22. Неравенство Гёльдера

В 1889 г. появилось обобщение неравенства Коши, данное немецким математиком О.Л. Гёльдером:

\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1\over p} \cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{1\over q},

где a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n,p,q — положительные числа, причем 1/p+1/q=1. (При  p=q=2 имеем неравенство Коши.)

Неравенство Гельдера получим, используя следующее утверждение:

\displaystyle {a^p\over p}+{b^q\over q}\ge ab\quad (a,b,p,q>0,{1\over p}+{1\over q}=1).

Оно справедливо в силу неравенства между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

a_1^{q_1}\cdot a_2^{q_2}\le q_1a_1+q_2a_2\quad (a_1,a_2,q_1,q_2>0,q_1+q_2=1).

Для доказательства достаточно положить

\displaystyle a_1=a^p,a_2=b^q,q_1={1\over p},q_2={1\over q}.

Имеем
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle{\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\over \displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1\over p}<br />
\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{1\over q}}=\sum_{i=1}^n{a_i\over\displaystyle \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1\over p}}\cdot{b_i\over\displaystyle \left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{1\over q}}\le \\[13mm]<br />
\displaystyle\le\sum_{i=1}^n\left({1\over p}\left({a_i\over\displaystyle\left(\sum a_i^p\right)^{1\over<br />
p}}\right)^p+{1\over q}\left({b_i\over\displaystyle\left(\sum<br />
b_i^q\right)^{1\over q}}\right)^q\right) ={1\over p}+{1\over q}=1.<br />
\end{array}

Задачи.

1. Пусть a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n — положительные числа, p>1. Доказать, что

\displaystyle\sum_{i=1}^na_i^p\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^p\right)^{p-1}\ge \left(\sum_{i=1}^na_ib_i^{p-1}\right)^p.

2. Пусть a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n,c_1,c_2,\ldots ,c_n — положительные числа. Доказать, что

\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i^3\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^3\right)<br />
\left(\sum_{i=1}^nc_i^3\right)\ge\left(\sum_{i=1}^na_ib_ic_i\right)^3.

3. Пусть \left\{ a_i\right\} _{i=1}^n,\left\{ b_i\right\} _{i=1}^n,\ldots ,\left\{ z_i\right\} _{i=1}^nk последовательностей положительных чисел; p_1,p_2,\ldots ,p_k — положительные числа, такие, что \displaystyle {\sum_{i=1}^k{1\over p_i}}=1. Доказать, что

\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i\ldots z_i\le\left(\sum_{i=1}^na_i^{p_1}\right)^{1\over p_1}\left(\sum_{i=1}^nb_i^{p_2}\right)^{1\over p_2}\cdot\ldots\cdot\left(\sum_{i=1}^nz_i^{p_k}\right)^{1\over p_k}.

4. Неравенство Минковского. Пусть a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n — положительные числа. Доказать, что

\displaystyle\left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{1\over n}+\left(\prod_{i=1}^nb_i\right)^{1\over<br />
n}\le\left(\prod_{i=1}^n(a_i+b_i)\right)^{1\over n}.

5. Пусть a_1,a_2,\ldots ,a_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n — положительные числа; p,q — таковы, что \displaystyle {1\over p}+{1\over q}=1,\quad pq<0. Доказать, что

\displaystyle \sum_{i=1}^na_ib_i\ge\left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{1\over p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{1\over q}.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение