Матрицы и операции над ними | Математика, которая мне нравится

14. Матрицы и операции над ними*

Далее будем рассматривать квадратные матрицы $2\times2$ и $3\times3$ (квадратные таблицы чисел с двумя строками и тремя столбцами и тремя строками и тремя столбцами). Все, что будет говориться, справедливо и для квадратных матриц порядка $n$ .

Определение. Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определим сумму двух матриц. Пусть

$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{array}\right).$

Тогда суммой матриц $A$ и $B$ называется матрица

$A+B=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33} \end{array}\right),$

произведением матрицы $A$ на вещественное число $c$ — матрица

$cA=\left(\begin{array}{ccc} ca_{11}&ca_{12}&ca_{13}\\ ca_{21}&ca_{22}&ca_{23}\\ ca_{31}&ca_{32}&ca_{33} \end{array}\right),$

произведением строки $A^T=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ на столбец $B=\left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{array}\right)$ — число

$a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n,$

произведением матриц $A$ и $B$ — матрица

$AB=\left(\begin{array}{ccc} {\cal A}_1B_1&{\cal A}_1B_2&{\cal A}_1B_3\\ {\cal A}_2B_1&{\cal A}_2B_2&{\cal A}_2B_3\\ {\cal A}_3B_1&{\cal A}_3B_2&{\cal A}_3B_3 \end{array}\right).$

Здесь ${\cal A}_j$ — $j$ -я строка матрицы $A$ , $B_i$ — $i$ -ый столбец матрицы $B$ .

Свойства операций над матрицами

1. $A+B=B+A$ .
2. $(A+B)+C=A+(B+C)$ .
3. Матрица $\mathbb{O}$ , состоящая из нулей, играет роль нуля: $A+\mathbb{O}=A$ для любой $A$ .
4. Противоположная матрица для матрицы $A$ — матрица $-A=(-1)A$ : $A+(-A)=\mathbb{O}$ .
5. $(c_1+c_2)A=c_1A+c_2A$ .
6. $c(A_1+A_2)=cA_1+cA_2$ .
7. $c_1(c_2A)=(c_1c_2)A$ .
8. $1\cdot A=A$ .

Умножение матриц не коммутативно!

$\begin{array}{l} \left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 5&3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 11&8\\ 23&18 \end{array}\right) \\[5mm] \left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 5&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 7&10\\ 14&22 \end{array}\right). \end{array}$