2. Деление с остатком. Теорема Безу
Деление с остатком
Определение. Пусть и
— многочлены,
. Будем говорить, что
поделен на
с остатком, если
представлен в виде
, где
и
— многочлены, причем
.
Полином называется остатком от деления
на
,
— частным.
Пример. .
.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и
— полиномы над полем
,
. Тогда существуют единственные многочлены
и
над полем
такие, что
и
.
Доказательство. Существование.
Пусть . Положим
.
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома (
фиксируем). Среди всех многочленов
, для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его
:
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочлене
равен
. Следовательно,
. Значит, для многочлена
теорема верна. Существуют такие
и
, что
. Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит,
,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.
Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен
равен
.
Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.
Это равенство верно при любых значениях . Положим
:
Задачи.
1. Проверьте, выполняются ли условия:
1) делится на
;
2) делится на
.
2. Докажите, что
делится на
.
3. Найдите значения параметров и
, при которых
делится на
.
4. Найдите все значения параметров и
, такие, что остаток от деления
на
равен
.
5. Найдите все натуральные , такие, что
делится на
.
6. Известно, что остаток от деления полинома на
равен
, от деления
на
равен
. Найдите остаток от деления
на
.
7. Найдите остаток от деления многочлена на
.
8. Полином с целыми коэффициентами принимает значение
в пяти различных целых точках. Может ли он иметь целый корень?
1 Деление многочленов ``в столбик'' | Математика, которая мне нравится:
[...] ( не должен быть тождественно равным нулю) справделива теорема о делении с остатком. Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на [...]
6 Май 2011, 0:222 Антон:
Благодарю вас за столь прекрасное изложение материала, актуального для меня в данный промежуток времени.
[Ответить]
2 Декабрь 2017, 20:29