13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса*

Рассмотрим систему линейных уравнений:

\left\{\begin{array}{l}<br />
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\\<br />
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2,\\<br />
\ldots,\\<br />
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m.<br />
\end{array}\right.

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

A=\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&\ldots\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}<br />
\end{array}\right)

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}<br />
a_{11}&\ldots&a_{1n}&b_1\\<br />
a_{21}&\ldots&a_{2n}&b_2\\<br />
\ldots&&&\ldots\\<br />
a_{m1}&\ldots&a_{mn}&b_m<br />
\end{array}\right).

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы (A|B), как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

\begin{array}{r}<br />
c_{11}x_1+\ldots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+\ldots+c_{1n}x_n=d_1,\\<br />
\ldots,\\<br />
c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+\ldots+c_{rn}x_n=d_r,\\<br />
0=d_{r+1},\\<br />
\ldots,\\<br />
0=d_m.<br />
\end{array}

Если хотя бы одно из чисел d_{r+1},\ldots,d_m отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние m-r равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если r<m, то неизвестным x_{r+1},\ldots,x_m можно
придавать произвольные значения, а неизвестные x_1,\ldots,x_r находим из решения системы с треугольной матрицей

\left(\begin{array}{ccc}<br />
c_{11}&\ldots&c_{1r}\\<br />
\ldots&&\\<br />
0&\ldots&c_{rr}<br />
\end{array}\right) .

Эту систему удобно решать, определив из r-го уравнения x_r, затем из r-1-го x_{r-1} и т.д. Таким образом, можно выразить переменные x_1,\ldots,x_r через x_{r+1},\ldots,x_n и получить общее решение системы. Если r=n, то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке x_n,\ldots,x_1 называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\\<br />
6x_1-3x_2+x_3-4x_4=7,\\<br />
4x_1-2x_2+14x_3-31x_4=18.<br />
\end{array}\right.

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

\left(\begin{array}{crcr|c}<br />
2&-1&3&-7&5\\<br />
6&-3&1&-4&7\\<br />
4&-2&14&-31&18<br />
\end{array}\right) .

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

\left(\begin{array}{crrr|c}<br />
2&-1&3&-7&5\\<br />
0&0&-8&17&-8\\<br />
0&0&8&-17&8<br />
\end{array}\right) .

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

\left(\begin{array}{crrr|c}<br />
2&-1&3&-7&5\\<br />
0&0&-8&17&-8<br />
\end{array}\right) .

Запишем полученные уравнения:

\left\{\begin{array}{l}<br />
2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\\<br />
-8x_3+17x_4=-8.<br />
\end{array}\right.

Из второго уравнения выразим x_3:

\displaystyle x_3=\frac{17x_4+8}{8}=\frac{17}{8}x_4+1.

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него x_2:

\displaystyle x_2=2x_1+3\frac{17x_4+8}{8}-7x_4-5=2x_1-\frac{5}{8}x_4-5.

Ответ. Общее решение данной системы:
\displaystyle x_2=2x_1-\frac{5}{8}x_4-5, x_3=\frac{17}{8}x_4+1 .

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
x_1+x_2+3x_3-2x_4+3x_5=1,\\<br />
2x_1+2x_2+4x_3-x_4+3x_5=2,\\<br />
3x_1+3x_2+5x_3-2x_4+3x_5=1,\\<br />
2x_1+2x_2+8x_3-3x_4+9x_5=2.<br />
\end{array}\right.

2. Решите систему линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
2x_1+5x_2-8x_3=8,\\<br />
4x_1+3x_2-9x_3=9,\\<br />
2x_1+3x_2-5x_3=7,\\<br />
x_1+8x_2-7x_3=12.<br />
\end{array}\right.

3. Решите систему линейных уравнений

\left\{\begin{array}{l}<br />
2x_1-x_2+x_3+2x_4+3x_5=2,\\<br />
6x_1-3x_2+2x_3+4x_4+5x_5=3,\\<br />
6x_1-3x_2+4x_3+8x_4+13x_5=9,\\<br />
4x_1-2x_2+x_3+x_4+2x_5=1.<br />
\end{array}\right.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение