14. Матрицы и операции над ними*
Далее будем рассматривать квадратные матрицы и
(квадратные таблицы чисел с двумя строками и тремя столбцами и тремя строками и тремя столбцами). Все, что будет говориться, справедливо и для квадратных матриц порядка
.
Определение. Две матрицы называются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определим сумму двух матриц. Пусть
Тогда суммой матриц и
называется матрица
произведением матрицы на вещественное число
— матрица
произведением строки на столбец
— число
произведением матриц и
— матрица
Здесь —
-я строка матрицы
,
—
-ый столбец матрицы
.
Свойства операций над матрицами
1. .
2. .
3. Матрица , состоящая из нулей, играет роль нуля:
для любой
.
4. Противоположная матрица для матрицы — матрица
:
.
5. .
6. .
7. .
8. .
Умножение матриц не коммутативно!
Свойства умножения матриц
1. .
2. .
3. .
4. .
Определение. Единичной матрицей называется матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы — нули:
Очевидно, что .
Задачи.
1. Перемножьте матрицы
2. Перемножьте матрицы
3. Докажите, что ранг произведения нескольких матриц не более ранга каждой из перемножаемых матриц.
4. Докажите, что если и
— квадратные матрицы одного и того же порядка, причем
, то
1) ;
2) .
Оставьте свой отзыв