15. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов {\bf x} и {\bf y} называется число ({\bf x},{\bf y}), причем выполнены условия:
1. ({\bf x},{\bf y})=({\bf y},{\bf x});
2. ({\bf x}_1+{\bf x}_2,{\bf y})=({\bf x}_1,{\bf y})+({\bf x}_2,{\bf y});
3. (\alpha {\bf x},{\bf y})=\alpha({\bf x},{\bf y})
для любого \alpha\in\mathbb{R}.

Если {\bf x}\ne\mathbb{O}, то ({\bf x},{\bf x})>0.

Векторное пространство с введенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Определение. Векторы {\bf x} и {\bf y} называются ортогональными, если ({\bf x},{\bf y})=0.

Определение. Базис (или система векторов) {\bf e}_1,{\bf e}_2,\ldots,{\bf e}_n называется ортонормированным, если

    \[({\bf e}_i,{\bf e}_j)=\left\{\begin{array}{lll} 1,&\mbox{\rm если}&i=j,\\ 0,&\mbox{\rm если}&i\ne j. \end{array}\right.\]

Определение. Матрицей Грама векторов {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k евклидова пространства называется матрица

    \[\left(\begin{array}{cccc} ({\bf a}_1,{\bf a}_1)&({\bf a}_1,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_1,{\bf a}_k)\\ ({\bf a}_2,{\bf a}_1)&({\bf a}_2,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_2,{\bf a}_k)\\ \ldots&&&\\ ({\bf a}_k,{\bf a}_1)&({\bf a}_k,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_k,{\bf a}_k) \end{array}\right) .\]

Задачи.

1. Докажите, что скалярное произведение двух любых векторов

    \[{\bf x}=(x_1,x_2,x_3),\ {\bf y}=(y_1,y_2,y_3)\]

тогда и только тогда выражается равенством

    \[({\bf x},{\bf y})=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,\]

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

2. Докажите, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов, не содержащая нулевого вектора (в частности, любая ортонормированная система) линейно независима.

3. Докажите неравенство Коши-Буняковского

    \[({\bf x},{\bf y})^2\le({\bf x},{\bf x})({\bf y},{\bf y})\]

Для любых векторов {\bf x} и {\bf y} евклидового пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

4. Найдите скалярное произведение векторов {\bf x}=(1,2,3) и {\bf y}=(-1,0,-2), координаты которых даны в базисе {\bf e}_1=(2,1,0), {\bf e}_2=(3,2,1), {\bf e}_3=(0,1,1). (Координаты векторов {\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3 заданы в некотором ортонормированном базисе).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение