13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса*
Рассмотрим систему линейных уравнений:
С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов
и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:
1. умножение уравнения на отличное от нуля число;
2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;
3. перестановка уравнений местами.
Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.
Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы , как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду
Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние
равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если
, то неизвестным
можно придавать произвольные значения, а неизвестные
находим из решения системы с треугольной матрицей
Эту систему удобно решать, определив из -го уравнения
, затем из
-го
и т.д. Таким образом, можно выразить переменные
через
и получить общее решение системы. Если
, то система (в случае совместности) имеет единственное решение.
Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом.
Пример. Решить систему линейных уравнений
Решение. Составим расширенную матрицу системы:
Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим
Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим
Запишем полученные уравнения:
Из второго уравнения выразим :
Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него :
Ответ. Общее решение данной системы:
Задачи.
1. Решите систему линейных уравнений
2. Решите систему линейных уравнений
3. Решите систему линейных уравнений
Оставьте свой отзыв