19. Классические неравенства. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим имеет вид

\displaystyle {a_1+a_2+\cdots +a_n\over n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} \quad (a_1,a_2,\ldots ,a_n\ge 0),

причем равенство достигается только в том случае, когда все числа равны.

При n=2 имеем

\displaystyle<br />
a_1a_2=\left( {a_1+a_2\over 2}\right)^2-\left(<br />
{a_1-a_2\over 2}\right)^2<\left( {a_1+a_2\over 2}\right)^2 ,

кроме случая a_1=a_2. Далее
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle a_1a_2a_3a_4\le\hskip-0.5mm\left(\hskip-0.5mm {a_1+a_2\over 2}\right)^{2} \cdot\left( {a_3+a_4\over 2}\right)^{2} \le\left( {1\over 2}\left( {a_1+a_2\over 2}+{a_3+a_4\over 2}\right) \right)^{4}\\[4mm]<br />
\displaystyle =\left( {a_1+a_2+a_3+a_4\over<br />
4}\right)^4,<br />
\end{array}
причем знак неравенства строгий, если не все числа a_1,a_2,a_3,a_4 равны между собой.

Повторяя это рассуждение m раз, получаем

\displaystyle a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_{2^m}<\left( {a_1+a_2+\cdots +a_{2^m}\over 2^m}\right)^{2^m},

кроме случая, когда все a_i равны.

Таким образом, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим доказано для степеней двойки.

Пусть теперь n — любое натуральное число, а натуральное число m таково, что 2^m>n. Положим

\displaystyle b_1=a_1,b_2=a_2,\ldots ,b_n=a_n,b_{n+1}=\ldots =b_{2^m}={{1\over n}\sum_{i=1}^n}a_i=u.

По доказанному
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n\cdot<br />
u^{2^m-n}=b_1b_2\cdot\ldots\cdot b_{2^m}>\left({b_1+\cdots+b_{2^m}\over 2^m}\right)^{2^m}=\\[6mm]<br />
\displaystyle<br />
=\left({nu+(2^m-n)u\over 2^m}\right)^{2^m}=u^{2^m}, \end{array}
за исключением случая, когда все b_i равны, а, значит, и все a_i равны.

Отсюда получаем

\displaystyle a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n\le\left({a_1+\cdots +a_n\over n}\right)^n

или

\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\le{a_1+\cdots +a_n\over n},

причем равенство достигается только в случае a_1=a_2=\ldots =a_n.

Приведем одно важное обобщение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, касающееся взвешенных средних.

Пусть q_1,q_2,\ldots ,q_n — положительные числа, сумма которых равна единице. Тогда число
\displaystyle {\sum_{i=1}^n}q_ia_i называется взвешенным средним арифметическим положительных чисел a_1,a_2,\ldots ,a_n, а число \displaystyle {\prod_{i=1}^n}a_i^{q_i} — их взвешенным средним геометрическим. Неравенство между взвешенными средними арифметическим и геометрическим утверждает, что

q_1a_1+q_2a_2+\cdots +q_na_n\ge a_1^{q_1}\cdot a_2^{q_2}\cdot\ldots\cdot a_n^{q_n},

причем равенство достигается только в случае a_1=a_2=\ldots =a_n.

Замечание. Это неравенство будет доказано почле изучения неравенства Йенсена.

Задачи.

1. Пусть a,b — положительные числа. Доказать, что

2\sqrt a+3\sqrt[3] b\ge 5\cdot\sqrt[5]{ab}.

2. Пусть a,b — вещественные числа, a\ge 0. Доказать, что

\displaystyle {a^3+b^6\over 2}\ge 3ab^2-4.

3. Сумма положительных чисел a_1,a_2,\ldots ,a_n равна S. Доказать, что

\displaystyle \prod_{i=1}^n\left( 1-{2a_i\over S}\right)\le\left({n-2\over n}\right)^n.

4. Пусть a — вещественное число. Доказать, что

\displaystyle \sum_{i=1}^na^{2i}\ge (n+1)a^n-1.

При каком x\quad (0<x<1) выражение x^n(1-x)^k принимает наибольшее значение?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение