17. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей

Определение. Символ
\left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&b_1&c_1\\<br />
a_2&b_2&c_2\\<br />
a_3&b_3&c_3<br />
\end{array}\right|=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2-<br />
a_3b_2c_1
называется определителем третьего порядка. Числа a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3
называются элементами определителя. Элементы a_1,b_2,c_3 образуют главную диагональ определителя, а элементы c_1,b_2,a_3 – его побочную диагональ.

Простое правило для запоминаний этого выражения: запишем еще раз все элементы определителя, приписав к ним снова первый и второй столбцы:

Со знаком плюс берем произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на рисунке они перечеркнуты сплошной линией). Со знаком минус берем произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелях к ней, содержащие по три элемента (на рисунке они перечеркнуты пунктиром).

Решение системы линейных уравнений
\left\{\begin{array}{l}<br />
a_1x+b_1y+c_1=d_1,\\<br />
a_2x+b_2y+c_2=d_2,\\<br />
a_3x+b_3y+c_3z=d_3<br />
\end{array}\right.
с помощью определителей можно записать так (формулы Крамера):
x={\left|\begin{array}{ccc}<br />
d_1&b_1&c_1\\<br />
d_2&b_2&c_2\\<br />
d_3&b_3&c_3<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&b_1&c_1\\<br />
a_2&b_2&c_2\\<br />
a_3&b_3&c_3<br />
\end{array}\right|},\ y={\left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&d_1&c_1\\<br />
a_2&d_2&c_2\\<br />
a_3&d_3&c_3<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&b_1&c_1\\<br />
a_2&b_2&c_2\\<br />
a_3&b_3&c_3<br />
\end{array}\right|},\ z={\left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&b_1&d_1\\<br />
a_2&b_2&d_2\\<br />
a_3&b_3&d_3<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc}<br />
a_1&b_1&c_1\\<br />
a_2&b_2&c_2\\<br />
a_3&b_3&c_3<br />
\end{array}\right|}.
Определитель, стоящий в знаменателе, называется главным определителем системы уравнений. Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том
случае, если главный определитель отличен от нуля.

Пример. Решить систему
\left\{\begin{array}{l}<br />
2x-y-z=7,\\<br />
x+y-2z=2,\\<br />
x-y-3z=-2.<br />
\end{array}\right.
Имеем
\displaystyle<br />
x={\left|\begin{array}{rrr}<br />
7&-1&-1\\<br />
2&1&-2\\<br />
-2&-1&-3<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{rrr}<br />
2&-1&-1\\<br />
1&1&-2\\<br />
1&-1&-3<br />
\end{array}\right|}={-21+2-4-6-14-2\over -6+1+2-3-4-(-1)}={-45\over -9}=5.<br />
После этого сводим решение исходной системы к решению системы с двумя неизвестными:
\left\{\begin{array}{l}<br />
5+y-2z=2,\\<br />
5-y-3z=-2.<br />
\end{array}\right.
Решив ее, получим x=5,y=1,z=2.

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений:

1. \mbox{\rm в) }\left\{\begin{array}{l}</p>
<p>\displaystyle<br />
{1\over x}+{1\over y}=5,\\[3mm]</p>
<p>\displaystyle<br />
{1\over x}+{1\over z}=7,\\[3mm]</p>
<p>\displaystyle<br />
{1\over y}+{1\over z}=8.<br />
\end{array}\right.

2. \left\{\begin{array}{l}<br />
x+y=5,\\[1mm]<br />
x+z=12,\\[1mm]<br />
y+z=15.<br />
\end{array}\right.

3. \left\{\begin{array}{l}<br />
3x-y+4z=15,\\[1mm]<br />
x+3y+z=18,\\[1mm]<br />
2z+y-3z=11.<br />
\end{array}\right.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение