18. Векторное и смешанное произведение векторов

Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.

Определение. Векторным произведением векторов {\bf a} и {\bf b}, угол между которыми равен \varphi, называется вектор, модуль которого равен |{\bf a}||{\bf b}|\sin\varphi, перпендикулярный плоскости векторов {\bf a},{\bf b}, направленный так, чтобы тройка векторов {\bf a},{\bf b},{\bf a}\times {\bf b} была правой (если смотреть с конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму должен происходить против часовой стрелки).

Обозначение. [{\bf a},{\bf b}] или {\bf a}\times {\bf b}.

Свойства векторного произведения

1. {\bf a}\times {\bf b}=-{\bf b}\times {\bf a}.

2. {\bf a}\times({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\times {\bf b}+{\bf a}\times {\bf c}.

3. \lambda({\bf a}\times {\bf c})=(\lambda {\bf a})\times {\bf c}={\bf a}\times(\lambda {\bf c}).

4. Пусть вектора имеют координаты (a_1,a_2,a_3) и (b_1,b_2,b_3) в прямоугольной системе координат. Тогда их векторное произведение — вектор

    \[\left|\begin{array}{ccc} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{array}\right|={\bf i}\left|\begin{array}{cc} a_2&a_3\\ b_2&b_3 \end{array}\right|-{\bf j}\left|\begin{array}{cc} a_1&a_3\\ b_1&b_3 \end{array}\right|+{\bf k}\left|\begin{array}{cc} a_1&a_2\\ b_1&b_2 \end{array}\right|.\]

(Равенство проверяется непосредственно).

С помощью определителей можем легко вычислить ориентированный объем — смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, легко сможем найти объем параллелепипеда, если известны координаты его вершин.

Определение. Смешанным произведением векторов {\bf a},{\bf b},{\bf c} называется

    \[V({\bf a},{\bf b},{\bf c})=({\bf a},[{\bf b},{\bf c}]).\]

Обозначение. V({\bf a},{\bf b},{\bf c}) либо ({\bf a},{\bf b},{\bf c}).

Свойства смешанного произведения

1.

    \[\begin{array}{l} ({\bf a},{\bf b},{\bf c})=({\bf b},{\bf c},{\bf a})=({\bf c},{\bf a},{\bf b}) =\\ =-({\bf b},{\bf a},{\bf c})=-({\bf c},{\bf b},{\bf a})=- ({\bf a},{\bf c},{\bf b}). \end{array}\]

2. ({\bf a},{\bf c},{\bf b}) тогда и только тогда, когда векторы {\bf a},{\bf b} и {\bf c} линейно зависимы.

3. Смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах {\bf a},{\bf b} и {\bf c}, взятому со знаком плюс, если тройка {\bf a},{\bf b},{\bf c} ориентирована так же, как тройка координатных векторов {\bf i},{\bf j},{\bf k} и со знаком минус в противоположном случае.

4. Если векторы {\bf a},{\bf b},{\bf c} имеют координаты (a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3) соответственно в прямоугольной системе координат, то

    \[V({\bf a},{\bf b},{\bf c})=\left|\begin{array}{ccc} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{array}\right|.\]

Задачи.

1. Найдите векторное произведение векторов, если

    \[{\bf a}=(3,-1,2),\ {\bf b}=(2,-3,-5) .\]

2. Упростите выражение

    \[[{\bf a}+{\bf b},{\bf a}-{\bf b}] .\]

3. Найдите смешанное произведение векторов, если

    \[{\bf a}=(1,-1,1),\ {\bf b}=(7,3,-5),\ {\bf c}=(-2,1,-2).\]

4. Найдите объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах {\bf a} и {\bf b}, а боковое ребро совпадает с вектором {\bf c}.

Комментариев: 2

  1. 1 Лара:

    почему не указана ссылка на литературу и ученых кто это вывел

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Практически в любом вузовском учебнике геометрии это есть. И выведено было очень давно и, думаю, разными людьми, концы найти трудно…

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение