12. Элементарные преобразования. Диагонализация матрицы*

Матрица — это прямоугольная таблица (m\times n) (m строк, n столбцов):

A=\left(\begin{array}{ccccc}<br />
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots&a_{1n}\\<br />
a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots&a_{2n}\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots&a_{mn}<br />
\end{array}\right)

Элементарные преобразования:

1) умножение строки (столбца) на произвольное число, отличное от нуля;

2) прибавление к некоторой строке другой строки, умноженной на произвольное число (то же для столбцов);

3) перестановка двух строк (столбцов).

Третье преобразование можно заменить последовательностью первых двух.

Лемма. Все элементарные преобразования обратимы.

Теорема. Матрица A элементарными преобразованиями может быть приведена к виду

K=\left(\begin{array}{ccccccc}<br />
1&0&0&\ldots&0&\ldots&0\\<br />
0&1&0&\ldots&0&\ldots&0\\<br />
0&0&\ddots&0&0&\ldots&0\\<br />
0&0&0&\ldots&1&\ldots&0\\<br />
0&0&0&0&0&\ldots&0\\<br />
\ldots&&&&&\\<br />
0&0&0&0&0&\ldots&0<br />
\end{array}\right)

Доказательство. Для нулевой матрицы очевидно.

Ненулевой элемент перестановкой строк и столбцов может быть поставлен в левый верхний угол, затем вычитаем умноженную на какое-то число первую строку из всех остальных, затем первый столбик из всех остальных. Получим

\begin{array}{l}<br />
\left(\begin{array}{cccc}<br />
1&0&\ldots&0\\<br />
0&a_{22}’&\ldots&a_{2n}’\\<br />
\ldots&&&\\<br />
0&a_{m2}&\ldots&a_{mn}<br />
\end{array}\right)\longrightarrow<br />
\left(\begin{array}{ccccc}<br />
1&0&\ldots&0&0\\<br />
0&1&\ldots&0&0\\<br />
0&0&a_{33}”&\ldots&a_{3n}”\\<br />
\ldots&&&&\\<br />
0&0&a_{m3}”&\ldots&a_{mn}”<br />
\end{array}\right)\longrightarrow<br />
\\[1cm]<br />
\longrightarrow\left(\begin{array}{cccccc}<br />
1&0&\ldots&0&\ldots&0\\<br />
0&1&\ldots&0&\ldots&0\\<br />
0&0&\ddots&0&\ldots&0\\<br />
0&0&\ldots&1&\ldots&0\\<br />
0&0&\ldots&0&\ldots&0\\<br />
\ldots&&&&&\\<br />
0&0&\ldots&0&\ldots&0<br />
\end{array}\right) .<br />
\end{array}

Определение. Рангом матрицы называется размерность линейного пространства, натянутого на столбцы матрицы.

r(A)=\dim<A_1,A_2,\ldots,A_n>.

Теорема. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Доказательство. Для первого и третьего очевидно.

Докажем для второго для строк (для столбцов очевидно). Пусть столбцы линейно зависимы, т.е. существуют c_1,\ldots,c_n, не все из которых равны нулю, такие, что

c_1A_1+c_2A_2+\ldots+c_nA_n=0.

Пусть мы прибавили ко второй строке первую, умноженную на \lambda\ne0:

c_1\left(\begin{array}{c}<br />
a_{11}\\a_{21}+\lambda a_{11}\\ a_{31}\\\ldots\\ a_{m1}<br />
\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}<br />
a_{12}\\a_{22}+\lambda a_{12}\\ a_{32}\\\ldots\\ a_{m2}<br />
\end{array}\right)+\ldots+<br />
c_n\left(\begin{array}{c}<br />
a_{1n}\\a_{2n}+\lambda a_{1n}\\ a_{3n}\\\ldots\\ a_{mn}<br />
\end{array}\right)=0.

Тогда

\left(\begin{array}{c}<br />
c_1a_{11}+c_2a_{12}+\ldots+c_na_{1n}\\<br />
c_1(a_{12}+\lambda a_{11})+c_2(a_{22}+\lambda a_{12})+\ldots+c_n(a_{2n}+\lambda a_{1n})\\<br />
c_1a_{31}+c_2a_{32}+\ldots+c_na_{3n}\\<br />
\ldots\\<br />
c_1a_{m1}+c_2a_{m2}+\ldots+c_na_{mn}<br />
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br />
0\\0\\0\\ \ldots\\0\end{array}\right),

т.е. и столбцы матрицы, полученной после преобразования, линейно зависимы.

Значит, наше преобразование не увеличивает ранг. Пусть оно ранг уменьшает. Чтобы из преобразованной матрицы получить исходную, нужно из ее второй строки вычесть первую, умноженную на \lambda. Тогда ранг после преобразования еще уменьшится. Получим, что r(A)>r(A), что невозможно.

Теорема. Каноническая матрица определяется единственным образом.

Доказательство. По предыдущей теореме, элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы. Поэтому ранг канонической матрицы равен рангу исходной матрицы. Ранг канонической матрицы равен r — числу единиц, стоящих по главной диагонали. Значит, это число единиц не зависит от способа приведения к каноническому виду и всегда одно и то же.

Определение. Матрица

A^T=\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{21}&\ldots&a_{m1}\\<br />
a_{12}&a_{22}&\ldots&a_{m2}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{1n}&a_{2n}&\ldots&a_{mn}<br />
\end{array}\right)

называется транспонированной с матрицей

A=\left(\begin{array}{cccc}<br />
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1m}\\<br />
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2m}\\<br />
\ldots&&&\\<br />
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{mn}<br />
\end{array}\right) .

Теорема. Ранг матрицы равен рангу транспонированной матрицы.

Размерность линейного пространства, натянутого на столбцы матрицы, равна размерности пространства, натянутого на строки.

Задачи.

1. Найдите ранг матрицы
\left(\begin{array}{crcrc}<br />
2&-1&3&-2&4\\<br />
4&-2&5&1&7\\<br />
2&-1&1&8&2<br />
\end{array}\right).
2. Чему равен ранг матрицы
\left(\begin{array}{crrc}<br />
1&\lambda&-1&2\\<br />
2&-1&\lambda&5\\<br />
1&1-&-6&1<br />
\end{array}\right) при различных значениях \lambda?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение