Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей

17. Решение системы трех линейных уравнений с помощью определителей

Определение. Символ

$\left|\begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right|=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_2b_1c_3-a_1b_3c_2- a_3b_2c_1$

называется определителем третьего порядка. Числа $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3$
называются элементами определителя. Элементы $a_1,b_2,c_3$ образуют главную диагональ определителя, а элементы $c_1,b_2,a_3$ — его побочную диагональ.

Простое правило для запоминаний этого выражения: запишем еще раз все элементы определителя, приписав к ним снова первый и второй столбцы:

Со знаком плюс берем произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также на двух параллелях к ней, содержащих по три элемента (на рисунке они перечеркнуты сплошной линией). Со знаком минус берем произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и на двух параллелях к ней, содержащие по три элемента (на рисунке они перечеркнуты пунктиром).

Решение системы линейных уравнений

$\left\{\begin{array}{l} a_1x+b_1y+c_1=d_1,\\ a_2x+b_2y+c_2=d_2,\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array}\right.$

с помощью определителей можно записать так (формулы Крамера):

$x={\left|\begin{array}{ccc} d_1&b_1&c_1\\ d_2&b_2&c_2\\ d_3&b_3&c_3 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right|},\ y={\left|\begin{array}{ccc} a_1&d_1&c_1\\ a_2&d_2&c_2\\ a_3&d_3&c_3 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right|},\ z={\left|\begin{array}{ccc} a_1&b_1&d_1\\ a_2&b_2&d_2\\ a_3&b_3&d_3 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{ccc} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}\right|}.$

Определитель, стоящий в знаменателе, называется главным определителем системы уравнений. Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том
случае, если главный определитель отличен от нуля.

Пример. Решить систему

$\left\{\begin{array}{l} 2x-y-z=7,\\ x+y-2z=2,\\ x-y-3z=-2. \end{array}\right.$

Имеем

$x={\left|\begin{array}{rrr} 7&-1&-1\\ 2&1&-2\\ -2&-1&-3 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{rrr} 2&-1&-1\\ 1&1&-2\\ 1&-1&-3 \end{array}\right|}={-21+2-4-6-14-2\over -6+1+2-3-4-(-1)}={-45\over -9}=5.$

После этого сводим решение исходной системы к решению системы с двумя неизвестными:

$\left\{\begin{array}{l} 5+y-2z=2,\\ 5-y-3z=-2. \end{array}\right.$

Решив ее, получим $x=5,y=1,z=2$ .

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений:

$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle {1\over x}+{1\over y}=5,\\[3mm] \displaystyle {1\over x}+{1\over z}=7,\\[3mm] \displaystyle {1\over y}+{1\over z}=8. \end{array}\right.$