15. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов {\bf x} и {\bf y} называется число ({\bf x},{\bf y}), причем выполнены условия:
1. ({\bf x},{\bf y})=({\bf y},{\bf x});
2. ({\bf x}_1+{\bf x}_2,{\bf y})=({\bf x}_1,{\bf y})+({\bf x}_2,{\bf y});
3. (\alpha {\bf x},{\bf y})=\alpha({\bf x},{\bf y})
для любого \alpha\in\mathbb{R}.

Если {\bf x}\ne\mathbb{O}, то ({\bf x},{\bf x})>0.

Векторное пространство с введенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Определение. Векторы {\bf x} и {\bf y} называются ортогональными, если ({\bf x},{\bf y})=0.

Определение. Базис (или система векторов) {\bf e}_1,{\bf e}_2,\ldots,{\bf e}_n называется ортонормированным, если

({\bf e}_i,{\bf e}_j)=\left\{\begin{array}{lll}<br />
1,&\mbox{\rm если}&i=j,\\<br />
0,&\mbox{\rm если}&i\ne j.<br />
\end{array}\right.

Определение. Матрицей Грама векторов {\bf a}_1,{\bf a}_2,\ldots,{\bf a}_k евклидова пространства называется матрица

\left(\begin{array}{cccc}<br />
({\bf a}_1,{\bf a}_1)&({\bf a}_1,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_1,{\bf a}_k)\\<br />
({\bf a}_2,{\bf a}_1)&({\bf a}_2,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_2,{\bf a}_k)\\<br />
\ldots&&&\\<br />
({\bf a}_k,{\bf a}_1)&({\bf a}_k,{\bf a}_2)&\ldots&({\bf a}_k,{\bf a}_k)<br />
\end{array}\right) .

Задачи.

1. Докажите, что скалярное произведение двух любых векторов

{\bf x}=(x_1,x_2,x_3),\ {\bf y}=(y_1,y_2,y_3)

тогда и только тогда выражается равенством

({\bf x},{\bf y})=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

2. Докажите, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов, не содержащая нулевого вектора (в частности, любая ортонормированная система) линейно независима.

3. Докажите неравенство Коши-Буняковского

({\bf x},{\bf y})^2\le({\bf x},{\bf x})({\bf y},{\bf y})

Для любых векторов {\bf x} и {\bf y} евклидового пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

4. Найдите скалярное произведение векторов {\bf x}=(1,2,3) и {\bf y}=(-1,0,-2), координаты которых даны в базисе {\bf e}_1=(2,1,0), {\bf e}_2=(3,2,1), {\bf e}_3=(0,1,1). (Координаты векторов {\bf e}_1,{\bf e}_2,{\bf e}_3 заданы в некотором ортонормированном базисе).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение