14. Матрицы и операции над ними*

Далее будем рассматривать квадратные матрицы 2\times2 и 3\times3 (квадратные таблицы чисел с двумя строками и тремя  столбцами и тремя строками и тремя столбцами). Все, что будет говориться, справедливо и для квадратных матриц порядка n.

Определение. Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определим сумму двух матриц. Пусть

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33} \end{array}\right).\]

Тогда суммой матриц A и B называется матрица

    \[A+B=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33} \end{array}\right),\]

произведением матрицы A на вещественное число c — матрица

    \[cA=\left(\begin{array}{ccc} ca_{11}&ca_{12}&ca_{13}\\ ca_{21}&ca_{22}&ca_{23}\\ ca_{31}&ca_{32}&ca_{33} \end{array}\right),\]

произведением строки A^T=(a_1,a_2,\ldots,a_n) на столбец B=\left(\begin{array}{c}
b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n
\end{array}\right)
— число

    \[a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n,\]

произведением матриц A и B — матрица

    \[AB=\left(\begin{array}{ccc} {\cal A}_1B_1&{\cal A}_1B_2&{\cal A}_1B_3\\ {\cal A}_2B_1&{\cal A}_2B_2&{\cal A}_2B_3\\ {\cal A}_3B_1&{\cal A}_3B_2&{\cal A}_3B_3 \end{array}\right).\]

Здесь {\cal A}_jj-я строка матрицы A, B_ii-ый столбец матрицы B.

Свойства операций над матрицами

1. A+B=B+A.
2. (A+B)+C=A+(B+C).
3. Матрица \mathbb{O}, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+\mathbb{O}=A для любой A.
4. Противоположная матрица для матрицы A — матрица -A=(-1)A: A+(-A)=\mathbb{O}.
5. (c_1+c_2)A=c_1A+c_2A.
6. c(A_1+A_2)=cA_1+cA_2.
7. c_1(c_2A)=(c_1c_2)A.
8. 1\cdot A=A.

Умножение матриц не коммутативно!

    \[\begin{array}{l} \left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 5&3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 11&8\\ 23&18 \end{array}\right) \\[5mm] \left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 5&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 1&2\\ 3&4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 7&10\\ 14&22 \end{array}\right). \end{array}\]

Свойства умножения матриц

1. (cA)B=A(cB)=cAB.
2. (A_1+A_2)B=A_1B+A_2B.
3. A(B_1+B_2)=AB_1+AB_2.
4. (AB)C=A(BC).

Определение. Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы — нули:

    \[E=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right).\]

Очевидно, что AE=EA=A.

Задачи.

1. Перемножьте матрицы

    \[\left(\begin{array}{cr} 3&-2\\ 5&-4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc} 3&4\\ 2&5 \end{array}\right) .\]

2. Перемножьте матрицы

    \[\left(\begin{array}{crc} 1&-3&2\\ 3&-4&1\\ 2&-5&3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{ccc} 2&5&6\\ 1&2&5\\ 1&3&2 \end{array}\right) .\]

3. Докажите, что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой из перемножаемых матриц.

4. Докажите, что если A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка, причем AB\ne BA, то

1) (A+B)^2\ne A^2+2AB+B^2;

2) (A+B)(A-B)\ne A^2-B^2.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение