Неравенство Бернулли | Математика, которая мне нравится

20. Неравенство Бернулли

Пусть число $x>-1$ . Тогда
$\displaystyle (1+x)^{\alpha}\ge 1+\alpha x$ при $\alpha >1,$
$\displaystyle (1+x)^{\alpha}\le 1+\alpha x$ при $0<\alpha <1,$
причем равенство достигается только при $x=0$ .

Замечание. Доказательство неравенства Бернулли будет приведено в параграфе, посвященном неравенству Йенсена.

Задачи.

1. Пусть $n$ — натуральное число, $n\ge 2$ . Доказать, что

$\left({n^2\over n^2-1}\right)^n<{n\over n-1}.$

2. Пусть $n$ — натуральное число, $n\ge 2$ . Доказать, что

$n^n>(n+1)^{n-1}.$

3. Пусть $n$ — натуральное число. Доказать, что

$\left(1+{1\over n}\right)^n<\left( 1+{1\over n+1}\right)^{n+1}.$

4. Пусть $n$ — натуральное число. Доказать, что

$e\left(1+{1\over n}\right)^{n+1}>\left( 1+{1\over n+1}\right)^{n+2}.$

5. Пусть $n$ — натуральное число, $n\ge 3$ . Доказать, что

$\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}.$

Комментарии (RSS) | Трекбек

Комментариев: 5

1 Степень, степень… и еще раз степень | Математика, которая мне нравится:

[...] давайте рассмотрим последовательность . Используя неравенство Бернулли, мы можем [...]
12 Октябрь 2011, 0:05
2 Гость!:

Как доказать самое первое??

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 9th, 2012 at 23:52
Сначала нужно его “перевернуть” и получить эквивалентное неравенство $\displaystyle\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n>\frac{n-1}{n}$ . Дальше каждую дробь представить в виде сумы дробей и применить неравенство Бернулли.

[Ответить]
9 Сентябрь 2012, 23:44
3 Валерий:

Помогите, пожалуйста, исследовать неравенство на истинность при n = 2, 3 и произвольном n, или посоветуйте литературу, где разбираются подобные примеры.
Я по вашему совету прочитал Туманова, теперь хотелось бы что-нибудь более углублунное, с более сложными задачами.

[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 7th, 2015 at 22:40
Валерий, мне кажется, здесь нужно знание квадратичных форм (положительная определенность, неотрицательность). Вроде бы должен помочь критерий Сильвестра. Это все есть в вузовских учебниках по алгебре, но нужна также теория определителей. Посмотрите “Лекции по алгебре” Д.К. Фаддеева. Вот еще здесь почитатйте: http://pmpu.ru/vf4/

[Ответить]
7 Апрель 2015, 12:31