16. Решение системы двух линейных линейных уравнений с помощью определителей

Условимся под символом

\left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&b_1\\<br />
a_2&b_2<br />
\end{array}\right|

понимать выражение

a_1b_2-a_2b_1.

Пример.

\left|\begin{array}{cc}<br />
7&2\\<br />
13&5<br />
\end{array}\right|=7\cdot5-13\cdot2=35-26=9.

Определение. Символ

\left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&b_1\\<br />
a_2&b_2<br />
\end{array}\right|

называется определителем второго порядка. Числа a_1,a_2,b_1,b_2 называются элементами определителя.

Решение системы линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
a_1x+b_1y=c_1,\\<br />
a_2x+b_2y=c_2<br />
\end{array}\right.

с помощью определителей можно записать так:

x={\left|\begin{array}{cc}<br />
c_1&b_1\\<br />
c_2&b_2<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&b_1\\<br />
a_2&b_2<br />
\end{array}\right|},\ y={\left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&c_1\\<br />
a_2&c_2<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&b_1\\<br />
a_2&b_2<br />
\end{array}\right|}.

Знаменатель каждой из этих дробей есть определитель \left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&b_1\\<br />
a_2&b_2<br />
\end{array}\right|, составленный из коэффициентов a_1,b_1,a_2,b_2 при неизвестных x и y. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений. Приведенные формулы называются формулами Крамера.

Определитель же

\left|\begin{array}{cc}<br />
c_1&b_1\\<br />
c_2&b_2<br />
\end{array}\right|

получается из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном x столбцом свободных членов, стоящих в правых частях уравнений.

Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Определитель

\left|\begin{array}{cc}<br />
a_1&c_1\\<br />
a_2&c_2<br />
\end{array}\right|

получается из главного определителя заменой столбца \left(\begin{array}{c}<br />
b_1\\ b_2<br />
\end{array}\right) столбцом \left(\begin{array}{c}<br />
c_1\\ c_2<br />
\end{array}\right).

Пример. Решить систему линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
5x-3y=7,\\<br />
2x+y=5.<br />
\end{array}\right.

Решение.

\displaystyle x={\left|\begin{array}{rr}<br />
7&-3\\<br />
5&1<br />
\end{array}\right|\over \left|\begin{array}{rr}<br />
5&-3\\<br />
2&1<br />
\end{array}\right|}={7\cdot1-5\cdot(-3)\over 5\cdot1-2\cdot(-3)}={22\over<br />
11}=2,

y={\left|\begin{array}{cc}<br />
5&7\\<br />
2&5<br />
\end{array}\right|\over<br />
\left|<br />
\begin{array}{rr}<br />
5&-3\\<br />
2&1<br />
\end{array}\right|}={11\over 11}=1.

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений с помощью определителей:

1. \left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{x\over a+b}+{y\over a-b}=1,\\[1mm]<br />
\displaystyle<br />
{x\over a-b}+{y\over a+b}={a^2+b^2\over a^2-b^2}.<br />
\end{array}\right.

2. \left\{\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{x\over a}+{y\over b}={1\over a^2}+{1\over b^2},\\[1mm]<br />
\displaystyle<br />
a\left( x-{1\over b}\right)=b\left( y+{1\over a}\right) .<br />
\end{array}\right.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение