18. Векторное и смешанное произведение векторов
Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.
Определение. Векторным произведением векторов и
, угол между которыми равен
, называется вектор, модуль которого равен
, перпендикулярный плоскости векторов
, направленный так, чтобы тройка векторов
была правой (если смотреть с конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму должен происходить против часовой стрелки).
Обозначение. или
.
Свойства векторного произведения
1. .
2. .
3. .
4. Пусть вектора имеют координаты и
в прямоугольной системе координат. Тогда их векторное произведение — вектор
(Равенство проверяется непосредственно).
С помощью определителей можем легко вычислить ориентированный объем — смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, легко сможем найти объем параллелепипеда, если известны координаты его вершин.
Определение. Смешанным произведением векторов называется
Обозначение. либо
.
Свойства смешанного произведения
1.
2. тогда и только тогда, когда векторы
и
линейно зависимы.
3. Смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах и
, взятому со знаком плюс, если тройка
ориентирована так же, как тройка координатных векторов
и со знаком минус в противоположном случае.
4. Если векторы имеют координаты
соответственно в прямоугольной системе координат, то
Задачи.
1. Найдите векторное произведение векторов, если
2. Упростите выражение
3. Найдите смешанное произведение векторов, если
4. Найдите объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах и
, а боковое ребро совпадает с вектором
.
1 Лара:
почему не указана ссылка на литературу и ученых кто это вывел
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 18th, 2015 at 21:55
Практически в любом вузовском учебнике геометрии это есть. И выведено было очень давно и, думаю, разными людьми, концы найти трудно…
[Ответить]