13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса*

Рассмотрим систему линейных уравнений:

    \[\left\{\begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \ldots,\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=b_m. \end{array}\right.\]

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

    \[A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots&&&\ldots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{array}\right)\]

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

    \[(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11}&\ldots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&\ldots&a_{2n}&b_2\\ \ldots&&&\ldots\\ a_{m1}&\ldots&a_{mn}&b_m \end{array}\right).\]

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы (A|B), как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

    \[\begin{array}{r} c_{11}x_1+\ldots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+\ldots+c_{1n}x_n=d_1,\\ \ldots,\\ c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+\ldots+c_{rn}x_n=d_r,\\ 0=d_{r+1},\\ \ldots,\\ 0=d_m. \end{array}\]

Если хотя бы одно из чисел d_{r+1},\ldots,d_m отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние m-r равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если r<m, то неизвестным x_{r+1},\ldots,x_m можно придавать произвольные значения, а неизвестные x_1,\ldots,x_r находим из решения системы с треугольной матрицей

    \[\left(\begin{array}{ccc} c_{11}&\ldots&c_{1r}\\ \ldots&&\\ 0&\ldots&c_{rr} \end{array}\right) .\]

Эту систему удобно решать, определив из r-го уравнения x_r, затем из r-1-го x_{r-1} и т.д. Таким образом, можно выразить переменные x_1,\ldots,x_r через x_{r+1},\ldots,x_n и получить общее решение системы. Если r=n, то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке x_n,\ldots,x_1 называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} 2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\\ 6x_1-3x_2+x_3-4x_4=7,\\ 4x_1-2x_2+14x_3-31x_4=18. \end{array}\right.\]

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

    \[\left(\begin{array}{crcr|c} 2&-1&3&-7&5\\ 6&-3&1&-4&7\\ 4&-2&14&-31&18 \end{array}\right) .\]

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

    \[\left(\begin{array}{crrr|c} 2&-1&3&-7&5\\ 0&0&-8&17&-8\\ 0&0&8&-17&8 \end{array}\right) .\]

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

    \[\left(\begin{array}{crrr|c} 2&-1&3&-7&5\\ 0&0&-8&17&-8 \end{array}\right) .\]

Запишем полученные уравнения:

    \[\left\{\begin{array}{l} 2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\\ -8x_3+17x_4=-8. \end{array}\right.\]

Из второго уравнения выразим x_3:

    \[x_3=\frac{17x_4+8}{8}=\frac{17}{8}x_4+1.\]

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него x_2:

    \[x_2=2x_1+3\frac{17x_4+8}{8}-7x_4-5=2x_1-\frac{5}{8}x_4-5.\]

Ответ. Общее решение данной системы:

    \[x_2=2x_1-\frac{5}{8}x_4-5, x_3=\frac{17}{8}x_4+1 .\]

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+3x_3-2x_4+3x_5=1,\\ 2x_1+2x_2+4x_3-x_4+3x_5=2,\\ 3x_1+3x_2+5x_3-2x_4+3x_5=1,\\ 2x_1+2x_2+8x_3-3x_4+9x_5=2. \end{array}\right.\]

2. Решите систему линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} 2x_1+5x_2-8x_3=8,\\ 4x_1+3x_2-9x_3=9,\\ 2x_1+3x_2-5x_3=7,\\ x_1+8x_2-7x_3=12. \end{array}\right.\]

3. Решите систему линейных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} 2x_1-x_2+x_3+2x_4+3x_5=2,\\ 6x_1-3x_2+2x_3+4x_4+5x_5=3,\\ 6x_1-3x_2+4x_3+8x_4+13x_5=9,\\ 4x_1-2x_2+x_3+x_4+2x_5=1. \end{array}\right.\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение