14. Матрицы и операции над ними*

Далее будем рассматривать квадратные матрицы 2\times2 и 3\times3 (квадратные таблицы чисел с двумя строками и тремя  столбцами и тремя строками и тремя столбцами). Все, что будет говориться, справедливо и для квадратных матриц порядка n.

Определение. Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определим сумму двух матриц. Пусть

A=\left(\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}\\<br />
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\<br />
a_{31}&a_{32}&a_{33}<br />
\end{array}\right),<br />
B=\left(\begin{array}{ccc}<br />
b_{11}&b_{12}&b_{13}\\<br />
b_{21}&b_{22}&b_{23}\\<br />
b_{31}&b_{32}&b_{33}<br />
\end{array}\right).

Тогда суммой матриц A и B называется матрица

A+B=\left(\begin{array}{ccc}<br />
a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\<br />
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\<br />
a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33}<br />
\end{array}\right),

произведением матрицы A на вещественное число c — матрица

cA=\left(\begin{array}{ccc}<br />
ca_{11}&ca_{12}&ca_{13}\\<br />
ca_{21}&ca_{22}&ca_{23}\\<br />
ca_{31}&ca_{32}&ca_{33}<br />
\end{array}\right),

произведением строки A^T=(a_1,a_2,\ldots,a_n) на столбец B=\left(\begin{array}{c}<br />
b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n<br />
\end{array}\right) — число

a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n,

произведением матриц A и B — матрица

AB=\left(\begin{array}{ccc}<br />
{\cal A}_1B_1&{\cal A}_1B_2&{\cal A}_1B_3\\<br />
{\cal A}_2B_1&{\cal A}_2B_2&{\cal A}_2B_3\\<br />
{\cal A}_3B_1&{\cal A}_3B_2&{\cal A}_3B_3<br />
\end{array}\right).

Здесь {\cal A}_jj-я строка матрицы A, B_ii-ый столбец матрицы B.

Свойства операций над матрицами

1. A+B=B+A.
2. (A+B)+C=A+(B+C).
3. Матрица \mathbb{O}, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+\mathbb{O}=A для любой A.
4. Противоположная матрица для матрицы A — матрица -A=(-1)A: A+(-A)=\mathbb{O}.
5. (c_1+c_2)A=c_1A+c_2A.
6. c(A_1+A_2)=cA_1+cA_2.
7. c_1(c_2A)=(c_1c_2)A.
8. 1\cdot A=A.

Умножение матриц не коммутативно!

\begin{array}{l}<br />
\left(\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
3&4<br />
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
5&3<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}<br />
11&8\\<br />
23&18<br />
\end{array}\right)<br />
\\[5mm]<br />
\left(\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
5&3<br />
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}<br />
1&2\\<br />
3&4<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}<br />
7&10\\<br />
14&22<br />
\end{array}\right).<br />
\end{array}

Свойства умножения матриц

1. (cA)B=A(cB)=cAB.
2. (A_1+A_2)B=A_1B+A_2B.
3. A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2.
4. (AB)C=A(BC).

Определение. Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы — нули:

E=\left(\begin{array}{ccc}<br />
1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1<br />
\end{array}\right).

Очевидно, что AE=EA=A.

Задачи.

1. Перемножьте матрицы

\left(\begin{array}{cr}<br />
3&-2\\<br />
5&-4<br />
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}<br />
3&4\\<br />
2&5<br />
\end{array}\right) .

2. Перемножьте матрицы

\left(\begin{array}{crc}</p>
<p>1&-3&2\\<br />
3&-4&1\\<br />
2&-5&3<br />
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc}<br />
2&5&6\\<br />
1&2&5\\<br />
1&3&2<br />
\end{array}\right) .

3. Докажите, что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой из перемножаемых матриц.

4. Докажите, что если A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем AB\ne BA, то

1) (A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2;

2) (A+B)(A-B)\ne A^2-B^2.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение