20. Неравенство Бернулли
Пусть число . Тогда
при
при
причем равенство достигается только при .
Замечание. Доказательство неравенства Бернулли будет приведено в параграфе, посвященном неравенству Йенсена.
Задачи.
1. Пусть — натуральное число,
. Доказать, что
2. Пусть — натуральное число,
. Доказать, что
3. Пусть — натуральное число. Доказать, что
4. Пусть — натуральное число. Доказать, что
5. Пусть — натуральное число,
. Доказать, что
1 Степень, степень… и еще раз степень | Математика, которая мне нравится:
[...] давайте рассмотрим последовательность . Используя неравенство Бернулли, мы можем [...]
12 Октябрь 2011, 0:052 Гость!:
Как доказать самое первое??
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 9th, 2012 at 23:52
Сначала нужно его “перевернуть” и получить эквивалентное неравенство
. Дальше каждую дробь представить в виде сумы дробей и применить неравенство Бернулли.
[Ответить]
3 Валерий:
Помогите, пожалуйста, исследовать неравенство на истинность при n = 2, 3 и произвольном n, или посоветуйте литературу, где разбираются подобные примеры.

Я по вашему совету прочитал Туманова, теперь хотелось бы что-нибудь более углублунное, с более сложными задачами.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 7th, 2015 at 22:40
Валерий, мне кажется, здесь нужно знание квадратичных форм (положительная определенность, неотрицательность). Вроде бы должен помочь критерий Сильвестра. Это все есть в вузовских учебниках по алгебре, но нужна также теория определителей. Посмотрите “Лекции по алгебре” Д.К. Фаддеева. Вот еще здесь почитатйте: http://pmpu.ru/vf4/
[Ответить]