20. Неравенство Бернулли

Пусть число x>-1. Тогда
\displaystyle (1+x)^{\alpha}\ge 1+\alpha x при \alpha >1,
\displaystyle (1+x)^{\alpha}\le 1+\alpha x при 0<\alpha <1,
причем равенство достигается только при x=0.

Замечание. Доказательство неравенства Бернулли будет приведено в параграфе, посвященном неравенству Йенсена.

Задачи.

1. Пусть n — натуральное число, n\ge 2. Доказать, что

    \[\left({n^2\over n^2-1}\right)^n<{n\over n-1}.\]

2. Пусть n — натуральное число, n\ge 2. Доказать, что

    \[n^n>(n+1)^{n-1}.\]

3. Пусть n — натуральное число. Доказать, что

    \[\left(1+{1\over n}\right)^n<\left( 1+{1\over n+1}\right)^{n+1}.\]

4. Пусть n — натуральное число. Доказать, что

    \[e\left(1+{1\over n}\right)^{n+1}>\left( 1+{1\over n+1}\right)^{n+2}.\]

5. Пусть n — натуральное число, n\ge 3. Доказать, что

    \[\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}.\]

Комментариев: 5

  1. 1 Степень, степень… и еще раз степень | Математика, которая мне нравится:

    [...] давайте рассмотрим последовательность . Используя неравенство Бернулли, мы можем [...]

  2. 2 Гость!:

    Как доказать самое первое??

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сначала нужно его “перевернуть” и получить эквивалентное неравенство

        \[\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n>\frac{n-1}{n}\]

    . Дальше каждую дробь представить в виде сумы дробей и применить неравенство Бернулли.

    [Ответить]

  3. 3 Валерий:

    Помогите, пожалуйста, исследовать неравенство на истинность при n = 2, 3 и произвольном n, или посоветуйте литературу, где разбираются подобные примеры.
    Я по вашему совету прочитал Туманова, теперь хотелось бы что-нибудь более углублунное, с более сложными задачами.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Валерий, мне кажется, здесь нужно знание квадратичных форм (положительная определенность, неотрицательность). Вроде бы должен помочь критерий Сильвестра. Это все есть в вузовских учебниках по алгебре, но нужна также теория определителей. Посмотрите “Лекции по алгебре” Д.К. Фаддеева. Вот еще здесь почитатйте: http://pmpu.ru/vf4/

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение