, если для любых чисел
из этого промежутка и любого числа
выполнено неравенство
Геометрически это означает, что всякая хорда, соединяющая две точки на графике, лежит выше соответствующей части графика.
Итак, сформулируем неравенство Иенсена.
Пусть — выпуклая функция. Тогда
где — числа из области определения функции
,
— положительные числа, сумма которых равна единице.
Доказательство проведем методом математической индукции. База при справедлива по определению выпуклой функции. Совершим индукционный переход от
к
:
Для эффективного применения неравенства Йенсена необходим простой критерий, позволяющий определить, является ли данная функция выпуклой. Такой критерий существует: дважды дифференцируемая функция, у которой вторая производная неотрицательна, выпуклая.
Покажем теперь, как из неравенства Йенсена можно получить классические неравенства (их можно получить все, приведем здесь лишь доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, и тех, что не были доказаны ранее).
1. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
Прологарифмировав обе части неравенства, получим
Функция выпуклая, так как производная
. Поэтому полученное неравенство — это неравенство Йенсена для функции
и
2. Неравенство между взвешенным средним арифметическим и средним геометрическим:
Так же, как и в предыдущем доказательстве, прологарифмируем обе части неравенства:
Это неравенство Йенсена для функции .
Логарифмируя обе части первого неравенства, получаем
или
Используя выпуклость функции , имеем
Записывая второе неравенство в виде
аналогично предыдущему получаем
Если в определении выпуклой функции знак неравенства изменить на противоположный, то соответствующая функция называется вогнутой. Ясно, что функция вогнута тогда и только тогда, когда функция
выпукла. Поэтому критерием вогнутости для дважды дифференцируемой функции является неположительность ее второй производной. Неравенство Йенсена для вогнутой функции
выглядит так:
Задачи.
1. Доказать, что
2. Пусть — числа из промежутка
. Доказать, что
3. Пусть — положительные числа. Доказать, что
4. Пусть — стороны треугольника. Доказать, что
5. Пусть — положительные числа,
. Доказать, что
1 zbl:
Такое доказательство неравенства Бернулли требует ещё показать выпуклость кверху логарифма:
Причём, это нужно проделать, не умея дифференцировать.
[Ответить]
zbl Reply:
Август 28th, 2013 at 2:09
Можно посмотреть на серединку хорды:
Отсюда
, что верно для любых положительных
и
. Если серединка любой хорды ниже, то и вся хорда ниже.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 28th, 2013 at 21:11
Умение дифференцировать уже должно быть, это чуть раньше, да и выпуклость раньше: http://hijos.ru/izuchenie-matematiki/mat-analiz-11-klass/14-vypuklye-funkcii/
[Ответить]
zbl Reply:
Август 29th, 2013 at 4:35
Неравенство Бернулли тривиально, если знать ряд Тейлора. Неравенство Бернулли и нужно, чтобы выводить пределы, через которые вычисляются производные трансцендентных функций, когда ещё дифференцировать не умеем. Если же везде выше обходимся неравенством Бернулли с целым показателем, то тогда оно тут лишнее совершенно, потому что в доказательстве через неравенство Йенсена лишь пустое трюкачество никому не нужное.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 2nd, 2013 at 12:13
Доказывать разными способами бывает полезно для развития умения доказывать. А по делу, конечно, можно без этого обойтись, да.
[Ответить]