16. Решение системы двух линейных линейных уравнений с помощью определителей

Условимся под символом

    \[\left|\begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array}\right|\]

понимать выражение

    \[a_1b_2-a_2b_1.\]

Пример.

    \[\left|\begin{array}{cc} 7&2\\ 13&5 \end{array}\right|=7\cdot5-13\cdot2=35-26=9.\]

Определение. Символ

    \[\left|\begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array}\right|\]

называется определителем второго порядка. Числа a_1,a_2,b_1,b_2 называются элементами определителя.

Решение системы линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{array}\right.\]

с помощью определителей можно записать так:

    \[x={\left|\begin{array}{cc} c_1&b_1\\ c_2&b_2 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array}\right|},\ y={\left|\begin{array}{cc} a_1&c_1\\ a_2&c_2 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array}\right|}.\]

Знаменатель каждой из этих дробей есть определитель \left|\begin{array}{cc} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{array}\right|, составленный из коэффициентов a_1,b_1,a_2,b_2 при неизвестных x и y. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений. Приведенные формулы называются формулами Крамера.

Определитель же

    \[\left|\begin{array}{cc} c_1&b_1\\ c_2&b_2 \end{array}\right|\]

получается из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном x столбцом свободных членов, стоящих в правых частях уравнений.

Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Определитель

    \[\left|\begin{array}{cc} a_1&c_1\\ a_2&c_2 \end{array}\right|\]

получается из главного определителя заменой столбца \left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2 \end{array}\right) столбцом \left(\begin{array}{c} c_1\\ c_2 \end{array}\right).

Пример. Решить систему линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} 5x-3y=7,\\ 2x+y=5. \end{array}\right.\]

Решение.

    \[\displaystyle x={\left|\begin{array}{rr} 7&-3\\ 5&1 \end{array}\right|\over \left|\begin{array}{rr} 5&-3\\ 2&1 \end{array}\right|}={7\cdot1-5\cdot(-3)\over 5\cdot1-2\cdot(-3)}={22\over 11}=2,\]

    \[y={\left|\begin{array}{cc} 5&7\\ 2&5 \end{array}\right|\over \left| \begin{array}{rr} 5&-3\\ 2&1 \end{array}\right|}={11\over 11}=1.\]

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений с помощью определителей:

1.

    \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle {x\over a+b}+{y\over a-b}=1,\\[1mm] \displaystyle {x\over a-b}+{y\over a+b}={a^2+b^2\over a^2-b^2}. \end{array}\right.\]

2.

    \[\left\{\begin{array}{l} \displaystyle {x\over a}+{y\over b}={1\over a^2}+{1\over b^2},\\[1mm] \displaystyle a\left( x-{1\over b}\right)=b\left( y+{1\over a}\right) . \end{array}\right.\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение